Численные методы анализа и синтеза периодических сигналов

Численные методы анализа и синтеза периодических сигналов

Министерство Образования и Науки РМ.

Колледж Иностранных Языков и Международного Бизнеса.

Университет Иностранных Языков и Международного Бизнеса.

Кафедра Информационные Технологии.

по Дисциплине: Сигналы, Цепи и Системы.

Тема: «Численные Методы Анализа и Синтеза Периодических

Сигналов»

Работу выполнил:

Студент группы № 989

Специальность: Вычислительная техника

Сергеев Александр Владимирович

Работу проверил:

Конф. Др. С. Хачатурова

Кишинёв 1999

Содержание:

Введение .1

Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов

1.1 Синтез периодических сигналов .3

1.2 Анализ периодических сигналов .3

2.Численные методы расчетов спектральных и временных характеристик

периодических сигналов

2.1 Численные методы расчетов временных характеристик 4

2.2.Численные методы расчетов частотных характеристик 5

Выводы 7

Литература 7

Введение:

Известно , что периодическое несинусоидальное колебание можно представить

бесконечным тригонометрическим рядом Фурье, который в общем случае содержит

постоянную и гармонические составляющие .

Часто используется следующая форма математической записи ряда Фурье:

[pic]где f(t)-функция, раскладываемая в ряд, [pic], а [pic] - частота

следования импульсов.

Коэффициенты ряда определяются следующими выражениями:

[pic] (1)

где [pic]=1,2,3…M

соответственно функции(1.2),(1.3),(1.4)

Здесь А - постоянная составляющая , An и Bn - амплитуды косинусной и

синусной составляющих, Т- период повторения сигнала , М- число гармоник,

n – номер гармоник. Ряд (1) можно преобразовать к более удобному виду:

[pic] (2)

Здесь [pic]-постоянная составляющая, [pic]-амплитуда n-ой гармоники,[pic]-

фаза n-ой гармоники. Формула (2.1) используется при спектральном анализе и

синтезе периодических сигналов.

1.Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов

1.1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ:

Сигнал задан в виде набора спектральных составляющих: Cn – амплитуда,[pic]-

частота,

начальная фаза n- ой гармоники. Здесь n=1,2,…,M- номер гармоники , M- число

гармоник в спектре сигналов. Требуется осуществить синтез сигнала U(t) и

построить его временную диаграмму. Задача синтеза сигнала заключается в

расчёте временной функции сигнала U(t) по известному спектру сигнала. При

этом спектр сигнала задан в виде таблицы амплитуд, частот и фаз гармоник.

Задача синтеза сигнала решается путём расчёта значений функции во временной

области U(t)

Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчетов сигнала через

равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом

интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом

дискретизации.

1.2СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ:

Задача анализа сигнала заключается в расчёте его спектра, т.е. амплитуд,

частот, фаз и гармоник. При этом сигнал задан в виде функции времени U(t) .

Задача анализа решается путём расчёта амплитудно-частотных Cn=f(w) и

фазочастотных [pic] =f(w) характеристик.

Сигнал задан в виде функции времени U(t) , повторяющийся с периодом

Т. Требуется выполнить спектральный анализ сигнала и построить графики

амплитудного и фазового спектров сигнала.

2.Численные методы расчетов спектральных и временных

характеристик периодических сигналов

Для расчета спектральных и временных характеристик периодического сигнала

используем численные методы, чтобы упростить и автоматизировать задачу

Дан сигнал:

[pic]

Дана таблица параметров данного сигнала

|U, mv|M | |T,mks|r |

| | |t0,mks| | |

|2.8 |10 |459 |1499 |2 |

U(t) – функция времени, описывающая сигнал;

M – число учитываемых гармоник;

U- амплитуда;

T - текущее время;

t0 – время задержки сигнала;

T – период частоты повторения первой гармоники;

r – постоянный коэффициент

2.1 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчётов сигнала через равные

интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом

интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом

дискретизации.

