|
|
|
|
Контрольная: Контрольная работа
Контрольная: Контрольная работа
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники (ТУСУР)
Кафедра Экономики
Контрольная работа
по дисциплине “Математические модели в Экономике ”
Вариант №18
Выполнил:
Студент гр. з822
________ Васенин П.К.
Проверила:
________ Сидоренко М.Г.
г. Томск 2003
Задание №1
1. Объём выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда x
как функция
 . Цена продукции v,
зарплата p. Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество
вложенного труда.
Решение:
Оптимальное количество вложенного труда обозначим через X*
Определим прибыль 
Воспользуемся соотношением 
- т.е. частные производные приравняем к нулю, найдём оптимальное количество
вложенного труда
Задание №2
2. Даны зависимости спроса D=200-2p и предложения S=100+3p от цены.
Найдите равновесную
цену, цену при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.
Решение:
Равновесная цена находится путём приравиевания спроса и предложения, т.е.
200-2p=100+3p; p*=20 – равновесная цена.
Найдём прибыль при равновесной цене:
Найдём цену, определяющую максимум выручки:
При p*(200-2p) максимум достигается в точке p’=50 (определили через производную)
W (50)=50*(200-2*50)=5000
Таким образом, максимальная выручка W(p’)=5000 достигается не при равновесной
цене.
Задание №3
3. Найти решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры)  .
Решение:
1- способ. Проверим на наличие седловой точки. Седловая точка является
одновременно наименьшим элементом строки и наибольшим элементом столбца. В
матрице седловой точки нет.
Выигрыш первого есть случайная величина с рядом распределения:
Найдём средний выигрыш за партию Первого – это математическое ожидание
случайной величины W(x,y):
Оптимальные стратегии игроков:
2 – способ. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с
нулевой суммой, то для игры с матрицей 
оптимальные смешанные для 1 и 2 игроков и цена игры получаются из решения
уравнений:
Откуда, Оптимальные стратегии игроков:
Задание №4
4. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов
прямых материальных затрат 
и вектор конечной продукции 
. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью
формул обращения невыраженных матриц и приближённо), заполнить схему
межотраслевого баланса.
Решение:
I. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат
приближённо, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.
Матрица косвенных затрат первого порядка:
Матрица косвенных затрат второго порядка:
Получаем матрицу коэффициентов полных материальных затрат (приближённо):
II. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с
помощью формул обращения невыраженных матриц:
a) Находим матрицу (E-A):
b) Вычисляем определитель этой матрицы:
c) Транспонируем матрицу (E-A):
d) Находим алгебраические дополнение для элемента матрицы (E-A)’:
Таким образом:
e) Находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
Таким образом, расчёты первым и вторым способом получились разные – это
произошло из-за того, что второй способ наиболее точен (рассчитан по точным
формулам), а первый способ рассчитан приближённо, без учёта косвенных затрат
выше второго порядка.
Для заполнения межотраслевого баланса необходимо найти величину валовой
продукции:
Схема межотраслевого баланса
Производящие отрасли | Потребляющие отрасли | 1 | 2 | 3 | Конечная продукция | Валовая продукция | 1 2 3 | 2574,67 1839,05 0 | 464,32 232,16 232,16 | 0 0 3328,64 | 640 250 600 | 3678,1 2321,6 4160,8 | Условно чистая продукция | -735,62 | 1392,96 | 832,16 | 1490 | | Валовая продукция | 3678,1 | 2321,6 | 4160,8 | | 10160,5 |
Задание №5
5. Проверить ряд 
на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящеё средней
с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания (а=0,1),
представить результаты графически, определить для ряда трендовую модель в виде
полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный
прогноз на три шага вперёд.
Решение:
a) Проверим ряд на наличие выбросов методом Ирвина. Метод Ирвина Служит
для выявления аномальных уровней, т.е. – это отдельное значение временного
ряда которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической
системы и которое, оставаясь в качестве значения уровня ряда, оказывает
существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда, и на
трендовую модель.
Для выявления аномальных уровней воспользуемся формулой:
Расчётные значения:
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 
| - | 1,06 | 0,53 | 1,06 | 0,53 | 0,53 | 0,53 | 0,53 | 1,06 | 0,53 |
Необходимо, расчётные значения сравнить с табличными критерия Ирвина 
, и если окажется, что расчётное больше табличного, то соответствующее значение 
уровня ряда считается аномальным.
Табличные значения для уровня значимости a=0,05, т.е. с 5% ошибкой:
| n | 2 | 3 | 10 | 20 | 30 | 50 | 100 | 
| 2,8 | 2,3 | 1,5 | 1,3 | 1,2 | 1,1 | 1 |
Таким образом, при сравнении значений, обнаруживаем, что аномальных уровней нет,
т.е.  .
b) Сгладим методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания m=3:
| t | 
| Метод простой скользящей средней,  | | 1 | 53 | -- | | 2 | 51 | -- | | 3 | 52 | 52 | | 4 | 54 | 52,3 | | 5 | 55 | 53,6 | | 6 | 56 | 55 | | 7 | 55 | 55,3 | | 8 | 54 | 55 | | 9 | 56 | 55 | | 10 | 57 | 55,6 |
c) Сгладим экспоненциальным методом с а=0,1 – параметр сглаживания:
| t | 
| Экспоненциальный метод,  | | 1 | 53 | 52,1 | | 2 | 51 | 51,99 | | 3 | 52 | 51,99 | | 4 | 54 | 52,19 | | 5 | 55 | 52,47 | | 6 | 56 | 52,82 | | 7 | 55 | 53,04 | | 8 | 54 | 53,14 | | 9 | 56 | 53,42 | | 10 | 57 | 53,78 |
d) Представим результаты графически:
e) Определим для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени
(линейную модель):
Необходимо оценить адекватность и точность построения модели, т.е. необходимо
выполнение следующих условий:
a) Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности:
Проверку случайности уровней ряда проведем по критерию пиков, должно
выполняться:
| t | Фактическое  | Расчётное  | Отклонение  | Точки пиков | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | 53 51 52 54 55 56 55 54 56 57 | 51,97 52,49 53 53,52 54,03 54,55 55,06 55,58 56,09 56,61 | 1,03 -1,49 -1 0,48 0,97 1,45 -0,06 -1,58 -0,09 0,39 | -- 1 0 0 0 1 0 1 0 -- | | 55 | 543 | 542,9 | 0,1 | 3 |
b) Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному
закону распределения:
Необходимые условия:
Если эти условия выполняются одновременно, то гипотеза о характере
распределения случайной компоненты принимается, если выполняется хотя бы одно
из следующих неравенств:
то гипотеза о нормальном распределении отвергается, трендовая модель
признаётся неадекватной.
1)
2)
Таким образом, одно из неравенств не выполняется, трендовая модель
неадекватна, значит, дальнейшее исследование не имеет смысла.
Задание №6
6. Пункт по приёму квартир работает в режиме отказа и состоит из двух
бригад. Интенсивность потока 
, производительность пункта 
. Определить вероятность того, что оба канала свободны, один канал занят, оба
канала заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускную
способности, среднее число занятых бригад.
Решение:
Коэффициент использования (количество заявок, поступающих за время
использования одной заявки)
a) Вероятность того, что оба канала свободны:
b) Вероятность того, что один канала занят:
c) Вероятность того, что оба канала заняты:
d) Вероятность отказа в заявке:
e) Относительная пропускная способность:
f) Абсолютная пропускная способность:
g) Среднее число занятых бригад:
|
|
|
|
|
