Билеты по геометрии (11 класс)

Билеты по геометрии (11 класс)

Билет № 3

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

2. Объем призмы.

1.Три случая расположения прямой и плоскости.

1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку ( ((

2.Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки.

1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.((( a

2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на

высоту.

Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1В1С1с объемом V и

высотой h.

Проведем такую высоту ?АВС (ВD) кот. разделит этот ?на 2 ?.

Поскольку ВВ1D разделяют данную призму на 2 призмы ,

основания кот является прямоугольный ?ABD и ВСD. Плэтому

объем V1 и V2 соответственно равны SABD ·h и SВСD ·h. По св-

ву 20 объемов V=V1+V2 т.е V= SABD ·h+ SВСD ·h=

(SABD+ SВСD) h. Т.о. V=SАВС·h

Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и

площадью основания S. Такую

призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой

h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и

сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h,

получим в скобках сумму площадей оснований треугольных

призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким

образом, объем исходной призмы равен произведению Sh.

Теорема доказана.

Рассмотрим случай , когда

призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное

сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные

призмы. Так как Sпол = 1//2 ab то S?=ab =>V?= Sh ч.т.д.

Билет №5

1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)

2. Объем цилиндра.

1.Рассмотрим пл ? и т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А

прямую,( к пл ?, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл ?

.Отрезок АН называется, ( проведенным из

т А к пл ?, a т Н — основанием (. Отметим в пл ? какую-

нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он называется

наклонной, про-вед из т А к пл ? , а т М — основанием

наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл

?. Сравним ( АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ?АМН

сторона АН — катет, а сторона AM - гипотенуза, поэтому

АН<АМ. Итак, (, проведенный аз данной т к пл, меньше любой

наклонной, проведенной из той же т к этой пл.

=> из всех расстояний от т А до различных т пл ? наименьшим

является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина (,

проведенного из т А к пл ? , называется расстоянием от т A

до пл ?

Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости

равноудалены от другой плоскости.

2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную

призму Fn а в

эту призму впишем цилиндр Рп . Обозначим через V и Vn

объемы цилиндров Р и Рп, через rп — радиус цилиндра Рп. Так

как объем призмы Fn равен Snh, где Sn- площадь основания

призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn , кот в свою

очередь , содержит цилиндр Рп , то Vn<Snh<V. Будем

неограниченно увеличивать число n. При этом радиус rп

цилиндра Рп стремиться к радиусу r цилиндра

Р(rп=rcos180/n(r при r>?). Поэтому V цилиндра Рп

стремиться к объему цилиндра Р: limVn=V. Из равенства

(Vn<Snh<V) =>, что

n>?

limSnh=V. Но limSn=?r2 Т.о V=?r2h. т.к ?r2=S , то получим

V=Sоснh.

n>? n>?

Билет № 6

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)

2. Объем конуса.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и

плоскостью , проходящей через другую прямую параллельную

первой , называется расстояни6е между скрещивающимися

прямыми.

Если две прямые скрещиваются то через каждую из них

проходит плоскость параллельная другой прямой , и при том

только одна.

2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения

площади основания на высоту.

Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R,

высо-той h и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ).

Произвольное сечение конуса пл. , ( к оси Ох , является

кругом с центром в т М1 пересе-чения этой пл. с осью Ох.

Обозначим радиус через R1 ,а S сечения через S(х) , где

х – абсцисса т М1 . Из подобия прямоугольных ? ОМ1А1 и

ОМА=> что

|ОМ|=|R|, |x|=|R|отк|R| |так|S(x)=|,|S(|(R|

|1 | |1|ил| | |1|уда|=|x|как|(R12 |т|x)|2 |

| | | |и | | | | | |R| | |о|= | |

|ОМ| |R| |h| |R| | | | | | | | |

| | | | | | | | | |h| | | | |h2|

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при

а=0, b=0, получим

| |h| | | |h| | | | |

| | | | | | | | | |h |

|V|?|?|x2|?|?|x2|?|(|x3|(|1|?R2|

|=| |R|dx|R| |dx|R| | |=| |h |

| | |2|= |2| |= |2| | | | | |

| | |h| |h| | |h| |3 | |3| |

| | |2| |2| | |2| | | | | |

| |0| | | |0| | | | |

| | | | | | | | | |0 |

Площадь S основания конуса равна (R2, поэтому V=1/3Sh.

Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь

оснований S и S1вычисляется по формуле V=1/3h(S·S1+? S·S1).

