Bilet

Bilet

Билет№1

1) Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число

Т, не равное нулю, что для любых значений аргумента из области

определения функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т

называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция

(синусоиду нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа

вида T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом

является число T=2P. Для построения графика периодической функции

достаточно построить часть графика на одном из промежутков длинной Т,

а затем выполнить параллельный перенос этой части графика вдоль оси

абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,…

2) Степенью числа а, большего нуля, с рациональным показателем r=m/n (m-

целое число;n-натуральное, больше 1) называется число nSQRa^m, т.е.

a^m/n = nSQRa^m. Степень числа 0 определена только для положительных

показателей; 0^r=0 для любого r>0. Свойства степеней с рациональным

показателем Для любых рациональных чисел r иs и любых положительных a

и b справедливы следующие свойства. 1) Произведение степеней с

одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и

показателем, равным сумме показателей множителей: a^r * a^s = a^r+s.

2) Частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же

основанием и показателем, равным разности показателей делимого и

делителя: a^r : a^s = a^r-s.

3) При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а

показатели перемножают: (a^r)^s = a^rs 4) Степень произведения равна

произведению степеней: (ab)^r = a^r * b^r. 5) Степень частного равна

частному степеней (a/b)^r = a^r / b^r. 6) Пусть r рациональное число

и число a больше нуля, но меньше числа b, 0<a<b, тогда: a^r < b^r ,

если r- положительное число; r^r > b^r, если r-отрицательное число.7)

Для любых рациональных чисел r и s из неравенства r<s следует, что:

a^r <a^s при a>1 ; a^r > a^s при 0<a<1. Докажем свойство 2 Пусть

r=m/n и s=p/q, где n и q – натуральные числа, а m и p – целые числа.

По определению степени с рациональным показателем имеем: a^m/n :

a^p/q = nSQRa^m : qSQRa^p. Приведём корни к одному показателю. Для

этого воспользуемся свойством корней n-й степени: nSQRa = nrSQRa^r,

r>0. Имеем: nSQRa^m : qSQRa^p = nqSQRa^mq : nqSQRa^pn = nqSQRa^mq /

nqSQRa^pn Используя свойство частного корней, получим: nqSQRa^mq /

nqSQRa^pn = nqSQRa^mq / a^pn = nqSQRa^mq-pn. Применим определение

степени с рациональным показателем: nqSQRa^mq-pn = a^mq-pn/nq =

a^mq/nq-pn/nq = a^m/n-p/q = a^r-s.

Билет №2

1.Точка Х0 наз-ся точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой

окрестности точки х0 выполнено неравенство f(x)(f(x0)

Окрестностью точки х0 наз-ся любой интервал, сод-щий

эту точку. Например, функция y=-x*x-3 имеет точку максимума х0=0.

Точка х0 наз-ся точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой

окрестности х0 выполнено неравенство f(x0) (f(x)

Например, функция y=x+2 имеет точку минимума х0=0.

1)Если (a((1 то уравнение sinx=a корней не имеет, так как (sinx((1 для

любого х.

2)Пусть (a((1 а) На промежутке –пи/2;пи/2 функция y=sinx возрастает,

следовательно по теореме о корне, уравнение sinx =a имеет один корень

x=arcsin a.

Б) На промежутке пи/2;3пи/2 функция y=sin x убывает, значит по теореме о

корне ур-ие sin x=a имеет одно решение x=пи-arcsin a.

В) учитывая периодичность функции y= sin x (период функции равен 2пи n)

решение ур-ия можно записать так: х=arcsin a +2пи n

x=пи- arcsin a +2пи n

решение данного ур-ия можно записать в виде следующей формулы

x=(-1)^n arcsin a + пи n

при четных n(n=2k) мы получим все решения, записанные первой формулой , а

при нечетных n(n=2k+1)- все решения записанные второй формулой.

