 |
РУБРИКИ |
Контрольная: Производственная функция Кобба-Дугласа |
РЕКЛАМА |
||
|
Контрольная: Производственная функция Кобба-ДугласаКонтрольная: Производственная функция Кобба-ДугласаКафедра «Математики» Семестровая контрольная работа по курсу «Эконометрика» Эконометрический анализ производственной функции Кобба-Дугласа Выполнил: студент гр. БО‑301 Ковчегин И. А. Преподаватель: к.э.н. Ботвинник А.В. Возникновение теории производственных функций принято относить к 1927 г., когда появилась статья американских ученых экономиста П. Дугласа (P. Douglas) и математика Д. Кобба (D. Cobb) «Теория производства». В этой статье, была предпринята попытка, эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США. Как уже было сказано, производственная функция отражает функциональную связь между объёмом эффективно используемых факторов производства (трудом и имущественным капиталом) и с их помощью достигаемым выпуском при существующем техническом и организационном знании. При субституционной производственной функции производство может быть увеличено за счёт повышения количественной характеристики одного из факторов, в то время как количественная характеристика другого фактора остаётся без изменения, в другом варианте же производство остаётся без изменения при различных количественных комбинациях факторов труда и имущественного капитала. Субстиционная производственная функция имеет в общем следующее выражение: где: K – число производственного капитала L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число производственных единиц гуманного капитала На основе условно введённой субстиционности факторов производства можно сделать следующие два вывода относительно функциональной взаимосвязи данных факторов: При прочих равных увеличение одного из факторов производства ведёт к увеличению выпуска – первая производная положительна. Однако предельная производительность возрастающего фактора уменьшается с увеличением величины данного фактора – вторая производная отрицательна. Уровень организационных и технических знаний отображается в соответствующих формах взаимодействий факторов. В рассматриваемом случае уровень знаний постоянен, т.е. в данных рамках предполагается отсутствие технического прогресса. Таким образом, субстиционная функция производства может быть представлена в виде следующего изображения, отражающего взаимосвязь между количеством труда и выпуском при заданном количестве имущественного капитала (рисунок 1): Рисунок 1. Связь между производством и производственным трудом Каждое увеличение количественного параметра имущественного капитала означает смещение кривой вверх и одновременного увеличения предельной производительности труда при заданном количестве рабочей силы, т.е. на основе вытекающего непосредственно из описанного вывода означает и более высокую величину выпуска при увеличении производственного фактора «труд»: кривая OK1 на рисунке показывает более крутой наклон по сравнению с кривой OK0 при любом числе занятых трудом. С увеличением количественного параметра имущественного капитала увеличивается и средняя производительности труда, которая является частным от деления величины выпуска на величину затраченного труда. Однако при этом уменьшается коэффициент труда, определяющий среднее количество затраченного труда на каждую единицу выпуска и являющийся таким образом обратной величиной средней производительности труда. Величина имущественного капитала принимается в рамках данного кратковременного анализа как экзогенно заданная, поэтому в модели и описании не учитывается технический прогресс, а также эффект увеличения производственных мощностей за счёт инвестиций. В 1927 г. Пол Дуглас обнаружил, что если совместить графики зависимости от времени логарифмов показателей реального объема выпуска (y), капитальных затрат (К) и затрат труда (L), то расстояния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую субституционную функцию: Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филипом Уикстидом (Wicksteed), но они были первыми, кто использовал для ее построения эмпирические данные. Однако при больших значениях K и L эта функция не имеет экономического смысла, т.к. выпуск все время возрастает при возрастании затрат. Кинетическая функция (где g - норма технического прогресса за единицу времени) получена умножением функции Кобба-Дугласа на eg, что снимает данную проблему и делает функцию Кобба-Дугласа экономически интересной. Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду равна соответственно a и b, так как и аналогичным образом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b. Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска продукции на a процентов, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска на b процентов. Можно предположить, что обе величины a и b находятся между нулем и единицей. Они должны быть положительными, так как увеличение затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время, вероятно, они будут меньше единицы, так как разумно предположить, что уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту выпуска продукции, чем затрат производственных факторов, если другие факторы остаются постоянными. Если a и b в сумме превышают единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции). Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства (y увеличивается в той же пропорции, что и К и L). Если их сумма меньше, чем единица, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства (y увеличивается в меньшей пропорции, чем К и L). В соответствии с допущением о конкурентности рынков факторов производства и b имеют дальнейшую интерпретацию как прогнозируемые доли дохода, полученного соответственно за счет капитала и труда. Если рынок труда имеет конкурентный характер, то ставка заработной платы (w) будет равна предельному продукту труда (dy/dL): Следовательно, общая сумма заработной платы (wL) будет равна by, а доля труда в общем выпуске продукции (wL/Y) составит постоянную величину b. Аналогичным образом норма прибыли выражается через dy/dK: и, следовательно, общая прибыль (rК) будет равна ay, а доля прибыли будет постоянной величиной a. Существует ряд проблем по применению такой функции, особенно в тех случаях, когда она используется для экономики в целом. В частности, даже в тех случаях, когда между выпуском продукции, производственным оборудованием и трудом в производственном процессе существует технологическая зависимость, то совершенно необязательно, что подобная зависимость существует тогда, когда указанные факторы комбинируются в масштабах экономики в целом. Во-вторых, даже если такая зависимость для экономики в целом существует, то нет никаких оснований считать, что она будет иметь простую форму. При построении производственной функции Кобба–Дугласа параметры A, a, b можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК): 1) Производственную функцию Кобба–Дугласа приводят к линейному виду путем логарифмирования 2) При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ln(yi), (i=1.N; N – количество наблюдений) и соответствующими оценками . 