Билет №7

1. Угол между скрещивающимися прямыми

2. Площадь боковой поверхности цилиндра.

1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем

произвольную т. М1 пространства и проведем через нее

прямые А1В1 и С1D1 , соответственно параллельн АВ и СD

Если ? между прямыми А1В1 и С1D1 =?, то будем говорить ,

что ? между скрещивающимися прямыми АВ и СD=?. Докажем

теперь, что ? между прямыми не зависит от выбора т. М1 .

Действительно , возьмем любую т. М2 и проведем прямые

А2В2и С2D2 соответственно парал. АВ и СD Т.к А1В1? А2D2 ,

С1D1? C2D2 , то стороны углов с вершинами в т.М1и М2

попарно сонаправлены ( ?А1М1С1 и ?А2М2С2 , ?А1М1D1 и?А2М2D2

) потому эти ? равны , ? что ? между А2В2и С2D2 так же

=?. В качестве т М можно взять любую точку на одной из

скрещивающихся прямых . Например на СD отметить т М и

через нее провести А'B' параллельные АВ .Угол между

прямыми A'B'и CD= ?

2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны

окружности основания на высоту

Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем

т.о , что все образующие оказались в одной плоскости ? . В

результате в пл ? получится прямоугольник АВВ'А' .

Стороны АВ и А'В' –два края разреза боковой поверхности

цилиндра по образующей АВ . Это прямоугольник называется

разверткой боковой поверхности цилиндра . основание АА'

прямоугольника является разверткой окружности основания

цилиндра , поэтому АА'=2?r , AB-h, где г- радиус цилиндра

, h- его высота . за S бок цилиндра принято считать S её

развертки . Т.к S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА = 2?r•h

то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h

формула

S бок=2?rh

Билет № 9

1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)

2. Сложение векторов. Свойства сложения.

2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А вектор

АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b . Вектор АС называется суммой

векторов а и b : АС=a+b.

Это правило сложения векторов называется правилом

треугольника. (по этому же правилу складываются и

коллинеарные векторы , хотя при их сложении треугольника не

получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от которой

при сложении откладывается вектор а. (если например

заменить т А на т А1 то вектор АС заменится равным ему

вектором А1С1Привило треугольника можно сформулировать и в

другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство

АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно

пользоваться так же правилом параллелограмма. Для любых

векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести-

тельный з-н.);(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два

нулевых вектора называются противоположными, если их длины

равны нулю и они противоположно направлены.Вектором проти-

оположным нулевому вектору , считается нулевой вектор.

Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА

Билет № 10

1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.(

формулировки , примеры)

2. Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на

число.

1. Двугранным углом называют фигуру , образованную прямой а и 2-мя

полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями.

У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а –

общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного

угла. Для измерения двугранного угла отметим на ребре

какую-нибудь т. и в каждой грани из этой точки проведем

перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол

называется линейный угол двугранного угла. (( АОВ ) ОА(CD

CD(ОВ, то плоскость АОВ ( к прямой СD. Двугранный угол

имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг

другу. Рассмотрим 2 линейных (АОВ и (А1О1В1 . Лучи ОА и

О1А1 лежат в одной грани (к ОО1, поэтому они сонаправлены.

Точно так же сонаправлены ОВ и О1В1=> ( А1О1В1 =(АОВ.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера

его линейного угла . Он может быть прямым , острым, тупым (

90(, <90(, >90()

2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор b ,

длинна которого равно (k(((a( , причем вектор a и b сонаправлены при k? 0

и противоположно направлены при k<0. Произведением ненулевого вектора на

любое число нулевой вектор. Произведение вектора а на число k обозначается

так : ak. Для любого числа k и вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из

этого определения следует , что произведение любого вектора на число 0 есть

нулевой вектор. Для любых векторов а и b и любых чмсел k, l справедливы

равенства:

(kl)a= k(al) (сочетательный з-н)

k(a+b)=ka+kb(?-ый распределительный з-н)

(k+l)a=ka+la ( II-ой распределительный з-н)

отметим, что (-1)а является вектором противоположному вектору а, т.е. (-1)а

= -а. Действитель-но, длины векторов (-1)а и а равны: ((-1)a( =((-

1)(((а(=а. Кроме того , если вектолр а ненулевой , то векторы (-1) а и а

противоположно направлены. Точно так же, как в планеметрии, можно диказать,

что если векторы а и b коллинеарны и а(0 , то существует число k такое,

что b= ka.