Билет №3

1) арксинусом числа а называется число, для которого выполнены

следующие два условия: 1)-p/2 <= arcsin a <= p/2; 2) sin(arcsin

a)=a. Из втоого условия следует, что |a|<=1 Пример1. (рис 26)

arcsinSQR3 / 2 = p/3, так как: 1) –p/2 <= p/3 <=p/2; 2)sin p/3=

SQR3 / 2 Пример2. Arcsin SQR5/2 не имеет смысла, так как SQR5 /

2 >1, a arcsin a определён при –1 <= a <= 1 Определение

Арксинусом числа а называется такое число из отрезка [-

Пи/2;Пи/2], синус которого равен а.

2) Если функция F-первообразная функции f на промежутке I, то

функция y=F(x)+C (c-const) также является первообразной функции

f на промежутке I. Любая первообразная функции f на промежудке I

может быть записана в виде F(x)+C. Доказательство. 1)

Воспользуемся определением первообразной:

(F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(x), следовательно, y=F(x)+C – первообразная

функции f на промежутке I. 2) Пусть Ф и F- первообразные функции

f на промежутке I. Покажем, что разность Ф-F равна постоянной.

Имеем (Ф(x) – F(x))’ = Ф’(x) – F'(x)=f(x)-f(x)=0,

следовательно, по признаку постоянства функции на интервале Ф(x)-

F(x)=C. Значит любую первообразную можно записать в виде F(x)+C.

Графики любых двух первообразных для функции y=f(x) получаются

друг из друга параллельным переносом вдоль оси Ox (рис. 18)

Билет №4

1) Арккосинусом числа а называется такое число, для которого

выполнены следующие два условия: 1) 0<=arccosa<=p; 2)cos(arccos

a)=a. Из условия 2 следует, что |a|<=1 Пример 1 (рис 28)

arccos1/2=p/3, так как: 1)0<= p/3 <= p; 2) cos p/3 = Ѕ. Пример

2. Arccos p не имеет смысла , так как p ~=3,14 > 1; arccos a

определён при |a|Б=1

2) Показательной функцией называется функция вида y=a^x, где а-

заданное число, а >0, a не равно 1. Свойства показательной

функции 1) Областью определения показательной функции являются

все действительные числа. Это следует из того, что для любого x

принадлежащего R определено значение степени a^x (при a>0). 2)

Множеством значений показательной функции являются все

положительные действительные числа: E(y)=(0;+бескон.) 3) а)

Показательная функция y+a^x возрастает на всей области

определения, если a>1. б) Показательная функция Y=a^x убывает

на всей области определения, если 0<a<1. Докажем, что если a>1,

то большему значению аргумента (x2>x1) соответствует большее

значение функции (a^x2 > a^x1). Из свойств степени известно,

если r>s и a>1, то a^r >a^s. Пусть х2 > x1 и a > 1, тогда a^x2

>a^x1 (по свойству степени). А это означает, что функция y=a^x1

при a>1 возрастает на всей области определения. Докажем, что

если 0 < a<1, то большему значению аргумента (x2>x1)

соответствует меньшее значение функции (a^x2 < a^x1). Из свойств

степени известно, если r>s и 0<a<1, то a^r<a^s. Пусть x2>x1 и

0<a<1, тогда a^x2 < a^x1 (по свойству степени). А это означает,

что функция y=a^x при 0<a<1 убывает на всей области определения.

4) Нет таких значений аргумента, при которых значения

показательной функции равны нулю, т.е. у показательной функции

нет нулей. 5)Показательная функция непрерывна на всей области

определения. 6) Показательная функция дифференцируема в каждой

точки области определения, производная вычисляется по формуле

(a^x)’ = a^x ln a. (график на рисунке 29)

Билет№ 5

1) На интервале (-Пи/2;Пи/2) функция тангенс возрастает и принимает

все значения из R. Поэтому для любого числа а на интервале (-

Пи/2;Пи/2) существует единственный корень b уравнения tgx=a. Это

число b называют арктангенсом числа а и обозначают arctga.

Определение Арктангенсом числа а называется такое число из

интервала (-Пи/2;Пи/2) тангенс которого равен а. Пример

arctg1=Пи/4, так как tgПи/4=1 и Пи/4((-Пи/2;Пи/2); arctg(-

SQR3)=-Пи/3, так как tg(-Пи/4)=-SQR3 и –Пи/3((-Пи/2;Пи/2).

