Асимптота

Асимптота

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.

Москва 2002 год

2

Содержание

Введение

3

2. Нахождение асимптоты

4

2.1 Геометрический смысл асимптоты

5

2.2 Общий метод нахождения асимптоты

6

3. Виды

8

3.1 Горизонтальная асимптота

8

3.2 Вертикальная асимптота

9

3.3 Наклонная асимптота

10

Использованная литература

12

3

Введение

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи

продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так

что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они

проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды,

логарифмич. линии, циссоиды и др.).

4

2. Нахождение асимптоты

Пусть функция f (x) определена для всех x ( а (соответственно для всех

x ( а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) ( kx ( l = 0 при х ( (

( (соответственно при х ( ( (), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x ( ( ( (соответственно при

х ( ( ().

Существование асимптоты графика функции означает, что при х ( + (

(или х ( ( () функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть

отличается от линейной функции на бесконечно малую.

x[pic]( 3x ( 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x (1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x ( 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х ( ( (, то прямая y

= x-4

является асимптотой графика данной функции как при х ( + (,

так и при х ( ( (.

5

2.1 Геометрический смысл асимптоты

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка

графика функции f, М[pic] - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,

( - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, ( ([pic],

MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка

пересечения прямой ММ[pic] с асимптотой АВ (рис.1).

[pic]

(рис.1)

Тогда ММ[pic] = f (x), QM[pic] = kx + l, MQ = MM[pic] ( QM[pic] = f (x) –

(kx +l),

MP = MQ cos (. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю

множитель cos (, поэтому условия MQ ( 0 и MP ( 0 при х ( ( (

(соответственно при х ( ( () эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и наоборот. х (

( (

х ( ( (

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние

до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда

точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность»

(при х ( ( ( или, соответственно, х ( ( ().

6

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения

коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х ( ( ( (при х ( ( (

рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту

y = kx + l при х ( ( (. Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу

при х ( ( (. Тогда

lim [pic] = k.

х ( ( (

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для

определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

[pic] х ( ( (

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что

выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является

х ( ( (

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx)

имеем

[pic]

х ( ( (

lim (f (x) ( (kx + l)( = 0,

х ( ( (

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению

асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким

образом, формулы lim [pic] = k. и l = lim (f (x) – kx)

х ( ( ( х ( ( (

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов

определённого вида. Более того, мы показали, что если существует

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по

формулам lim [pic] = k. и l = lim (f (x) – kx)

х ( ( ( х ( ( (

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно

единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = [pic],

найденную нами выше другим способом:

7

[pic]

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х ( ( (, так и при х ( - (.

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой,

непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и

на прямые, параллельные оси Oy.

8

3. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

Пусть ( lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется

горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид

(при x ( +() (рис.2)

(рис.2)

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

(рис.3)

9

3.2 Вертикальная асимптота

(рис.4)

Пусть при x ( a ( 0 lim f (x) = ( (. Тогда говорят, что прямая x = a

является

х ( (

вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а

ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты,

связанные с тем, куда уходит f (x) в + ( или ( (.

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

[pic].

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

[pic]

10

3.3 Наклонная асимптота

(рис.5)

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х

есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает,

что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х ( ( (

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x ( (

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина

[pic]

Но тогда мы имеем [pic]

и так как последний предел равен нулю, то

[pic]

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

[pic]

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

[pic]

[pic]

то есть асимптота при x ( +( имеет уравнение y=x.

11

Аналогично можно показать, что при x ( - ( асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции [pic] выглядит так (рис.6)

(рис.6)

12

Использованная литература

1. Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

3. Лекции по математике