Шпора: Экономическая кибернетика

Шпора: Экономическая кибернетика

Эк. Кибернетика.

Игра – матем. Модель конфликтной ситуации.

Стратегия игрока – это правила выбора действий в сложившейся ситуации.

Решение игры – это нахождение оптимальной стратегии для каждого игрока,

т.е. нахождение цены игры.

Оптимальная стратегия игрока – это стратегия, которая в среднем (настрив.

на длительную игру) дает игроку возможный наибольший выигрыш.

Неонтогонистическая – если выигрыш одной из сторон склад. из проигрыша

др. стороны, иначе антогонистическая – выигрыш одного равен проигрышу

др.

Матричные игры.

- самые простые игры. Играют 2 чел. У каж конечное число стратегий.

Список стратегий известен каж играющему, т.е. игра с полной инф. Игра

одноходовая.

Величина выигрыша известна заранее, опис. В числовых единицах. Оба дейст.

Сознательны, никто не поддается. Игра яв-ся антогонистической. Правила

определяют победителя.

Игры с седловой точкой обладают св-м устойчивости – если один игрок

примен оптим стратегию, то др. игроку не выгодно отклон-ся от своей оптим

стратегии.

Первонач сведен по т. вероятности.

Случайные событие – это событие, которое может произойти или не произойти

в данной ситуации.

Вероятность – это количественная характеристика, мера появ-я событий.

P(А)=(число благопр. событий)/(общее число событий).

М(х)=åi хipi – матем. ожидание.

D(x)=åi х2ipi – (M(x))2 – дисперсия.

s(x)=ÖD(x) – средне квадратичное отклонение – показывает

степень разбросанности значений случайной величины относительно матем.

ожидания.

Правило 3 сигм (s):

÷Вероятность того, что сличайная величина х попадает в интервал с

концами матем. ожидания -3s(х) и +3s(х) равняется 0,997.

Многоуголь. распределение – ломанная линия соед-я последовательно точки с

коор-ми (хi;pi).

Смешанные стратегии.

- распределение вероятностей на множестве его чистых стратегий, обобщение

обычной стратегии.

Чистая стратегия – это стратегия, которая применяется с вероятностью 1.

Теорема Неймана: Любая матричная игра имеет оптимальное

решение возможно среди смешанных стратегий.

Стратегия Аi активная первого игрока – если вероятность

исполь-я в оптим стратегии больше нуля (Аi-акт, если р*

i>0); S*A- оптим стратегия.

Стратегия Вj активная второго игрока – если вероятность

исполь-я ее в опти стратегии больше нуля (Bi-акт, если q*

i>0); S*B - оптим стратегия.

Неактивная стратегия – вероятность применения, которой в оптим стратегии

равна нулю.

Теорема устойчивости: Если один игрок применяет свою оптим

стратегию, то 2 игроку не выгодно выходить за рамки своих активных стратегий.

Теорема: В матр. игре количество активных стратегий у каж игрока одинаковое.

Применение решений в усл. неопределенности.

Рассмотрим игру человек и природа. Человек – лицо принимающее решение.

Природа – экон-я среда в состоянии рынка.

Отличия от матричной игры: Активные решения принимает только чел,

он хочет найти наиболее оптим решение. У природы стихийное поведение и она не

стремится к выигрышу. Считается, что чел знает список сост природы, но не знает

какое из них будет фактическим. В игре с природой чел труднее сделать свой

выбор, поэтому сущ несколько подходов нахождения оптимального решения.

Подход определяется склонностью чел к риску.

Риск – это может быть упущенная выгода или необход понести дополнит

произв-е затраты.

Элементы матрицы – это ожидание резуль. Деятельности в завис от сост природы.

1) Подход махмах “оптимистический”: В каж точке мы находим макс элемент и

после этого находим макс из полученных чисел. gi=maxj a

ijÞg=maxigi=gi0Þ выб Аi0

.

Выбираем макс значение. Чел ориентир на самый лучший возмож результат, не

обращ внимание на возмож неудачи.

2) Критерий Вальда – критерий пессимизма: Находим в каж строчке миним

элемент и выбираем ту стратегию, которая дает макс гарантируемый доход.

ai=minj aijÞa=maxi ai=ai Þ выб Аi0.

3)Критерий Гурвица (l) – ур пессимизма: Человек выбирает

0£l£1. Находим число ai=lai+(1-l)gi

Þamaxiai=ai0 Þвыб Аi0

. Если l=1 – кр Вальда (пессимизма), если l=0 – кр оптимизма. Конкретная

величина l опред-ся эк-ой ситуацией.

4) Критерий Сэвиджа – кр минимального риска: Состав март риска по формуле

rij=bj-аij. bij=max a

ij Þ rij=bj-aij.

R=(rij) –матр риска; ri=maxj rijÞ mini ri=ri0 Þ выб Аi0.