2) Логарифмической функцией называется функция вида y = loga x, где

а -заданное число, a>0, a не рано 1. Свойства логарифмической

функции 1) Областью определения логарифмической функции являются

все положительные действительные числа. Это следует из

определения логарифма числа b по основанию a; loga b имеет

смысл, если b>0 2) Множеством значений логарифмической функции

являются все действительные числа. Пусть y0 – произвольное

действительное число. Покажем, что найдётся такое положительное

значение аргумента x0, что выполняется равенство y0 = logax0. По

определению логарифма числа имеем: x0 = a^y0, a^y0 > 0. Мы

показали, что нашлось значение x0 > 0, при котором значение

логарифмической функции равно у0 (у0 – произвольное

действительное число). 3) Логарифмическая функция обращается в

нуль при х=1. Решим уравнение logax=0. По определению логарифма

получаем: a^0 = x, т.е. x = 1. 4) а) логарифмическая функция

y=loga x возрастает на всей области определения, если

a>1.Докажем, что большему значению аргумента (х2 > х1)

соответствует большее значение функции (loga x2 > loga x1),

если a>1. Пусть x2 > x1 > 0; тогда используя основное

логарифмическое тождество, запишем это неравенство в виде

a^logax2 > a^logax1 . (1) В неравенстве (1) сравниваются два

значения показательной функции. Поскольку при a>1 показательная

функция возрастает, большее значение функции может быть только

при большем значении аргумента, т.е. logax2 > logax1.

б)Логарифмическая функция y=logax убывает на всей области

определения, если 0<a<1. 5) Логарифмическая функция y=logax: а)

при a>1 принимает положительные значения, если x>1;

отрицательные значения, если 0<x<1 б) при 0<a<1 принимает

положительные значения, если 0<x<1, и отрицательные значения,

если x>1. Пусть a>1, тогда функция y=logax возрастает на всей

области определения (рис. 31); причём loga1=0. Из этого следует,

что: для x>1 logax > loga1, т.е. logax>0; для 0<x<1 logax <

loga1, т.е. logax <0. Пусть 0<a<1; тогда функция y=logax убывает

на всей области определения (рис.32); причём loga1=0. Из этого

следует, что: для x>1 logax < loga1, т.е. logax < 0; для 0<x<1

logax > loga1, т.е. logax > 0. 6) Логарифмическая функция

непрерывна на всей области определения.

Билет №6

1) Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0 – точка этого

промежутка; ?x – приращения аргумента x; x0 + ?X также принадлежит

этому промежутку; ?y – приращение функции. Предел отношения (если он

существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении

приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке.

Пусть материальная точка движется по координатной прямой по закону

x=x(t), т.е. координата этой точки x- известная функция времени t.

Механический смысл производной состоит в том, что производная от

координаты по времени есть скорость: v(t) = x’(t).

2) 1) Если |a|>1, то уравнение cos x = a решений не имеет, так как |cos

x|<=1 для любого x. 2) Рассмотрим случай |a|<=1(рис 35) а) На

примежудке [0;Пи] функция y=cosx убывает, значит, уравнение cosx=a

имеет один корень x=arccos a. Учитывается, что функция y=cos x –

периодическая с периодом 2Пиn, запишем все решения уравнения cosx=a на

промежутке [2Пиn; Пи+2Пиn], n принадлежит Z, в виде x = arccos a+

2Пиn, где n принадлежит Z. Б) На промежутке [-Пи; 0] функция y =cosx

возрастает, следовательно, уравнение cosx=a имеет один корень, а

именно,x=-arccos a. Учитывая периодичность функции y= cos. Делаем

вывод, что решением уравнения cos x = a на промежудке [-Пи+2Пи; 2Пиn],

где n принадлежит Z, являются числа вида x=-arccos a + 2 Пиn, где n

принадлежит Z. Таким образом, все ершения уравнения могут быть

записаны так: x=+-arccos a + 2Пиn, где n принадлежит Z.

Билет № 7

1) Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0-точка этого

промежутка; ?x-приращение аргумента х; точка х0+ ?x принадлежит этому

промежутку; ?y-приращение функции. Предел отношения (если он

существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении

приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке.

