Доклад: Операции с ценными бумагами

Доклад: Операции с ценными бумагами

1.Введение

Рассмотрим модель (B,S)- рынка , функционирующего в моменты времени n=0,1,...,

N<¥ , и состоящего из двух активов - банковского счета В=(Вn)

и акции S=(Sn).Согласно этой модели для банковского счета следующие

реккурентные соотношения

Bn=(1+r)Bn-1 , B0>0, (1.1)

где процентная ставка r>0.

Стоимость акции S=(Sn) изменяется по закону

Sn=(1+pn)Sn-1 , S0>0, (1.2)

где p=(pn)- ” хаотическая “ последовательность , причем pn

принимают только два значения a и b такие , что

-1<a<r<b

Инвестор , оперирующий на (B,S) - рынке может поместить часть капитала на

банковский счет , а часть - в акции. Пусть в момент времени n инвестор имеет b

n- облигаций и gn-акций. Следовательно капитал инвестора в

момент n есть

Xn=bnBn+gnSn ,(1.3)

а pn=(bn, gn)образует портфель инвестора в момент времени n.

На (B,S) рынке участник может выпустить ценную бумагу-опцион купли

Европейского типа , дающую право ее покупателю приобрести у него в некоторый

фиксированный момент времени N акции по оговоренной контрактом цене K.

Если в момент времени N Sn>K , то владелец опциона предъявит его к

исполнению , то есть купит акции по цене K. После этого он может их продать и

получить прибыль Sn-K. Если цена акции Sn будет меньше

или равна К , то покупатель не предъявит опцион к исполнению так как не получит

никакой прибыли. То есть продавец опциона должен выплатить его покупателю max(S

n-K).

Цена на опцион определяется исходя из того , что продавец опциона должен

получить от покупателя такую сумму минимальную сумму , чтобы в любой из

возможных ситуаций.обеспечить выполнение условий контракта.

2.Расчет стоимости и хеджирующей стратегии для одного периода Европейского

колл-опциона.

Пусть

S-текущая цена акции

С-цена колл-опциона

К-цена исполнения опциона

r-безрисковый процент

Сa-выплата по опциону в случае понижения цены акции к началу следующего периода

Сb-выплата по опциону в случае повышения цены акции к началу следующего периода

Исходя из рассматриваемой модели цена акции к началу следующего периода может

либо понизиться до S(1+a) , либо повыситься до S(1+b)

По определению Европейского колл-опциона продавец опциона должен выплатить

покупателю

Сa=max(0,S(1+a)-K)) (2.1)

в случае понижения цены акции

или Сb=max(0,S(1+b)-K)) (2.2)

в случае повышения цены акции

Пусть С-цена Европейского колл-опциона , тогда продавец опциона должен таким

образом сформировать портфель

X0=bB+gS, (2.3)

чтобы на начало следующего периода иметь возможность осуществить следующие

выплаты

Сa=b(1+r)B+g(1+a)S, (2.4)

в случае понижения цены и

Сb=b(1+r)B+g(1+b)S, (2.5)

в случае повышения цены

Решая систему уравнений

Сa=b(1+r)B+g(1+a)S, (2.6)

Сb=b(1+r)B+g(1+b)S,

Получим следующие значения g и b

(2.7)

(2.8)

Подставляя полученные значения в (2.3) получим

(2.9)

Цена колл-опциона C должна равняться цене портфеля X0 иначе

существует возможность получения арбитражной прибыли.

Таким образом цена Европейского колл-опциона для одного периода определяется

по формуле

(2.10)

А значения g и b для формирования портфеля по формулам (2.8) и (2.9)

соответственно.

3.Расчет стоимости и хеджирующей стратегии для нескольких периодов

Европейского колл-опциона.

Используем полученные в п.2 результаты для определения цены Европейского

колл-опциона для нескольких периодов

Рассмотрим двухпериодный вариант

Пусть

S-текущая цена акции

С-цена колл-опциона

К-цена исполнения опциона

r-безрисковый процент

Сaa-выплата по опциону в случае понижения цены акции по окончании

второго периода при понизившейся цене по окончании первого периода

Сbb-выплата по опциону в случае повышения цены акции по окончании

второго периода при повысившейся цене по окончании первого периода

Сba-выплата по опциону в случае понижения цены акции по окончании

второго периода при повысившейся цене по окончании первого периода

Сab-выплата по опциону в случае повышения цены акции по окончании

второго периода при понизившейся цене по окончании первого периода

Платежи по колл-опционам составят

Сaa=max(0,S(1+a)(1+a)-K)

Сab=max(0,S(1+a)(1+b)-K)

Сba=max(0,S(1+b)(1+a)-K)

Сbb=max(0,S(1+b)(1+b)-K)

Для расчета цены колл-опциона воспользуемся формулой 2.10

(2.11)

Где Сa выразим через Сaa и Сab , а Сb через Сbb и Сba.

(2.12)

(2.13)

Подставим полученные значения в (2.11)

(2.14)

Упрощая выражение (2.14) получаем следующее значение цены колл-опциона

(2.15)

или если подставить значения выплат по опционам

(2.16)

Если провести аналогичные вычисления для трех периодов Европейского колл-

опциона то получим следующее выражение:

(2.17)

Используя метод математической индукции для n периодов получим следующее

значение для цены Европейского колл-опциона.

(2.18)

Если для полученной формулы ввести обозначение

, (2.19)

то видно , что формула (2.17) для расчета цены Европейского колл-опциона

совпадает со значением цены Евопейского колл-опциона опубликованном в статье

Ширяева А.Н. “К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов,

I: Дискретное время.-Теория вероятности и ее применение 1994 , т.39, в.1,с80-

129.