Билет № 11

1. призма (формулировки , примеры)

2. Скалярное произведение векторов.

1. Призма. Рассмотрим два равных многоугольника А1А2.., Ап и В1В2....Вп,

расположенных в параллельных пл-тях а и р так, что отрезки А1В1 ,А2В2, ...,

АпВп, соединяющие соответственные вершины мн-

ков, параллельны.Каждый из п 4-хугольников A1A2B2B1,

А2А3В3В2, .... AnA1B1Bn является п-ммом, так как имеет

попарно параллельные про-тивоположные стороны. Мн-к,

составленный из 2 равных мн-ков А1A2...An и В1В2...Вп,

расположенных в параллельных пл-тях, и n п-ммов наз

призмой Мн-ки A1A2....An и B1B2...Bn наз основаниями, а п-

ммы-бокоеыми гранялш призмы.От резки А1В1, А2В2 ..., АпВп

наз бо-коеыми ребрами призмы. Эти ребра как противрпрложные

стороны п-ммов последовательно приложенных друг к другу,

равны в парал-лельны.Призму с основаниями A1A2....An и

B1B2...Bn обозначают-A1A2 ....Аn В1В2...Вn и называют п-

угольной призмой.4-ехугольная призма- параллелепипед. (,

проведенный из какой-нибудь точки одного ос-нования к

плоскости другого основания, называется высотой приз-мы.

Если боковые ребра призмы ( к основаниям, то призма наз пря-

мой, в противном случае –наклонной. Высота прямой призмы

равна ее боковому ребру.Прямая при-зма называется пра-

вильной, если ее основания — правильные мн-ки. У такой

призмы все боковые грани -равные прямоугольники S полной

поверхности. призмы называется сумма площадей всех ее

граней, а S боковой поверхности призмы— сумма площа-дей ее

боковых граней. Пло-щадь Sполн полной повер-хности выра-

жается через площадь S6os боко-вой поверхности и пло-щадь

Sосн ос-нования призмы форму Sполн = S6oк+ 2Sосн.

2. Скакалярным произведением 2-ух векторов называется произведение их длин

на косинус угла между ними Скал-ое произведение векторов а и b обозначают

так :аb . Т. о. ab=(a(((b( cos (ab). Скал-ое произведение вектора равно 0

тогда, когда эти векторы (; скал-ый квадрат вектора(т.е скал-ое

призведение вектора на себя) = квадрату его длинны.. Скал-ое произведение 2-

ух векто-ров можно вычислить, зная координаты этих векторов:скал-ое

произведение векторов а{x1;y1;z1} и b{x2;y2;z2}выражается формулой: аb=

x1x2+y1y2+z1z2. Косинус ( ( между ненулевыми вектора-ми а{x1;y1;z1} и

b{x2;y2;z2} вычисляется формулой.

|соs|x1x2+y1y2+z1z2. |В самом деле, так как |cos| |

|(= | |а b =(а(((b(, то |(= |ab|

| |?x12+y1І+z12 ?? | | | |

| |x22+y2І+z22 | | |(a|

| | | | |((|

| | | | |(b|

| | | | |( |

Подставив сюда выражения для ab, (а(и(b( через координаты

векторов а и b получим эту формулу. Для любых векторов а,b

и c и любого числа k справедливы равенства:

10.а2 () , причем а2>0 при а(0

20.ab=ba(переместительный з-н)

30.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)

40.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)

Утверждения 1?-4?относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть

, что распределительный з-н имеет место для любого числа

слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.)

Билет № 12

1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры)

2. Существование плоскости , проходящей через данную прямую и данную

точку.

1.Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается

прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее

боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания- правильные

многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

2. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и

приом только одна .

Д-во. Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2 точки

Р и Н Точки М,Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно аксиоме А1

через эти 3 точки проходит пл (. Т.к. 2 точки прямой РиН лежат в пл (.,

то по аксиоме А2 пл (.проходит через прямую а.Единственность пл, проходящай

через прямую а и т М, => из того, что любая пл., проходящая через пр а и т

М, проходит через т М, Р и Н .=>, она совпадает с пл (., т.к по аксиоме

А1через 3 точки проходит только одна плоскость.

Билет № 13

1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)

2. Теорема о боковой поверхности призмы.

