Числа Фибоначчи и золотое сечение в живом

Числа Фибоначчи и золотое сечение в живом

Простейшие свойства чисел Фибоначчи.

1.Вычислим сначала сумму первых n чисел Фибоначчи. Именно, докажем. Что

U1+u2…+un=un+2-1 (1.1)

в самом деле, мы имеем:

u1=u3-u2,

u2=u4-u3,

u3=u5-u4

…

un-1=un+1-un,

Un=un+2-un+1

сложив все равенства почленно, мы получим

u1+u2+….+un=un+2-u2n.

и нам остается вспомнить, что u2=1.

1. Сумма чисел Фибоначчи с нечетными номерами:

U1+u3+u5+…+u2n-1=u2n. (1.2)

Для доказательства этого равенства напишем

U1=u2,

U3=u4-u2,

U5=u6-u4,

…

U2n-1=u2n-u2n-2.

Сложив эти равенства почленно, мы получим требуемое.

3. Сумма чисел Фибоначчи с четными номерами:

u2+u4+…+u2n=u2n+1-1. (1.3)

на основании п.1 мы имеем.

U1+U2+U3+…+U2n=U2n+2-1;

Вычтя почленно из этого равенства равенство