Аксиоматика векторного пространства

Аксиоматика векторного пространства

Глава 1

§1. Аксиоматика векторного пространства

Характеризация векторного пространства, как математической структуры

осуществляются рядом аксиом.

Основные понятия теории: "вектор", "сумма двух векторов",

"произведение вектора на действительное число".

Косвенным определением основных понятий теории векторного

пространства являются следующие аксиомы:

I. Для любых векторов [pic] и [pic]существует единственный третий

вектор [pic], называемый их суммой

[pic]

Таким образом аксиома I постулирует:

а) единственность этой суммы.

б) существование суммы двух векторов [pic] и [pic];

Данная аксиома вводит на множестве векторов V операцию

f1: V x V ( V.

которая называется сложением двух векторов.

II. Сложение векторов коммутативно, т.е.

[pic].

III. Сложение векторов ассоциативно, т.е.

[pic] [pic]

IV. Существует вектор [pic] такой, что [pic] для любого вектора,

[pic] т.е.

[pic] [pic]

Определение 1.1. Вектор [pic], удовлетворяющий аксиоме IV, называется

нулевым вектором и обозначается [pic]

V. Для каждого вектора [pic] существует такой вектор [pic], что

[pic]+[pic]=[pic] [pic][pic]

Определение 1.2. Вектор [pic], удовлетворяющий аксиоме V, называется

противоположным вектору [pic].

VI. Для любого вектора [pic] и действительно числа [pic], существует

единственный вектор [pic], называемый произведением вектора [pic] на число

[pic] и обозначаемый т.о.: [pic], т.е.

[pic], [pic], [pic]

Данная аксиома вводит операция нового типа (внешнюю операцию):

[pic]

Эта операция носит название «умножение вектора на число».

VII. Для любого вектора [pic] умножение вектора [pic] на 1 не

изменяет вектора [pic], т.е.

[pic], [pic]

VIII. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е.

[pic], [pic], [pic]

IX. Умножение вектора на число дистрибутивно сложения чисел, т.е.

[pic], [pic], [pic]

X. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения

векторов, т.е.

[pic], [pic], [pic]

Этим заканчивается аксиоматика векторного пространства, которое можно

теперь определить т.о.:

множество V с введенными двумя операциями

[pic]

[pic],

подчиняющееся аксиомам I-X, называется векторным пространством над полем

действительных чисел R.