Если бы мы знали, то мы бы выбрали наиболее эф-е решение. Для самого эф-го

решения: rij=0 (если Пj) Þ Аi. Риск =

величине упущенной возможности.

У каж критерия есть свои особенности применения. Если мы оценив ситуацию по

разным критериям, то мы можем принять более обоснован решение. Трудность

обоснования яв-ся, что природа не стремится к выигрышу.

Принятие решения в усл риска.

Рассотрим вариант игры чел и природы в случаи, когда нам известно сост

природы. Природа к выигрышу не стремится. Находим стратегию, которая приносит

макс средний доход. Средний доход расчитывается по правилу теории

вероятности.

Величина среднего дохода равна матем ожиданию при этой стратегии.

1) М(Ai)=nåj=1aijpj Находим макс maxi M(Ai)

2) Правило минималь среднего риска. R=(Ai)=nå

j=1rijpj. Находим наимень mini R(Ai

).

Лемма: Указ выше 2 критерия в результате всегда приводят к

выбору одной и той же оптим стратегии.

Док-во: Найдем миним сред риска mini R(Ai)= mini

åjrijpj= mini (åj

(bj-аij)pj)= mini (åj

bj pj-åjаijpj

)={åjbj pj – не зависит от переменной i,

значит это const С}= mini (С-åjаijp

j)Þ минимум разности соот-ет максимуму вычитаемого.

maxi åjаijpj=M(Ai).

Номера стратегий, на которых достиг миним среднего риска, равны номерам

стратегий обеспеч наиболь средний выигрыш.

Бейссовский подход нахождения оптимального решения.

Бейсовский подход: Если первонач распредел вероятности мы получ доход `Q

`. Если мы можем провести эксперемент дающий новое распред вероятности в

завис от первонач `Q`и нового `Q’ , мы делаем свой выбор стратегии.

p'Þ`Q’`.

Некоторые св-ва матричной игры.

Замеч№1 О масштабе игр: Пусть даны 2 игры одинаковой

размерности с платежной матрицей р(1) и р(2). При чем при

любых i и j выпол (а(2)ij=aa(1)ij

+b), некоторые числа a и b. Тогда: 1) опт стратегии 1 игрока в 1 и 2 игре

одинаковые. Опт стратегии 2 игрока одинаковы в обеих играх.

2) Цена второй игры V2=aV1+b.

Для некот методов решений все элементы матр должны быть не отрицательными.

Заме№2 О доминировании стратегий: Этот прием применяется

для умень размерности игры.

А: Аi доминирует над Ак (Аi>Ак

), если для любого j выпол нерав-во аij>akj и хотя бы

одно из этих нерав-в строгое.

Ак – заведомо невыгодна; сред размер выигрыша меньше; р*

к=0, стратегия пассивная.

В: Вj доминирует над Вt (Вj>Вt

), если для любого i выпол нерав-во аij>ait и хотя бы

одно из этих нерав-в строгое.

Bt – невыгодна Þ q*t=0 – актив стратегия.

Доминир стратегии вычеркиваются и получ матр меньшей размерностью.

Замеч№3 Сравнение операций по методу Парето: Допустим

есть операции Q1, Q2,. Qn. Для каж опер-и

расчит 2 параметра: 1) E(Q) – эффективность (доход);

2) r(Q) – степень риска (s-сред квадратич отклон).

Самая лучшая операция – это опер с наилуч эф-ю и с наимень риском.

F(Q)=kE(Q)-r(Q), где k - это склонность к риску (не мат проблема). Находим

макс из этих критериев maxi F(Qi). Операция Qi

>Q, если эф-ть не менее E(Qi)³E(Qj), а

риск опер r(Qi)£r(Qj) и хотя бы одно из нерав-в

строгое.

Доминир страт отбрас, как заведомо невыгодные.

Множ Парето – это все недоминир-е операции. Наиболее эф-е среди них.

Понятие о позиционных игр.

У каж игрока своя платежная матрица. Выигрыш одного не означ проигр др. Таким

способом можно высчитывать взаимные интересы игроков, а также возможность

образования коалиции. Можно расчит динамические игры учитывая фактор времени

и т.д.

Позиционные игры –возникает в случаи, когда надо принимать последо-но

несколько решений, при чем выбор решения опираются на предыдущ-е решения.

Рассотрим простейш случ позиц-й игры с природой. Решение изобр в виде дерева

решений.

Дерево решений – граф-е изобр-е всех возможных альтернатив игрока и сост

природы с указ вероятности соответ-х состояний и размеров выигрыша в каж

ситуации.

Альтернатива игрока изобр квадратом – список возможных стратегий в соот-й

ситуации. Сост-е природы кружочком, чел на них влиять не может. Делается оценка

каж вершины и наход макс оценка ситуаций соот-х каж ветви дерева решений.

EMV – денежное решение; EMV=åi(отдача в i-ом сост-и)pi

maxвершина (EMV)=?