3) Введем векторы и матрицу Тогда критерий можно записать в виде Дифференцируя SSD по вектору Х и приравнивая производную к нулю систему уравнений МНК или 4) Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии оценивают дисперсию выборочных коэффициентов где cii – элементы главной диагонали матрицы s2 – дисперсия погрешности измерений. Оценка s2 определяется по формуле Рассчитывается значение t – параметра Если полученное значение t больше, чем табличное ta при (N-3-1) степеней свободы, тогда Xi существенно отлично от нуля при уровне a. Доверительные границы для Тогда вероятность того, что величина Xi действительно находится в этих пределах, составит 1–a. 5) Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам объема выпуска y рассчитывается коэффициент множественной детерминации: где При малом объеме выборки используется скорректированный коэффициент множественной детерминации Чем меньше отличается от единицы, тем более обосновано решение о том, что выборочные коэффициенты регрессии могут быть полезны для изучения производственного процесса. Мы имеем данные по ВВП Мексики за 20 лет (таблица 1) относительно рабочей силы (L) и капитала (K). Эти точки не будут лежать на 1 прямой, так как между экономическими величинами не существует строгой взаимосвязи, потому что на ВВП кроме рабочей силы и капитала могут влиять и другие факторы. Поэтому экономическая спецификация эконометрической модели имеет вид: где K – число производственного капитала L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число производственных единиц гуманного капитала Или в линейном виде: Таблица 1 Мексика, 1955-1974 гг. Реальный ВВП (миллионы песо, выраженные в песо 1960г.) Численность рабочих (тысяч человек) Основной капитал (миллионы песо, выраженные в песо 1960г.)
Преобразуя исходные данные в соответствии с линейной функцией путем логарифмирования получим следующие исходные данные:
Анализируем исходные данные с помощью линейного регрессионного анализа Microsoft Excel 2003, который заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных. В результате получаем следующие показатели:
Данные показатели определяются следующим образом. R-квадрат характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных. , где QR – сумма квадратов (SS), обусловленная регрессией; Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней . В нашем случае R-квадрат (0,99508) близок к 1, что говорит о высоком качестве подгонки данной модели, то есть регрессия хорошо описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменной. Нормированный R-квадрат учитывает количество объясняющих переменных p: где N – число наблюдений (20), P – число объясняющих переменных (2). Число степеней свободы (df) определяется следующим образом: для регрессии df=M–1=3–1=2, для остатка df=N–M=20–3=17, итоговый df=N–M=20–1=19, где M – число оцениваемых параметров регрессии, N – число наблюдений. Сумма квадратов отклонений определяется следующим образом. Сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS): где Остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов (ESS): Общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (TSS): Средние квадраты (MS) представляют собой несмещенные оценки дисперсий зависимости переменной, обусловленных соответственно регрессией и воздействием неучтенных случайных факторов ошибок: F-критерий значимости уравнения регрессии определяется: F=1719,231 больше табличного значения критерия Фишера-Снедекора F 0,05;2;17=3,59, то есть уравнение регрессии значимо, следовательно исследуемая зависимая переменная y очень близко описывается включенными в регрессионную модель переменными ln(K) и ln(L). Стандартная ошибка – это оценка стандартного отклонения распределения коэффициента регрессии вокруг его истинного значения. t-статистика – оценка коэффициента, деленная на его стандартную ошибку. На основании полученных данных можно вывести функцию Кобба-Дугласа для вышеописанной ситуации: На основании полученной модели можно вывести производственную функцию Кобба- Дугласа путем экспонирования: Полученная модель может быть использована для прогнозирования будущих значений ВВП на основе известных или ожидаемых уровнях капитала и рабочей силы. Наглядно полученная зависимость прироста ВВП от изменения рабочей силы (L) и капитала (K) изображен на рисунке 2 с помощью MathCAD 2000. Рисунок 2. Зависимость прироста ВВП от изменения капитала (K) и рабочей силы (L) В полученной модели наблюдается возрастающий эффект от масштаба, так как сумма a и b превышает 1 (равна 1,185729). Это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции. Для примера определим объем ВВП в среднем при ожидаемом уровне капитала 50.000 млн. песо и уровне рабочей силы 15.000 тысяч человек.
Список литературы1. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: Инфра-М, 2001. 2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнити-Дана, 2003. 3. Ресурс Интернет – http://allmath.ru/appliedmath/micro/labs/micro- labs1.htm. 4. Ресурс Интернет – http://nit.miem.edu.ru/cgi-bin/article?id=122. 5. Фурманн В., Султанов А. Общеэкономический рынок труда (Der gesamtwirtschaftliche Arbeitsmarkt) – ресурс Интернет http://ek- lit.agava.ru/mul/mul003.htm. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, 
. 
, 
; 
;
; 
.
. 
, 
.
определяются по формуле
, 
.
, 
, 
– условная (групповая) средняя переменной y
. 
. 
© 2007 |
|