Экстремумы функций

Экстремумы функций

формулу, предварительно введя более простые обозначения :

a11 = a1– левый угловой верхний элемент

a11 = a2 – левый угловой верхний элемент

a11 = a3 – левый угловой верхний элемент

…………………………………………

a11 = an – левый угловой верхний элемент.

С учетом этого

an

a1n-2 a2n-3… an-1 (5.15) n>2

Пример №1.

2 1 5 3

0 4 7 2 1 2*4-1*0 2*7-5*0 2*2-3*0 1 8 14 4

5 6 3 1 22 2*6-5*1 2*3-5*5 2*1-5*3 22 7 –19 -13

0 2 1 3 2*2-0*1 2*1-5*0 2*3-3*0 4 2 6

4 7 2

7 –19 –13 1 4*(-19)-7*7 4*(-13)-2*7 1 -72-49 -52-14

2 3 1 4 4*1-2*7 4*3-2*2 4 -10 8

1 -121 -66 1 -121 -66 1

4 -10 8 2 -5 4 2 (-121*4-66*5)= -121*2-

33*5=

= -242 –165= -407

Пример №2.

3. 0 2 1 5

0. 4 1 3 6 1 3*4-0*0 3*1-2*0 3*3-0*1 3*6-5*0

1. 2 3 5 1 33 3*2-5*0 3*3-5*2 3*5-5*1 3*1-5*5

0. 3 4 0 6 3*3-2*0 3*4-2*2 3*0-2*1 3*6-2*5

1 2 3 4 5 3*2-1*0 3*3-1*2 3*4-1*1 3*5-1*5

12 3 9 18 -30 66 -264-108

1 6 –1 10 -22 1 69 -105 96-162

33 9 8 -2 8 33*122 66 78 120-108

6 7 11 10

-30 66 -372 30*105-66*69

30*66+69*372

1 69 -105 -66 1 -30*78-66*66

-30*12+66*372

33*122 66 78 12 33*122*(-30)

1 3150-4554 1980+25668 1

-1404 27648

33*122*(-30) -2340-4356 -360+24552 33*122*(-30) –6696 24192

-1404*24192+6696*27648 33965568-182476800-2654208

33*122*(-30) 33*122*30

31311360-182476800 15116544 15116544

33*122*30 33*122 3888

=3888

Вычесленные в порядке получения определителий n,

n-1, …, 2 их верхние левые угловые элементы a1,a2,…,an являются

критерием Сильвестера в части знаков, т.е.

sign a11=sign a1

sign a11=sign a2=sign a11 a12

a21 a22

…………………………….

a11… a1n

sign a11=sign an=sign ………..

an1… ann

По сути метод дает возможность вычисления определителей .

Однако нас интересуют лишь знаки определителей.Это существенно

упрощает задачу.

Рассмотрим функцию f(x1,x2,…,xn). имеющую экстремум,а именно

максимум в точке М0(x10,x20,…,xn0).Это значит,что все коэффициенты a1,

a2,…, an должны быть положительными. Поэтому процесс определения

максимума функции в точке М0 заканчивается на любом этапе понижения

определителя ,если после положительных a1, a2,…, ak коэффициент аk+1

стал отрицательным или нулевым.

Если же в точке М0 – минимум, то коффициенты a1, a2,…, an

образуют знакочередующуюся последоватнльность, а именно

a1<0, a2>0, a3<0,…

Аналогично процесс прекращается, если нарушается эта

знакопеременность.

Итак, общая схема выглядит следующим образом :

1.Определяются стационарные точки функции, в которых

f

xi i=1,2,3,….,n

2.Определяются коэффициенты аik в этих точках

2f

xi xr

3.Выясняем знак первого диагонального элемента а11=а1

а) если а11>0, то все последующие элементы а2,а3,…,аn

должны быть положительными,если в точке М0 действительно максимум

б)если а11<0, то знаки последующих элементов а2,а3,…,аn

должны чередоваться, если в точке М0 действительно минимум.

4.При нарушении какой-либо из закономерностей в п.3 процесс

прекращается и формулируется вывод о том,что в точке М0 экстремума

нет.

Наконец отметим следующее важное обстоятельство. Так как

коэффициенты аik являются частными производными второго порядка и для

дифференцируемой функции с непрерывными 2f/ xi xr в

соответствии с теоремой Шварца эти частные производные не зависят от

порядка дифференцирования, то аik= аki. Это важное свойство

приводит к тому, что матрица (аik) является симметрической вместе со

своим определителем аik Покажем, что учет этого факта сокращант объем

вычислений по крайней мере вдвое .

Во-первых, покажем, что определитель n-1 также остается

симметрическим,т. е. применяется операция понижения порядка инварианта

и сохраняет это свойство при переходе от n-1 к n и т.д.

Диагональные элементы любого определителя, очевидно, равны сами

себе.

Рассмотрим произвольный элемент аik в определителе n-1, i=k,

i,k=1,2,…,n-1.

