Атомические разложения функций в пространстве Харди

Атомические разложения функций в пространстве Харди

Міністерство Освіти України

Одеський державний університет

ім. І.І.Мечнікова

Інститут математики, економіки та механіки

Атомічні розкладення функцій

у просторі Харді

Дипломна робота

студентки V курсу

факультету математики

Семенцовой В.А.

Науковий керівник

Вартанян Г.М.

Одеса - 2000

Содержание

Введение....................................................................

................ 3

Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах [pic], [pic]и

[pic]................................. 8

§I.1. Интеграл

Пуассона..................................................... 8

§I.2. Пространства

[pic]....................................................... 12

§I.3. Пространства [pic]и

[pic]......................................... 17

§I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная

максимальная

функция............................................... 22

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве

[pic], пространство

ВМО........................................ 26

§II.1. Пространство [pic], критерий принадлежности

функции из [pic] пространству

[pic]....................... 26

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на [pic],

двойственность [pic] и

ВМО.................................. 32

Литература..................................................................

................ 37

Введение.

Целью настоящей работы является изучение основных понятий и

результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась

в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между

следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства [pic] , [pic], [pic]

и [pic], раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных

понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение

каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее

в выше перечисленном ряду объектов.

Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В

первой главе изучены свойства пространств [pic] , [pic], [pic], а во второй

мы доказываем коитерий принадлежности функции из [pic] пространству [pic] и

двойственность пространств [pic] и [pic].

В работе мы рассматриваем случай [pic]периодических функций.

Используемые обозначения имеют следующий смысл:

[pic] - пространство [pic]периодических, непрерывных на [pic] функций;

[pic]- пространство [pic]периодических, бесконечно дифференцируемых на

[pic]функций;

[pic] - пространство [pic]периодических, суммируемых в степени р на

[pic]функций, т.е.для которых [pic], [pic];

[pic]- пространство [pic]периодических ограниченных на [pic] функций;

[pic]- носитель функции [pic].

В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона

суммируемой на [-(,(] 2(-периодической комплекснозначной функции [pic]

называется функция

(r ( x ) = [pic] ,

где [pic] , t ( ((((((((((- ядро Пуассона.

Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы

неоднократно будем использовать в ряде доказательств:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) для любого (>0

[pic]

Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении

интеграла Пуассона [pic]при [pic]:

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p < ( ,

имеет место равенство[pic]

[pic] ;

если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то

[pic].

Теорема 2 (Фату).

Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда

[pic] для п.в. [pic].

В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:

Определение1. Функция [pic]называется аналитической в точке [pic], если

она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят,

что функция [pic]аналитична на некотором множестве,если она аналитична в

каждой точке этого множества.

Определение2. Действительная функция двух действительных переменных

[pic] называется гармонической в области [pic], если [pic] и удовлетворяет

уравнению Лапласа:

[pic].

Определение3. Две гармонические функции [pic] и [pic], связанные

условиями Коши-Римана : [pic], [pic] , называются гармонически

сопряженными функциями.

Определение4. Под нормой пространства [pic] понимается

[pic] , [pic].

Определение5. Под нормой пространства [pic]понимается

[pic] , [pic].

Определение6. Пусть [pic] ( или [pic],[pic]). Модуль непрерывности (

соответственно интегральный модуль непрерывности) функции [pic]

определяется равенством

[pic], [pic].

([pic], [pic]).

Определение7. Последовательность [pic]функций, определенных на

множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к

функции [pic], если [pic] для почти всех [pic], т.е. множество тех

точек [pic], в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.

В §I.2 мы рассматриваем пространства [pic] - это совокупность

аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна

норма

[pic] .

Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую

функцию [pic]([pic]) можно предсавить в виде

[pic], [pic] , [pic],

где [pic] для п.в. [pic] , при этом

[pic] [pic] ;

[pic] [pic].

Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих

определениях:

Определение8. Говорят, что действительная функция [pic], заданная на

отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая

постоянная [pic], что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками

[pic] выполнено неравенство [pic].

Определение9. Действительная функция [pic], заданная на отрезке

[a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого [pic]

найдется число [pic]такое, что какова бы ни была система попарно

непересекающихся интервалов [pic], [pic] с суммой длин, меньшей [pic]:

[pic], выполняется неравенство [pic].

В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению

пространств [pic] и [pic]. Пространство [pic]([pic]) представляет собой