1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольник,

если его боковые ребра (к основанию, а основания представляют собой

прямоугольники: коробки,

ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD

A1B1C1D1.Его основаниями служат прямоугольники ABCD и

A1B1C1D1 a боковые ребра АА1, ВВ1, СС1 и DD1 ( к

основаниям. Отсюда=>, что АА1(АВ, т. е. боковая граyь

АА1В1В — прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об

остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали

следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:

1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней

прямоугольники. Полупл, в кот расположены смежные грани

парал-

да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами

параллелепипеда.

2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.

Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного

парал-да. Например, у парал-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА1.Длины

смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно

сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух

его измерений.

2. Теорема: S боковой поверхности прямой призмы равна произведению

периметра основания на высоту призмы.

Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники , основания

которых- стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой

поверхности призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников,

т.е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h. Вынося

множитель h за скобки получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е

его периметр P. Итак Sбок=Ph

S=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph

Билет № 14

1. Пирамида(формулировка , примеры)

2. Существование прямой, параллельной данной прямой и

проходящей через данную точку.

1. Пирамида. Рассмотрим многоугольник А1А2…Аn и точку Р не лежащую в

плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами

многоугольника, получим n треугольников РА1А1, РА2А3…,РаnА1.

Многоугольник, составленный из n –угольника А1А2…Аn и n

тре-угольников , называется пирамидой. Многоугольник

А1А2…Аn назы-вается основанием, а треугольники- боковыми

гранями пирамиды. Т.Р называется вершиной пирамиды , а

отрезки РА1,РА2, …, РАn – её боковыми ребрами . Пирамиду с

основанием А1А2,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1А2…Аn

–и называют n –угольной пирамидой. Треугольная пирамида

называется тетраэдр. Перпендикуляр , проведенный из

вершины пирамиды к плоскости основания , называют высотой

пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют

сумму площадей её граней , а площадью боковой поверх-ности

– сумму площадей её боковых граней

2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной

прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a

и т М проходит

пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой

?. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а,

должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е.

должна лежать в плоскости ?. Ho в плоскости ?, как известно

из курса планиметрии, через т М проходит прямая,

параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая

обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая,

проходящая через т М параллельно прямой а. Теорема

доказана.

Билет № 15

1. Цилиндр (формулировки и примеры)

2. Признак параллельных прямых.

1. Цилиндр. Рассмотрим две параллельные плоскости ? и ? и окружность L с

центром О радиуса r , расположенную в пл ?. Отрезки прямых заключенных

между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки

называются образующими цилиндрической поверхности По построению концов

образующих расположенных в пл ? заполним окружность

L1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя

кругами с границами L и L1 , называется цилиндром.

Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью

цилиндра, а круги - основаниями цилиндра . Образующие

цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра

, прямая ОО1- осью цилиндра.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг

одной из его сторон. Сечение цилиндра , проходящее через

ось , представляет собой прямоугольник , две стороны

которого образующие , а 2 другие –диаметры оснований

цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая

плоскость ? к оси цилиндра , то сечение является кругом.

Цилиндры так же могут быть и наклонными или иметь в своем

основании параболу .

Параллельность прямых а и b обозначается так: а||b. Докажем теорему о

параллельных прямых.

Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой,

проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a

и т М проходит

пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой

?. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а,

должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е.

должна лежать в плоскости ?. Ho в плоскости ?, как известно

из курса планиметрии, через т М проходит прямая,

параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая

обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая,

проходящая через т М параллельно прямой а. Теорема

доказана.

Билет №16

1. Конус (формулировки и примеры)

2. Признак параллельности прямой и плоскости

1.Конус. Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР ,

перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности

соединим с отрезом в т. Р Поверхность, образованная этими отрезками

называется конической поверхностью

а сами отрезки – образующими конической поверхности. Тело,

ограниченное конической поверхностью и круг-ом с границей

L, называется конусом .Коническая по-верх называется

боковой поверхностью конуса, а круг - снованием конуса .

Т.Р называется вершиной конуса , а образующие конической

поверхности – образующими конуса. Все образующие равны

друг другу . ОР , прохо-дящая через центр основания и

вершину , называется Осью конуса . Ось конуса ? к

плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.

Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным

треугольником вокруг одного из его катетов. При этом

боковая поверхность образуется с помо-щью гипотенузы.

Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит через

ось , то сечение пред-ставляет собой треугольник , и

называется осевым сечением. Если секущая плоскость ? к оси

ОР конуса, о сечене пред-ставляет собой круг с центром

в т.О1 , расположенным на оси конуса. R1 этого круга равен

РО1/РО r , где r- радиус основания конуса , что легко

усмотреть из подобия ?РОМ??РО1М1

2.Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не

имеют общих точек.

