Аркфункции

Аркфункции

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования

элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные

тригонометрические функции.

Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить

их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y = arcsin(1/x)

Д(f): | 1/x | ? 1 ,

| x | ? 1 ,

( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )

Функция нечетная

( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;?/2] )

Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є

[-?/2; ?/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )

Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).

Решение:

Д(f): [-1;1]

Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]

f(x) возрастает на пр. [-1;0]

Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).

Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2

f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0.

f(y) убывает на пр. [-1;1] от ?2 до 0.

Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))

Решение:

Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? )

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? )

|X |0 |< x |1 |< x |+? |

| | |< | |< | |

|u=1/(x2-1|-1 |? |+ ? |? |0 |

|) | | |- ? | | |

|y=arctg(u|- |? |?/2 |? |0 |

|) |?/4 | |- ?/2| | |

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются

алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-

либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается

алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

y=x и

y=sin(arcsin(x))

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших

тригонометрических операций над аркфункциями.

|Аргумент |arcsin(x) |arccos(x) |arctg(x) |arcctg(x) |

| | | | | |

|функция | | | | |

|sin |sin(arcsin(x))=|[pic] |[pic] |[pic] |

| |x | | | |

|cos |[pic] |x |[pic] |[pic] |

|tg |[pic] |[pic] |x |1 / x |

|ctg |[pic] |[pic] |1 / x |x |

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи

рассуждений, приведенных ниже:

1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и ? = arcsin(x)

[pic]

[pic]

Перед радикалом [pic]следует взять знак “+”, т.к. дуга

[pic]принадлежит правой полуокружности (замкнутой) [pic], на которой

косинус неотрицательный.

Значит, имеем

[pic]

2. Из тождества [pic]следует:

[pic]

3. Имеем

[pic]

4. [pic]

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством

выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение [pic]

Решение: Применяем формулу [pic], имеем: [pic]

Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость

тождеств:

[pic]

[pic]

Пример №3. Пользуясь ...

[pic]

Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Пример №5. Положив в формулах

[pic], и [pic]

[pic], получим:

[pic], [pic]

Пример №6. Преобразуем [pic]

Положив в формуле [pic], [pic]

Получим:

[pic]

Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга [pic]принадлежит I четверти, а

потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими

из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

[pic]

[pic]

Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие

из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того

же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования

одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же

полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга ?, заключенная в интервале (-

?/2; ?/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде

арктангенса. В самом деле, дуга [pic]имеет синус, равный sin? и заключена,

так же как и ?, в интервале (-?/2; ?/2), следовательно

[pic]

Аналогично можно дугу ? представить в виде арктангенса:

[pic]

А если бы дуга ? была заключена в интервале ( 0 ; ? ), то она могла бы

быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

[pic]

Так, например:

[pic]

[pic]

Аналогично:

[pic]

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых

содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

1. Выражение [pic][pic]через арктангенс.

Пусть [pic], тогда

[pic]

Дуга [pic], по определению арктангенса, имеет тангенс, равный [pic] и

расположена в интервале (-?/2; ?/2).

Дуга [pic]имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-?/2;

?/2).

Следовательно,

[pic] (1)

(в интервале ( -1 : 1 )

2. Выражение [pic]через арксинус.

Т.к. [pic], то [pic] (2)

в интервале [pic]

3. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства [pic]следует

тождество

[pic] (3)

Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в

различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и

арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение

тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция

(дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи

любой аркфункции; так, например,

[pic]

Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть

выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит

либо промежутку от -?/2 до 0, либо промежутку от ?/2 до ? и не может быть

представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из

этих двух) промежутку.

Так, например, дуга [pic] не может быть значением арксинуса. В этом

случае

[pic]

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых

выбираются в различных полуокружностях.

4. Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть [pic], если [pic], то [pic]. Дуга имеет косинус, равный [pic], а

поэтому [pic]

При [pic]это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом

случае

[pic], а для функции [pic]имеем: [pic]

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень [pic], т.е.

число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

Х>0 X<0

При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и

[pic]

Таким образом, имеем окончательно:

[pic]если [pic], (4)

[pic], если [pic]

График функции [pic]

Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4),

закон соответствия можно выразить следующим образом:

[pic], если [pic]

[pic], если [pic]

5. Аналогично установим, что при [pic]имеем:

[pic], если же [pic], то

[pic]

Таким образом:

[pic] [pic], если [pic] (5)

[pic], если [pic]

6. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения

[pic] при [pic]имеем:

[pic]

Если же х<0, то

[pic]

Итак,

[pic] [pic], если [pic] (6)

[pic], если [pic]

7. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если [pic], то [pic]

При [pic] имеем:

[pic]

Итак,

[pic] [pic], если [pic] (7)

[pic], если [pic]

8. Выражение арктангенса через арккотангенс.

