Диспут и формула Кардано

Диспут и формула Кардано

Диспут

Формула Кардано

Мостового

Кирилла

г. Одесса

1999г

Диспут

Диспуты в средние века всегда представляли собой интересное зрелище,

привлекавшие праздных горожан от мала до велика. Темы диспутов носили

разнообразный характер, но обязательно научный. При этом под наукой

понимали то, что входило в перечень так называемых семи свободных искусств

было, конечно, и богословие. Богословские диспуты были наиболее частыми.

Спорили обо всем. Например, о том , приобщать ли мышь к духу святому, если

съест причастие, могла ли Кумская сивилла предсказать рождение Иисуса

Христа, почему братья и сестры спасителя не причислены к лику святых и т.

д.

О споре, который должен был произойти между прославленным математиком

и не менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки,

так как толком никто ничего не знал. Говорили, что один из них обманул

другого (кто именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались

на площади имели о математике самые смутные представления, но каждый с

нетерпением ожидал начала диспута. Это всегда было интересно, можно было

посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.

Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа

бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с

алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры,

предназначенные для спорщиков. Присутствующие громко шумели, не обращая

никакого внимания на то, что находились в церкви. Наконец, перед железной

решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа,

появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил:

«Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый

математик Никколо Тарталья из Брении. Его противником должен был быть

математик и врач Джеронимо Кардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в

том, что последней в своей книге «Ars magna» опубликовал способ решения

уравнения 3-Й степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на

диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари.

Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры».

На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и

курчавой бородой, а на противополжную кафедру взошел молодой человек

двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его

манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест

и каждое его слово будут приняты с восторгом.

Начал Тарталья.

- Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти

способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом,

одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего

согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы

выведать у меня секрет. Он не остановился ни перед обманом, ни перед

прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла

книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно

выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его

ученика на состязание. Я предложил решить 31 задачу, столько же было

предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения

задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач,

которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с

курьером в Милан. Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я

получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало

мне основание вызвать обоих на публичный диспут.

Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью,

произнес:

- Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же

словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес

моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли

доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам

несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь,

если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с

нами обоими? И вот как пишет Джеронимо Кардано о роли моего противника в

открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а

моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и

удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты

человеческого духа. Это открытие есть по истине небесный дар, такое

прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не

может считаться для него недостижимым.»

- Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали не

верное решение его задач. Но как может быть неверным корень уравнения,

если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом

уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья

хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание,

почему мы, укравшие, но его словами, его изобретение и использовавши его

для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы – мой

учитель и я – не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным.

Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере

на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Ars magna» мой

учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он

добивается диспутом?

- Господа, господа, - закричал Тарталья, - я прошу вас выслушать меня! Я не

отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и

красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое

доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены не

правильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение

из числа решавшихся. Оно, как известно …

В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание

фразы, начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать. Толпа,

требовала от него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена

Феррари. Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно,

поспешно опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь.

Толпа бурно приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.

…Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и

новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-

й степени? Мы говорим сейчас – Никколо Тарталье. Он открыл , а Кардано

выманил у него это открытие. И если сейчас мы называем формулу,

представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой

Кардано, то это - историческая несправедливость. Однако, несправедливость

ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может

быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно,

а может быть это останется тайной …

Формула Кардано

Если воспользоваться современным математическим языком и современной

символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих

в высшей степени элементарных соображений:

Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

ax3+3bx2+3cx+d=0 (1)

Если положить

[pic] , то мы приведем уравнение (1) к виду

[pic] (2)

где [pic] ,

[pic] .

Введем новое неизвестное U с помощью равенства

[pic].

Внося это выражение в (2), получим

[pic] (3)

Отсюда

[pic] ,

следовательно

[pic]

Если числитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение

[pic] и учесть, получающееся в результате выражение для u оказывается

симметричным относительно знаков «+» и «-», то окончательно получим

[pic].

(Произведение кубических радикалов в последнем равенстве должно равняться p

).

Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от y вновь к x, то

получим формулу, определяющую корень общего уравнения 3-й степени.

Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с Тарталья, разбирался в

математике столь же легко, как и в правах неприхотливой тайны. Феррари

находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил этот способ

в свою книгу. Что же представляет собой этот способ?

Пусть [pic] (1)

– общее уравнение 4-й степени.

Если положить [pic],

то уравнение (1) можно привести к виду

[pic], (2)

где p,q,r – некоторые коэффициенты, зависящие от a,b,c,d,e. Легко видеть,

что это уравнение можно записать в таком виде:

[pic] (3)

В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие

t, взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2).

Выберем параметр t так ,чтобы правая часть уравнения (3) была полным

квадратом относительно y. Как известно, необходимым и достаточным условием

этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена

(относительно y), стоящего справа:

[pic] (4)

Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем

какой либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид

[pic].

Отсюда

[pic].

Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения(2), а

следовательно и (1).

За 4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою он

напряженно писал весь последний год и которая должна была подвести итог его

сложной жизни. Он чувствовал приближение смерти. По некоторым сведениям его

собственный гороскоп связывал его кончину с 75- летием. Он умер 21сентября

1576г. за 2 дня до годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в

ожидании неминуемой смерти или даже чтобы подтвердить гороскоп. В любом

случае Кардано – астролог относился к гороскопу серьезно.

Замечание о формуле Кардано

Проанализируем формулу для решения уравнения[pic] в вещественной области.

Итак,

[pic]

При вычислении x нам приходится извлекать в начале квадратный корень, а

затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный корень, оставаясь в

вещественной области, если [pic]. Два значения квадратного корня,

отличающихся знаком, фигурируют в разных слагаемых для x. Значения

кубического корня в вещественной области единственно и получается

единственный вещественный корень x при [pic]. Исследуя график кубического

трехчлена [pic],нетрудно убедиться, что он в самом деле имеет единственный

вещественный корень при [pic]. При [pic] имеется три вещественных корня.

При [pic] имеется двукратный вещественный корень и однократный, а при [pic]

-трехкратный корень x=0.

Продолжим исследование формулы при [pic]. Оказывается. Что если при

этом уравнение с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, при

вычислении его по формуле могут возникнуть промежуточные иррациональности.

Например, уравнение [pic] имеет единственный корень (вещественный) – x=1.

Формула Кардано дает для этого единственного вещественного корня выражение

[pic].

Значит,

[pic]. Но фактически любое доказательство предполагает

использование того, что это выражение является корнем уравнения [pic]. Если

же не угадать того, при преобразовании будут возникать неистребимые

кубические радикалы.

О проблеме Кардано – Тартальи вскоре забыли. Формулу для решения

кубического уравнения связали с «Великим искусством» и постепенно стали

называть формулой Кардано.

У многих возникало желание восстановить истинную картину событий в

ситуации, когда их участники несомненно не говорили всей правды. Для многих

было важно установить степень вины Кардано. К концу XIX века часть

дискуссий стала носить характер серьезных историко-математических

исследований. Математики поняли, какую большую роль в конце XVI века

сыграли работы Кардано. Стало ясно то, что еще раньше отмечал Лейбниц:

«Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы

совершенством».