аik= аik – а1 k а1i / а11 (*)

Если переставить индексы i,k ,то

aki= аki – а1 i а1k / а11 (**)

Сравнивая (*) и (**) видим, что из того, что аik= аki следует,

что аik= аki. Этим доказано, что из того, что n- симметрический

определитель, определитель n-1 также симметрический.Что это дает для

вычисления n-1 ?

Пусть вычислена первая строка коэффициентов а1k (k=1,2,…,n-1)

определителя n-1 , т.е.

а11, а12, а13,…, а1n-1

Теперь вычислим первый столбец , он имеет вид

а11

а21

а31

…..

аn-1 1

Но ввиду симметричности коэффициентов, этот столбец совпадает

со строкой. Другими словами, сосчитав элементы первой строки, первый

столбец уже считать нет необходимости, его нужно просто записать. Для

наглядности запишем

a11

a12 … a1 n-1

a21 a22… a2 n-1

………………….

an1 an2… an-1 n-

1

Вычислим теперь элементы второй строки, начиная с а22 ,т.е. а22, а23,

а24,…, а2 n-1.Эта строка полностью совпадает со вторым столбцом,

начиная с а22,т.е.

а22

а31

…..

аn-1 2

Итак, второй столбец автоматически заполняется элементами

второй строки.Т.е. иммем

a11 a12 а13 …

a1 n-1

a21 a22

а23 … a2 n-1

n-1= a31 a32 а33 …

a3 n-1

…………………………..

an-1 1 an-1 2 an-1 3

… an-1 n-1

И т.д.

Общий вывод : необходимо расчитать лишь правую треугольную

часть элементов. Нижняя же левая часть определителя заполняется

автоматически. Формально ее можно вообще не заполнять, т.е. оставлять

в виде

a11 a12 а13 …

a1 n-1

a22

а23 … a2 n-1

n-1= а33

… a3 n-1 (5.16)

…………..

an-1 n-1

Отсюда для получения следующегоопределителя можно применить

правило, условно назовем, треугольника.

a11= a11 a22- a122

a22= a11 a33- a132 и т.д.

Для недиагоналных элементов схема несколько сложнее

a12= a11 a23- a13 a12 a11

a12 а13

а23 и т.д.

Пример №3.

Исследовать на экстремум функцию z=x3+y3-3xy

1.Находим

z z

---- и ----

y x

z

---- = 3x2-3y

y

z

---- = 3y2-3x

x

2.Находим стационарные точки, решая систему

3x2-3y=0

3y2-3x=0

Получили две стационарные точкм (0;0) и (1;1).

3.Находим

2z 2z

2z

------- --------- --------

x2 y2 x y

2z 2z

2z

------- =6x --------- =6y -------- = -3

x2 y2 x y

4.Для точки (0;0) имеем

a11=0 a22=0 a12= a21= -3

Для точки (1;1) иммем

b11=6 b22=6 a12= a21= -3

5.Находим

a11 a12 0 -3

a21 a22 -3 0

b11 b12 6 -3

b21 b22 -3 6

Так как <0 , то в точке (0;0) экстремума нет.

Так как >0 и a11>0, то (1;1) – точка минимма функции, причем

zmin = -1.

Пример №4.

Исследовать на экстремум функцию w=x2/3+y2/3+z2/3

Ищем критические точки

2 2

2

w`x= ------ w`y= --------- w`z= ----------

3 3 x 3 3 y 3

3 z

Эти частные производные не обращаются в нуль ни при каких

значениях x, y, z; они не сужествуют (обращаются в бесконечность) в

точке P0(0;0;0). Точка P0 лежит внутри области определения функции w,

которая представляет совокупность всех точек (x;y;z) пространства.

Поэтому P0 критическая точка.

Исследуя знак разности w(P)-w(P0)= x2/3+y2/3+z2/3 вблизи точки

P0, убеждаемся, что при любых отличных от нуля значениях x,y,z она

сохраняет положительный знак. Поэтому P0 есть точка минимума,

wmin=w(P0)=0

5.4.Экстремумы на множествах.

Следует обратить внимание на то, что мы указали необходимые и

достаточные условия экстремума функции лишь во внутренней точке

области определения. Таким образом, при отыскании абсолютного

максимума или минимума функции необходимо наряду с внутренними

критическими точками функции исследовать также точки границы области

определения, поскрльку максимальное или минимальное значение функция

может принять в одной из таких граничных точек.

Пусть функция f дифференцируема на открытом ограниченом G и

непрерывна на его замыкании G. Пусть требуется найти наибольшее и

наименьшее значения функции на множестве G. Для этого можно, например,

найти все стационарные точки функции f в G, вычислить в них значения

функции и выбрать, если, конечно это возможно (а теоретически возможно

это, например, когда число стационарных точек конечно), точки, в

которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения из всех

значений в стационарных точках. После этого следует сравнивать эти

значения со значениями, которые функция принимает на границе открытого

множества G, например, найдя, если это удается сделать, наибольшее и

наименьшее значения функции f на границе области G. Сравнив наибольшее

и наименьшее значения в стационарных точках с наибольшим и наименьшим

значениями на границе множества G, мы можем, очевидно, найти искомый

максимум и минимум f на G.