Интервал дискретизации Тд вычисляем по формуле ТД<T/(к * M),где k=5(т. к

на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала должно размещаться не менее

5 отсчетов)

Интервал времени Тс равен Tmax и равен 50 т. к k*M=50(k=5,M=10). Исходя из

формулы, интервал дискретизации Тд равен Тд=Т/(k*М), Тд=29,98

|M=10 |K=5 |t0=459 |U0=2,8|T=1499 |

Исходя из полученных данных, строим таблицу

|t |u(1) |u(2) |u(3) |u(4) |u(5) |u(6) |u(7) |u(8) |u(9) |u(10) |SUM |

|0 |0,9658|0,8125|0,5499|0,2504|-0,008|-0,170|-0,213|-0,157|-0,048|0,0584|2,0396|

| |08 |95 |19 |06 |68 |17 |45 |15 |1 |67 |51 |

|29,98 |0,6289|0,5866|0,5071|0,3999|0,2776|0,1539|0,0419|-0,047|-0,107|-0,135|2,3061|

| |7 |54 |45 |54 |17 |2 |96 |43 |36 |29 |71 |

|59,96 |0,2822|0,2784|0,2708|0,2597|0,2453|0,2280|0,2082|0,1863|0,1629|0,1385|2,2607|

| |24 |01 |48 |49 |73 |66 |43 |71 |63 |57 |94 |

|89,94 |-0,068|-0,068|-0,068|-0,068|-0,068|-0,068|-0,067|-0,067|-0,066|-0,066|-0,680|

| |97 |91 |8 |63 |41 |14 |8 |42 |98 |49 |55 |

|119,92|-0,419|-0,406|-0,382|-0,347|-0,303|-0,253|-0,199|-0,144|-0,091|-0,041|-2,590|

| |08 |56 |2 |3 |7 |69 |84 |83 |31 |74 |23 |

|149,9 |-0,762|-0,687|-0,549|-0,374|-0,190|-0,027|0,0925|0,1566|0,1646|0,1272|-2,050|

| |58 |16 |75 |35 |52 |29 |69 |62 |62 |65 |5 |

|179,88|-1,094|-0,871|-0,507|-0,130|0,1412|0,2434|0,1883|0,0482|-0,084|-0,143|-2,210|

| |07 |35 |52 |2 |63 |3 |68 |9 |85 |6 |24 |

|209,86|-1,408|-0,933|-0,271|0,2082|0,3109|0,1188|-0,115|-0,186|-0,073|0,0818|-2,269|

| |32 |28 |63 |72 |62 |53 |91 |42 |89 |52 |51 |

|239,84|-1,700|-0,864|0,0679|0,3958|0,1238|-0,198|-0,174|0,0665|0,1638|0,0243|-2,094|

| |39 |27 |17 |63 |62 |72 | |85 |96 |97 |87 |

|269,82|-1,965|-0,674|0,3815|0,2966|-0,205|-0,193|0,1374|0,1453|-0,101|-0,117|-2,296|

| |66 | |45 |65 |36 |6 |77 |88 |45 |38 |38 |

|299,8 |-2,199|-0,389|0,5495|-0,017|-0,298|0,1259|0,1569|-0,156|-0,055|0,1465|-2,138|

| |97 |16 |79 |46 |95 |04 |66 |18 |36 |43 |08 |

|329,78|-2,399|-0,049|0,5078|-0,318|-0,049|0,2409|-0,156|-0,049|0,1606|-0,096|-2,210|

| |62 |71 |98 |93 |53 |59 |93 |15 |77 |03 |36 |

|359,76|-2,561|0,2967|0,2724|-0,389|0,2567|-0,035|-0,137|0,1864|-0,116|-0,006|-2,234|

| |46 |04 |08 |35 |24 |27 |52 |63 |54 |7 |55 |

|389,74|-2,682|0,6014|-0,067|-0,177|0,2684|-0,254|0,1739|-0,065|-0,036|0,1057|-2,134|

| |95 |91 |03 |7 |08 |22 |72 |75 | |86 |01 |

|419,72|-2,762|0,8218|-0,380|0,1626|-0,027|-0,060|0,1159|-0,145|0,1550|-0,147|-2,269|

| |17 |86 |89 |89 |88 |35 |58 |95 |54 |35 |01 |

|449,7 |-2,797|0,9269|-0,549|0,3852|-0,292|0,2315|-0,188|0,1556|-0,129|0,1087|-2,149|

| |88 |65 |41 |15 |18 |23 |34 |85 |88 |99 |49 |

|479,68|-2,789|0,9019|-0,508|0,3286|-0,221|0,1474|-0,092|0,0500|-0,016|-0,011|-2,210|

| |5 |85 |27 |67 |23 |39 |62 |1 |11 |09 |71 |

|509,66|-2,737|0,7504|-0,273|0,0340|0,1035|-0,176|0,1998|-0,186|0,1471|-0,092|-2,230|

| |17 |5 |19 |11 |6 |07 |2 |5 |1 |65 |63 |

|539,64|-2,641|0,4936|0,0661|-0,285|0,3095|-0,213|0,0678|0,0649|-0,141|0,1460|-2,133|