[pic] [pic], если х>0 (8)

[pic],если x<0

При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то

[pic].

9. Выражение арксинуса через арккотангенс.

[pic] [pic], если [pic] (9)

[pic], если [pic]

10. Выражение арккотангенса через арксинус.

[pic] [pic], если 0<x (10)

[pic], если х<0

11. Выражение арккотангенса через арктангенс.

[pic] [pic], если x>0 (11)

[pic], если x<0

Примеры:

Пример №1. Исследовать функцию [pic]

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением

значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл).

Воспользовавшись формулой (8) получим:

y= 0 , если x>0

-? , если x<0

На чертеже изображен график

данной функции

Пример №2. Исследовать функцию [pic]

Решение: Первое слагаемое определено для значений [pic], второе – для

тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к. [pic], то получаем

[pic],

откуда:

[pic] на сегменте [0;1]

Пример №3. Исследовать функцию [pic]

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по

абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех

значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

[pic]

Приняв во внимание равенство

[pic] [pic], если [pic]

[pic], если [pic]

получим:

y = 0 , если [pic]

[pic] , если [pic]

Выполнение обратных тригонометрических операций над

тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

[pic]

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и

в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим,

например, первое из данных выражений:

[pic]

Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности

(замкнутая), синус которой равен sin x;

[pic] и [pic]

Областью определения функции [pic] служит интервал [pic], так как при

всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента

[pic]содержится на сегменте [pic]. При произвольном действительном х

значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=?/6 имеем:

[pic]

но при х=5?/6

[pic]

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является

периодической с периодом 2?, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте

[-?/2; 3?/2] величиной 2?.

Если значение х принадлежит сегменту [-?/2; ?/2] то y=x, на этом

сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [?/2; 3?/2], то в этом случае

дуга ?-х принадлежит сегменту [-?/2; ?/2]; и, так как

[pic], то имеем y=?-х;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=?-х. Если

значение х принадлежит сегменту [3?/2; 5?/2], то, пользуясь периодичностью

или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2?

Если значение х принадлежит сегменту [-3?/2; -?/2], то

y=-?-х

Если значение х принадлежит сегменту [-5?/2; -3?/2], то

y=х+2?

Вообще, если [pic], то

y=х-2?k

и если [pic], то

y=(?-х)+2?k

График функции [pic]представлен на рисунке. Это ломаная линия с

бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

Рассмотрим функцию [pic]

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x, где [pic]

Областью определения данной функции является множество всех

действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2?. Если

значение Х принадлежит сегменту [0; ?], то y = x. Если х принадлежит

сегменту [?; 2?], то дуга 2?-х принадлежит сегменту [0; ?] и [pic],

поэтому:

[pic]

Следовательно, на сегменте [?; 2?] имеем y = 2? - x

Если х принадлежит сегменту [2?; 3?], то y = x - 2?

Если х принадлежит сегменту [3?; 4?], то y = 4? – x

Вообще, если [pic], то y = x - 2?k

Если же [pic], то y = -x + ?k

Графиком функции [pic]является ломаная линия

Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или

нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма

аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую

операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена

посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних

и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от

промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму

[pic]

Решение: эта сумма является суммой двух дуг ? и ?, где

[pic]; [pic]

В данном случае [pic] (т.к. [pic], а следовательно, [pic]), а также

[pic], поэтому [pic].

Вычислив синус дуги ?, получим:

[pic]

Т.к. сумма ? заключена на сегменте [-?/2; ?/2], то

[pic]

Пример №2. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в

виде арктангенса. Имеем:

[pic]

Откуда

[pic]

Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму [pic]

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга ?

оканчивается во второй четверти, т.к. [pic], а [pic]. Вычисляем [pic]

В рассматриваемом примере [pic], так как дуги ? и [pic]заключены в

различных интервалах,

[pic], а [pic]

В данном случае [pic]

Пример №4. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в

виде арккосинуса.