Теорема. Если прямая , не лежащая в даннойц плоскости, палаллльна какой-

нибудь прямой , лежащей в этой плоскости, то она параллнльна данной

плоскости.

Д-во. Рассмотрим пл.?и 2|прямые a и b , расположенные так, что прямая b

лежит в пл ?, а прямая a не лежит в этой пл. Докажем, что ?|a. Допустим,

что это не так, тогда прямая a пересекает пл ? , а значит по лемме о

пересечении пл параллельными прямыми пр b так же пересекает пл ? . Но это

невозможно , так как пр b лежит в пл ?. Итак пр a не пересекает пл ?,

поэтому она |этой плоскости.

Билет № 17

1. Сфера, шар( формулировки, примеры)

2. Признак параллельности плоскостей.

Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен.

пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки

Данная точка называется центром сферы (т О), а данное

расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают

буквой R Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь

точку сферы, также называется радиусом сферы.Отрезок,

соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр,

называется диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен

2R Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением

полуокружности вокруг ее диаметра Тело, ограни-ченное

сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы

называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки

пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не

превышающем H (вклю-чая и точку О), и не содержит других

точек.

2.Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно

параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны.

Д-во. Рассмотрим две плоскости ? и ?. В плоскости ? лежат

пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости ? —

прямые a1 и b\, причем a||a1 и b||b1. Докажвм, что a||b.

Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой

и плоскости a||? и b||?. Допустим, что плоскости ? и ? не

параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с.

Мы получили, что плоскость a проходит через прямую а, па-

раллельную плоскости ?, и пересекает плоскость по прямой с.

Отсюда следует, что a||с.

Но плоскость a проходит также через прямую b, параллельную

плоскости ?. Поэтому b||c. Т.о, через т М проходят две

прямые a и b, параллельные прямой с. Но это невозможно, т.к

по теореме о параллельных прямых через точку М проходит

только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше

допущение неверно и ?|| ?. Теорема доказана.

Билет № 18

1.Формула прямоугольногопараллелепипеда. (формулировка и пример)

2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости( доказательство одного

из них)

2. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она

перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.

Теорема. Если одна из 2-ух параллельных прямых перпендикуляр-

на к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой

плос-кости.

Д-во. Рассмотрим 2 |а и а1 и пл ?, такую, что а(?. Докажем,

что и а1(?.. проведем какую-нибудь прямую х в пл ?. Так как

а(?, то а(х. По лемме о перпендикулярности 2-ух параллельных

прямых к третьей а1(х. Т.о. прямая а1 ( к любой прямой ,

лежащей в пл ( т.е а1(?.

Теорема. Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости , то они

параллельны.

Билет №20

1. Фрмула обьема шара( формула примеры)

2. Теорема о трех перпендикулярах

1. Теорема: Объем шара радиуса R равен 4/3 (R3

Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т.О и выберем ост Ох

произвольным образом. Сечение шара пл. (к оси Ох и проходящей через т М

этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r

, а его площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R.Из

прямоуголь-ника ОМС находим: r=(OC2 –OM2 =(R2(x2.Так как S(x)=(R2 ,то S(x)=

((R2- x2). Заметим , что эта фор-мула верна для любого положения т.М на

диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R( x (R. Примеряя

основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

|V| R |(| |4| |

| |R R |x|R| | |

| |R |3| | | |

| |=?((R2-x2)dx= (R2? | |(| |(R|

| |dx-(?x2dx=(R2x(- | |=| |3 |

| | |3| |3| |

| | -R | |-| | |

| |-R -R | |R| | |

| |-R | | | | |

2.Теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной

перпендикулярно к её проекции на эту плоскость,

перпендикулярна и к самой наклонной.

Д-во. Дана пл ? и перпендикуляр АН , АМ- наклонная, а-

прямая, проведенная в пл ? через т м ( к проекции НМ

наклонной. Докажем , что а (АМ. Рассотрим пл АМН. Пр.а (к

этой пл, т.к она ( к 2-ум пересекающимся прямым АН и МН(а

( НМ по условию и а (АН, т.к. АН( ?). Отсюда =>, что пр а (

к любой прямой , лежащей в пл АМН, в частности а(АМ

Обратная теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной

перпендикулярно к ней перпендикулярна и к её проекции