| |73 |23 |46 |28 |24 |66 |54 |15 |27 |13 |87 |

|569,62|-2,504|0,1675|0,3802|-0,397|0,1603|0,0956|-0,208|0,1465|0,0040|-0,119|-2,276|

| |66 |37 |38 |9 |39 |98 |23 | |29 |99 |43 |

|599,6 |-2,328|-0,182|0,5492|-0,222|-0,172|0,2496|-0,042|-0,155|0,1369|0,0287|-2,137|

| |13 |06 |34 |25 |82 |6 |05 |19 |64 |21 |92 |

|629,58|-2,114|-0,506|0,5086|0,1144|-0,307|-0,001|0,2134|-0,050|-0,150|0,0781|-2,217|

| |93 |1 |47 |1 |68 |79 |4 |87 |56 |61 |27 |

|659,56|-1,868|-0,759|0,2739|0,3681|-0,089|-0,250|0,0155|0,1865|0,0241|-0,142|-2,241|

| |4 |14 |65 |87 |51 |33 |97 |38 |05 |54 |54 |

|689,54|-1,592|-0,905|-0,065|0,3552|0,2313|-0,092|-0,215|-0,064|0,1247|0,1294|-2,094|

| |44 |67 |26 |25 |68 |37 |37 |08 |69 |24 |4 |

|719,52|-1,291|-0,925|-0,379|0,0849|0,2867|0,2155|0,0110|-0,147|-0,157|-0,045|-2,348|

| |39 |13 |58 |15 |74 |9 |93 |05 |59 |93 |29 |

|749,5 |-0,969|-0,814|-0,549|-0,246|0,0131|0,1734|0,2139|0,1546|0,0438|-0,062|-2,044|

| |99 |78 |06 |91 |35 |61 |98 |94 |2 |53 |17 |

|779,48|-0,633|-0,590|-0,509|-0,399|-0,275|-0,150|-0,037|0,0517|0,1107|0,1369|-2,296|

| |32 |12 |02 |86 |58 |34 |61 |27 |06 |99 |41 |

|809,46|-0,286|-0,282|-0,274|-0,263|-0,248|-0,230|-0,209|-0,186|-0,162|-0,136|-2,280|

| |66 |65 |74 |12 |09 |01 |34 |57 |26 |98 |42 |

|839,44|0,0645|0,0644|0,0643|0,0642|0,0640|0,0638|0,0635|0,0632|0,0628|0,0624|0,6376|

| |11 |65 |74 |37 |55 |28 |56 |4 |8 |76 |23 |

|869,42|0,4146|0,4025|0,3789|0,3450|0,3027|0,2540|0,2014|0,1475|0,0949|0,0459|2,5879|

| |66 |4 |26 |61 |03 |2 |6 |99 |86 |93 |55 |

|899,4 |0,7582|0,6841|0,5488|0,3759|0,1940|0,0317|-0,088|-0,154|-0,164|-0,129|2,0562|

| |88 |35 |83 | |28 |19 |52 |19 |5 |45 |85 |

|929,38|1,0899|0,8697|0,5093|0,1344|-0,137|-0,242|-0,190|-0,052|0,0809|0,1425|2,2045|

| |63 |42 |91 |13 |28 |09 |49 |58 |98 |29 |98 |

|959,36|1,4044|0,9333|0,2755|-0,204|-0,311|-0,122|0,1121|0,1865|0,0778|-0,078|2,2734|

| |66 |19 |19 |45 |07 |78 |3 |95 |44 |11 |69 |

|989,34|1,6968|0,8659|-0,063|-0,395|-0,127|0,1959|0,1765|-0,062|-0,164|-0,028|2,0932|

| |43 |45 |49 |2 |94 |08 |94 |4 |28 |78 |02 |

|1019,3|1,9624|0,6770|-0,378|-0,299|0,2019|0,1964|-0,134|-0,148|0,0979|0,1200|2,2958|

|2 |86 |74 |27 |64 |87 |67 |01 |14 |04 |23 |76 |

|1049,3|2,1972|0,3932|-0,548|0,013 |0,3001|-0,122|-0,159|0,1536|0,0595|-0,146|2,1400|

| |12 |04 |71 | |54 |01 |99 |88 |38 | |91 |

|1079,2|2,3973|0,0541|-0,509|0,3162|0,0539|-0,242|0,1538|0,0534|-0,161|0,0926|2,2077|

|8 |2 |66 |76 |2 |23 |36 |41 |38 |6 | |9 |

|1109,2|2,5596|-0,292|-0,276|0,3903|-0,254|0,0308|0,1409|-0,186|0,1133|0,0111|2,2367|