Пусть задана дифференцируемая функция y=f(x) (рис.36). Геометрический

смысл производной состоит в том, что значение производной функции в

точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к

графику функции в точке с абсциссой x0: f’(x0)=R, где R-угловой

коэффициент касательной.

2) 1) На промежутке (-Пи.2 ; Пи.2) функция y=tgx возрастает, значит, на

этом промежутке, по теореме о корне, уравнение tgx=a имеет один

корень, а именно, x=arctg a (рис 37). 2) Учитывая, что период

тангенса равен Пиn, все решения определяются формулой x=arctg a + Пиn,

nпринадлежит Z.

Билет №8

1) Пусть ф-ция f(x) задана на некотором промежутке, а –точка этого

промежутка. Если для ф-ции выполняется приближенное равенство f(x) ?f(a)

с любой , наперед заданной точностью, для всех х , близки х к а , то

говорят , что ф-ция непрерывна в точке а. Иными словами ф-ция f непрерывна

в точке а , если f(x) >f(a) при х >а.

Ф-ция непрерывная в каждой точке промежутка наз-ся непрерывной на

промежутке.

Гр. непрерывной на промежутке ф-ции представляет собой непрерывную линию.

Иными словами гр. можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

Например ф-ция f(x)=3^x непрерывна в точке х0=2.Действаительно 3^x >3^2,

при х>2. Ф-ция f(x)=3^x непрерывна на множестве всех действительных чисел ,

а ее график можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

2) Арифметическим корнем n-ой степени из числа а наз-ся неотрицательное

число n-ая степень к-рого равна а.

Св-ва корней: Для любых натуральных n, целого k и любых неотрицательных

чисел a и b выполняются следующие св-ва:

1. N sqr ab= n sqr a * n sqr b

2. n sqr (a/b)= (n sqr a)/( n sqr b) b ?0

3. n sqr (k sqr a)= kn sqr (a), k> 0

4. n sqr (a) = kn sqr (a^k) ,k>0

5. n sqr (a^k)=( n sqr a)^k (ели k?0,то а?0)

6. Для любых неотрицательных чисел а и b таких, что а < b выполняется

неравенство:

n sqr a< n sqr b, если 0?a<b

Док-во св-ва №5: По опр-нию корня n-ой степени (n sqr a^k)^n=a^k; (n

sqr a)^k? 0, так как n sqr a? 0. Найдем n-ю степень выражения (n sqr a)^k.

По св-ву возведения степени в степень ((n sqr a)^k)^n=(n sqr a)^nk=(( n sqr

a)^n)^k;по определению корня n-ой степени ((n sqr a)^n)^k=a^k.

Следовательно n sqr a^k=( n sqr a)^k.

Билет №9

1. Все рациональные и дробно-рациональные ф-ции непрерывны на всей области

определения. Этот факт следует из того что рациональные и дробно-

рациональные ф-ции дефференцируемы во всех точках своих областей опр-ия.

Например: ф-ция f(x)=x^3-7X^2+24x непрерывна на множестве действительных

чисел; а ф-ция g(x)=(x^3+8)/(x-2) непрерывна на промежутке (-(:2) и на

промежутке (2;+ ()

2. Логарифмом числа b наз-ся показатель степени в к-рую нужно возвести

основание а чтобы получить число b.

Из опр-ия имеем: a^ logab =b (осн-ое лог-ое тождесто)

Св-ва логарифмов: При любом а>0(а(1), и любых пол-ных х и у выполняются

следующие св-ва:

1) loga1=0

2) logaа=1

3) loga(ху)= logaХ+ logaУ

Док-во: Воспользуемся осн-ным лог-им тождеством

a ^ logab =b и св-ом показат-ной ф-ции

а^ х+у =а^x * а^y имеем

а^ loga(xy)=xy= a^ logax *a^ logay =a ^logax +logay

4) loga(Х/У)= logaХ- logaУ

5) logaХ^Р= рlogaХ

6) Формула перехода:

logaХ= logbX/ logbA

Билет №10.