Решение: имеем

[pic]

Обе дуги ? и [pic]расположены в верхней полуокружности и имеют

одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны: [pic]

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи

произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы

сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных

рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения,

по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих

случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть ? и ? – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до ?/2 (первая

четверть):

[pic], и [pic]

Сумма ? + ? заключена в верхней полуокружности [pic], следовательно,

ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том

же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

[pic];

[pic]

Разность ? – ? заключена в правой полуокружности: [pic]

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в

виде арктангенса:

[pic];

[pic]

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента

заключено в интервале (0; ?/2) то сумму двух аркфункций от положительных

аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде

арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно

представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

1. Преобразуем в арккосинус [pic], где [pic] и [pic]

Имеем:

[pic]

Откуда

[pic]

2. Аналогично

[pic], где 0 < x < 1, 0 < y < 1

[pic], где 0 < x < 1, 0 < y < 1

[pic]

[pic]

[pic]

Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.

1. Выразить сумму [pic]через арксинус

По определению арксинуса

[pic] и [pic],

откуда

[pic]

Для дуги ? возможны следующие три случая:

Случай 1: [pic]

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет

место случай 1.

В самом деле, при [pic]и [pic], имеем:

[pic], и [pic],

откуда

[pic]

При x > 0, y > 0 для дуги ? имеет место одна из следующих двух систем

неравенств:

а) [pic] б) [pic]

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от

другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

[pic] в случае а) и [pic] в случае б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б)

влекут за собой взаимно исключающие следствия [pic] и

[pic](соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и

достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив [pic], получим:

[pic]

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а)

т.е. [pic]или

[pic]

Откуда

[pic] и, следовательно, [pic]

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

[pic];

но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а

потому

[pic] или [pic]

Случай 2. [pic]

В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из

условия [pic]получим [pic]

Случай 3. [pic]

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и [pic]

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

[pic]

откуда [pic]

Дуги ? и [pic] имеют одинаковый синус, но (по определению

арксинуса) [pic], следовательно в случае 1 [pic];

в случае 2 [pic] и в случае 3 [pic].

Итак, имеем окончательно:

[pic] , [pic] или [pic]

[pic] [pic]; x > 0, y > 0, и [pic] (1)

[pic]; x < 0, y < 0, и [pic]

Пример:

[pic]

[pic]; [pic]

2. Заменив в (1) x на –x получим:

[pic] , [pic] или [pic]

[pic] [pic]; x > 0, y > 0, и [pic] (2)

[pic]; x < 0, y < 0, и [pic]

3. Выразить сумму [pic]через арккосинус

[pic] и [pic]

имеем

[pic]

Возможны следующие два случая.

Случай 1: [pic]если [pic], то

[pic]

Приняв во внимание, что обе дуги [pic]и [pic]расположены в промежутке

[0;?] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

[pic]

и следовательно, [pic], откуда [pic]

Случай 2: [pic]. Если [pic], то

[pic],

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим [pic].

Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если [pic],

а случай 2, если

[pic].

Из равенства [pic] следует, что дуги

[pic] и [pic] имеют одинаковый косинус.

В случае 1 [pic], в случае 2 [pic], следовательно,

[pic] [pic], [pic]

[pic], [pic] (3)

4. Аналогично

[pic] [pic], [pic]

[pic], [pic] (4)

пример: [pic]

5.

[pic]; xy < 1

[pic] [pic]; x > 1, xy > 1 (5)

[pic]; x < 0, xy > 1

При xy=1 не имеет смысла

6.

[pic]; xy > -1

[pic] [pic]; x > 0, xy < -1 (6)

[pic]; x < 0, xy < -1

7.

[pic]; [pic]

[pic] [pic]; [pic] (7)

[pic]; [pic]

8.

[pic] [pic]; [pic] (8)

[pic]; [pic]

9.

[pic]; [pic]

[pic] [pic]; x > 1 (9)

[pic]; x < -1

10. [pic] (10)

[pic] (11)

[pic] [pic] , если [pic] (12)

[pic], если [pic]

-----------------------

?/2

-?/2

0

1

-1

[pic]

[pic]

-1

1

0

x

?/2

y

x

y

y

x

[pic]

-1

1

0

?/2

?

[pic]

y

x

-1

1

0

y

x

-?/4

-1

1

0

-?/2

?/2

x

y

0

0

y

x

1

-1

x

y

1

-1

arcsin(x)

arccos(x)

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

1

-1

[pic]

X

Y

[pic]

-?

?

X

Y

[pic]

-?

?

0

Х

Y

[pic]