|6 |6 |47 |3 |49 |18 |48 |2 |62 |44 |53 |11 |

|1139,2|2,6816|-0,598|0,0626|0,1816|-0,270|0,2539|-0,171|0,0615|0,0403|-0,108|2,1329|

|4 |74 |07 |02 |84 |63 |62 |31 |59 |4 |84 |64 |

|1169,2|2,7614|-0,819|0,3776|-0,158|0,0234|0,0646|-0,119|0,1486|-0,156|0,1473|2,2686|

|2 |39 |76 |11 |6 |37 |77 |69 |84 |5 |51 |39 |

|1199,2|2,7976|-0,926|0,5485|-0,383|0,2906|-0,229|0,1861|-0,153|0,1270|-0,105|2,1510|

| |98 |43 |27 |99 |17 |63 |38 |18 |89 |74 |87 |

|1229,1|2,7898|-0,903|0,5101|-0,331|0,2243|-0,151|0,0966|-0,054|0,0205|0,0066|2,2085|

|8 |8 |12 |29 |19 |42 |05 |23 |29 |39 |39 | |

|1259,1|2,7381|-0,753|0,2770|-0,038|-0,099|0,1728|-0,198|0,1866|-0,149|0,0960|2,2326|

|6 |09 |09 |71 |45 |34 |18 |11 |36 |06 |74 |45 |

|1289,1|2,6432|-0,497|-0,061|0,2821|-0,309|0,2160|-0,072|-0,060|0,1389|-0,146|2,1328|

|4 | |4 |72 |41 |04 |55 |07 |72 |31 |55 |31 |

|1319,1|2,5066|-0,171|-0,376|0,3983|-0,164|-0,091|0,2070|-0,149|0,0004|0,1173|2,2760|

|2 |49 |92 |95 |33 |14 |55 |44 |22 |3 |43 |08 |

|1349,1|2,3306|0,1776|-0,548|0,2259|0,1690|-0,250|0,0464|0,1526|-0,139|-0,024|2,1398|

| |06 |79 |35 |47 |94 |49 |13 |69 |39 |33 |44 |

|1379,0|2,1178|0,5023|-0,510|-0,110|0,3083|-0,002|-0,212|0,0551|0,1486|-0,081|2,2143|

|8 |45 |51 |5 |13 |13 |67 |8 |45 |94 |9 |52 |

|1409,0|1,8717|0,7565|-0,277|-0,366|0,0937|0,2494|-0,020|-0,186|-0,019|0,1436|2,2444|

|6 |19 |4 |85 |42 |73 |88 |04 |65 |69 |11 |86 |

|1439,0|1,5961|0,9045|0,0608|-0,357|-0,228|0,0965|0,2152|0,0598|-0,127|-0,127|2,0926|

|4 |04 |82 |29 |25 |36 |1 |8 |72 |63 |23 |94 |

|1469,0|1,2953|0,9257|0,3762|-0,089|-0,288|-0,213|-0,006|0,1497|0,1562|0,0416|2,3474|

|2 |43 |05 |92 |27 |47 |19 |64 |56 |31 |75 |36 |

|1499 |0,9741|0,8169|0,5481|0,2433|-0,017|-0,176|-0,214|-0,152|-0,039|0,0665|2,0488|

| |74 |45 |65 |9 |59 |7 |46 |15 |51 |42 |11 |

После расчета строим временную диаграмму сигнала

2.2.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Для того чтобы определить амплитудно-частотную и фазочастотную

характеристику периодического сигнала представим сигнал в виде ряда Фурье

(2). Коэффициенты ряда Аn и Bn определяются по формулам (1) . Для того

чтобы вычислить An и Bn преобразуем интеграл к сумме, а непрерывную

функцию U(t) представим как дискретную (t1) , где tI=i*TД (ТД – интервал

дискретизации).

Представим непрерывную функцию U(t) как дискретную, сделав замену t i

* ТД и di ТД, преобразуем выражения An ,Bn и запишем ряд Фурье в

окончательном виде:

[pic] ( 5)