1. Ф-ция F наз-ся первообразной ф-ции f на промежутке I, если для всех

значений аргумента из этого промежутка F((x)=f(x). Например ф-ция

F(x)=4x^2+3x-1 явл-ся первообразной ф-ции f(x)=12x^3 на множестве всех

действительных чисел. Действительно F((x)=12X^2+3 , т.е. F((x)=f(x).

2. Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его тангенс

, то говорят , что задана ф-ция тангенс. Обозначается это так: y=tg x.

Св-ва:1) Областью опр-ния ф-ции явл-ся все действительные числа, кроме

чисел вида

X=пи/2 +пи k, k(Z.

Это следует из опред-ия тангенса (tg x=sin x/cos x). Нужно искл-ть числа,

при к-рых знаменатель cos x=0 т.е. х= пи/2+пи k, k(Z.

2) Множеством значений ф-ции явл-ся все действительные числа:Е(у)=(-(;+().

3) Ф-ция явл-ся нечетной ф-цией, т.е. для любого х(D(y) выполняется нер-во

tg(-x)=-tg x . покажем это, tg (-x)=sin (-x)/cos (-x)= -sin x/cos x= -tg x

4) Ф-ция явл-ся периодической с периодом пи k ,где k-целое кроме

0.Наименьшим положительным периодом тангенса явл-ся число пи.

5) Ф-ция тангенс принимает значения 0 при х=пи k, k(Z. Решением ур-ия tg

x=0 явл-ся числа х=пи k, k(Z

6) Ф-ция tg принимает положительные значения при пи k<x<пи/2+ пи k, k(Z.

Ф-ция tg принимает отрицательные значения при

-пи/2+пи k<x<пи k, k(Z . Промежутки знакопостоянства следуют из опр-ия tg

x=sin x/cos x.

7) Ф-ция tg возрастает на всей области опр-ия т.е. на промежутках (-пи/2+пи

k; пи/2 +пи k) k(Z

Билет №11

1) Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная и неотрицательная функция

y=f(x); S-площадь соответствующей криволинейной трапеции (рис42). Для

вычисления площади S разобьём отрезок [a;b] на n равных отрезков,

длинна каждого отрезка [Xj;Xj+1] равна b-a / n; на каждом из отрезков

построим прямоугольник, высота которого равна значению функции f(Xj);

площадь такого прямоугольника равна f(Xj)* ?X=f(Xj) * b-a / n. При

увеличении числа промежутков, на которые разбивается отрезок [a;b],

ступенчатая фигура, состоящяя из прямоугольников, будет «мало

отличатся» от криволинейной трапеции, и если Sn-сумма площадей всех

прямоугольников, то Sn~=S. В курсе математического анализа

показывается, что для любой непрерывной на отрезке [a;b] функции

y=f(x) существует число, к которому стремится сумма площадей

прямоугольников при неограниченном увеличении n(n > ?)). Это число

называют интегралом, т.е. Sn > integral (a;b) f(x) dx при n> ?

2) Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его синус,

то говорят, что задана функция синус (обозначение y=sin x). Свойства

функции синус 1) Область определения функции синус является множество

всех действительных чисел, т.е. D(y)=R. Каждому действительному числу

х соответствует единственная точка единичной окружности Px, получаемая

поворотом точки P0(1;0) на угол, равный х радиан. Точка Рх имеет

ординату, равную sinx. Следовательно, для любого х определено значение

функции синус. 2) Множеством значений функции синус является

промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это следует из определения

синуса: ордината любой точки единичной окружности удовлетворяет

условию –1 <= Ypx<=1, т.е. –1<=sin x<=1 3)Функция синус является

нечётной, т.е. для любого х принадлежащего R выполняется равенство

sin(-x)=-sinx. Пусть точка Рх получена при повороте точки Р0 на х

радиан, а точка Р-х получена при повороте точки Р0 на –х радиан (рис

43). Треугольник ОрхР-х является равнобедренным; ON-биссектриса угла

РхОР-х, значит, ON является медианой и высотой, проведённой к стороне

РхР-х. Следовательно, PxN = P-xN, т.е. ординаты точек Рх и Р-х

одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Это означает, что sin(-

x)=-sinx. 4) Функция синус является периодической с периодом 2ПиR,