Двойной интеграл в полярных координатах

Двойной интеграл в полярных координатах

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле

1. (1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и

f, полагая

x = r cos (, y = r sin (. (2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки (Si с помощью

координатных линий r = ri (окружности) и ( = (i (лучи) (рис.1).

Введем обозначения:

(rj = rj+1 - rj,

((i = (i+1 - (i

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние

ячейки (Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с

измерениями rj((i и (rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

2. (Si = rj ((i (rj (3)

3. Что касается ячеек (Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г

области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного

интеграла и мы их будем игнорировать.

4. В качестве точки Mij ( Sij для простоты выберем вершину ячейки (Sij с

полярными координатами rj и (i. Тогда декартовые координаты точки Mij

равны:

5. xij = rj cos (i, yij = rj sin (i.

6. И следовательно,

7. f(xij,yij) = f(rj cos (i, rj sin (i) (3')

8. Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной

суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют

добавки к слагаемым

9. интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка

малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:

10. (4)

11. где d - максимальный диаметр ячеек (Sij и сумма распространена на все

ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой

стороны, величины (i и rj суть числа и их можно рассматривать как

прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости O(r. Таким

образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

12. f(r cos(, r sin()r,

13. соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами ((i и (ri.

Следовательно

14. (5)

15. Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

16. (6)

17. Выражение

18. dS = r d( dr

19. называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак,

чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно

координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS

подставить выражение (7).

20.

21. Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным.

Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

22. Где r1((), r1(() - однозначные непрерывные функции на отрезке [(,(].

(рис 2).

23. Имеем

24. (8)

25. Где

26. F(r,() = rf(r cos(, r sin()

27. Пример 1.

28. Переходя к полярным координатам ( и r, вычислить двойной интеграл

29. Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0)

(рис 3).

30. Так как

31. то применяя формулу (6),

32. получим

33. Область S определена

34. Неравенствами

35. Поэтому на основании формулы (8) имеем

36. Пример 2.

37. В интеграле

38. (9)

39. перейти к полярным координатам.

40. Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми

y=0, y=x, x=1 (рис 4).

41. В полярных координатах уравнения

42. этих прямых записываются

43. следующим образом: (=0,

44. (=(/4, r cos(=1 и,

45. следовательно, область S

46. определяется неравенствами

47. Отсюда на основании формул

48. (6) и(8), учитывая, что

49. имеем

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]