где k=T/ТД – число отсчётов сигнала на интервале T. Интервал дискретизации

ТД выбираем таким, чтобы на самом крутом участке функции U(t) , было не

менее 5 отсчётов, либо не менее 5 отсчётов на периоде наибольшей частоты в

спектре сигнала. Исходя из формулы(5),вычисляем амплитудно-частотную и

фазочастотную характеристики. Расчеты приведены в таблице

|i|Wn |U(ti)|A0 |A1 |A2 |A3 |A4 |A5 |A6 |A7 |A8 |A9 |A10 |

|0|0 |2,039|0,8158|0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |

| | |65 |6 | | | | | | | | | | |

|1|4189,4|-2,13|-0,039|-0,037|-0,023|0,023|0,0374|0,0001|-0,03|-0,02|0,022|0,037|0,0002|

| |6 |80 |4 |4 |2 |0 |7 |3 |74 |33 |9 |5 |5 |

|2|8378,9|-2,13|-0,894|-0,526|0,8514|-0,84|0,5221|0,0056|-0,53|0,853|-0,84|0,517|0,0113|

| |2 |79 |54 |72 |58 |96 |01 |99 |131 |18 |789 |46 |97 |

|3|12568,|2,056|-0,072|0,0422|-0,068|0,068|-0,042|0,0006|0,041|-0,06|0,068|-0,04|0,0013|

| |4 |28 |02 |23 |41 |62 |78 |88 |66 |819 |83 |333 |76 |

|4|16757,|2,151|0,7884|-0,750|-0,460|0,468|0,7473|-0,010|-0,75|-0,45|0,476|0,744|-0,020|

| |8 |08 |11 |44 |16 |27 |01 |05 |346 |197 |32 |03 |09 |

|5|20947,|2,048|1,6079|-0,005|-0,010|-0,01|-0,020|-0,025|-0,03|-0,03|-0,04|-0,04|-0,051|

| |3 |81 |35 |12 |24 |53 |49 |61 |073 |585 |097 |609 |21 |

|i |B1 |B2 |B3 |B4 |B5 |B6 |B7 |B8 |B9 |B10 |

|0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |

|1 |-0,012|0,0318|0,0319|-0,012|-0,039|-0,012|0,0317|0,0319|-0,012|-0,039|

| |2 |2 | |1 |4 |3 |5 |7 | |4 |

|2 |0,7230|-0,274|-0,279|0,7263|-0,894|0,7196|-0,268|-0,285|0,7296|-0,894|

| |26 |26 |68 |67 |52 |56 |83 |08 |78 |47 |

|3 |0,0583|-0,022|-0,021|0,0579|-0,072|0,0587|-0,023|-0,021|0,0575|-0,072|

| |49 |52 |86 |43 |02 |5 |17 |21 |32 |01 |

|4 |0,2417|-0,640|-0,634|0,2512|0,7883|0,2321|-0,646|-0,628|0,2607|0,7881|

| |21 |19 |28 |63 |47 |4 | |26 |63 |55 |

|5 |1,6079|1,6079|1,6078|1,6078|1,6077|1,6076|1,6075|1,6074|1,6072|1,6071|

| |27 |03 |62 |05 |32 |42 |36 |13 |75 |2 |

|An |Bn |Cn |Fn |

|-1,277|2,6188|2,9138|1,1169|

|49 |33 |08 |48 |

|0,2894|0,7027|0,7600|-1,180|

|6 |56 |35 |08 |

|-0,305|0,7039|0,7672|1,1618|

|07 |4 |04 |49 |

|1,2436|2,6313|2,9103|-1,129|

|11 |07 |85 |29 |

|-0,029|1,3901|1,3904|1,5498|

|14 |68 |74 |38 |

|-1,311|2,6058|2,9171|1,1046|

|24 |78 |8 |05 |

|0,2738|0,7012|0,7528|-1,198|

|95 |82 |71 |45 |

|-0,320|0,7048|0,7743|1,1437|

|73 |32 |75 |53 |

|1,2095|2,6432|2,9069|-1,141|

|95 |97 |12 |63 |

|-0,058|1,3894|1,3906|1,5288|

|27 |29 |51 |81 |

Используя полученные данные, строим графики АЧХ и ФЧХ

ВЫВОДЫ:

Особенности спектральных характеристик периодических сигналов заключаются в

следующем:

1 Спектры периодических сигналов графически представляются линейчатым

(дискретным) спектром.

2 Спектральные линии в периодических сигналах находятся на одинаковом

расстоянии друг от друга, то есть частоты гармоник находятся в простых

кратных отношениях.

Использование рядов Фурье, при расчете спектральных и временных

характеристик периодических сигналов, имеет следующие преимущества:

1 Простое математическое описание

2 Инвариантность к линейчатым описаниям, т.е. если на вход действует

гармоническое колебание, то и на выходе будет гармоническое

колебание.

3 Как и сигнал гармонические функции являются периодическими и имеют

бесконечную длительность

4 Техника генерирования гармонических функций достаточна проста.

ЛИТЕРАТУРА:

С.И.Баскаков-“Радиотехнические цепи и сигналы” – М.:ВШ, 1988

И.С.Гоноровский-“ Радиотехнические цепи и сигналы”- М.:Р. и С.,1986

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]