В случае, когда G – плоская область и ее граница является

кривой, заданной некоторым представлением

x=x(t), y=y(t), <t< вопрос о нахождении экстремальных значений

функции f(x,y) на границе G сводится к исследованию на экстремум

функции одного переменного f(x(t),y(t)), что делается уже известными

нами методами.

Методы, которые можно применять в многомерном случае для

отыскания экстремальных точек на границе области будут рассмотрены

позже (см. раздел, посвященный условному экстремуму).

Полезно лишь иметь ввиду, что при отыскании максимумов и

минимумов часто наряду с формальной техникой, а иногда и вместо нее

можно использовать некоторые простые соображения, связанные с природой

задачи. Например, если рассматриваемая в Rn дифференцируемая функция

по смыслу задачи должна иметь минимум и вместе с тем она не ограничена

сверху, то при условии, что функция имеет единственную критическую

точку, можно без дальнейшего исследования утверждать, что в этой точке

она принимает минимальное знычение.

6.Условный экстремум.

6.1.Постановка вопроса.

Одним из наиболее ярких популярных достижений дифференциального

исчисления являются предполагаемые им рецепты отыскания экстремумов

функций. Необходимые условия и достаточные дифференциальные признаки

экстремума, которые мы получили из формулы Тейлора, относятся, как уже

отмечалось к внутренним экстремумам.

Иными словами, эти результаты применимы только к исследованию

поведения функции Rn x f(x) R в окрестности точки тогда,

когда аргумент может принимать любое значение из некоторой окрестности

Rn в точки x0.

Часто возникает более сложная и с практической точки зрения

даже более интересная ситуация,когда ищется экстремум функции при

некоторых условиях, ограничивающих область измерения аргумента.

Типичным примером может служить изопериметрическая задача, когда

ищется тело, имеющее максимальный объем при условии, что

ограничивающая его поверхность имеет заданную площадь. Чтобы получить

доступную нам математичкую запись такой задачи, упростим постановку и

будем считать, что задача состоит в том, чтобы среди прямоугольников,

имеющих заданный периметр 2р, найти тот, который имеет наибольшую

площадь . Обозначив через х и у длины сторон прымоугольника,

запишем, что

(х,у)=х-у

х+у=р

Итак, надо найти экстремум функции (х,у) при условии, что

переменные х,у связаны соотношением х+у=р. Таким образом, экстремум

функции ищется только на множестве тех точек плоскости R2, которые

удовлетворяют указанному соотношению. Эта конкретная задача, конечно,

решается без труда : достаточно, записав, что у=р-х, подставить это

выражение в формулу для (х,у) и найти обычными методами максимум

функции х(р-х). Она нам была нужна лишь для постановки вопрса. В

следующих пунктах мы рассмотрим общий случай решения подобных задач.

6.2.Понятие условного экстремума.

Пусть на открытом множестве G Rn заданы функции.

yi=fi(x) i=1,2,3,…,m

(6.1)

x=(x1,x2,…,xn).Обозначим через Е множество точек x G , в которых

все функции fi i=1,2,3,…,m обращаются в нуль:

E={x: fi(x)=0, i=1,2,3,…,m, x G} (6.2)

Уравнения

fi(x)=0, i=1,2,3,…,n

(6.3)

будем называть уравнениями связи.

Определение : пусть на множестве G задана функция y=f0(x)

.Тогда x(0) E называется точкой условного экстремума (принят также

термин «относительный экстремум») функции f0(x) относительно (или при

выполнении) уравнений связи (6.3) , если она является точкой обычного

экстремума этой функции , рассмотриваемой только на множестве Е.

Иначе говоря , здесь значения функции f0(x) в точке x(0)

сравниваются не со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности

этой точки , а только со значениями в точках , принадлежащих

одновременно указанной достаточно малой окрестности и множеству Е. Как

и в случае обычных экстремумов , можно , естественно , рассматривать

точки просто условного экстремума и точки строго условного экстремума.

Будем предполагать , что

1) все функции f0,f1,f2,…, fm непрерывно дифференцируемы в

открытом множестве G ;

2) в рассматриваемой точке x(0) векторы f1, f2,…, fm линейно

независимы , т.е. ранг матрицы Якоби

fj

j=1,2,…,m

xi i=1,2,…,n

равен m-числу ее строк (строки матрицы Якоби являются

компонентами градиентов f1, f2,…, fm).

Это означает , что функции системы (6.1) независимы в

некоторой окрестности точки x(0).Поскольку в n-мерном пространстве не

может быть больше чем n линйено независимых векторов и ранг матрицы не

может быть больше чиола столбцов , то из условия 2) следует ,что m<n.

Согласно условию 2) в точке x(0) хотя бы один из

определителей вида

(f1, f2,…, fm)

(xi1,xi2,…,xim)

отличен от нуля.Пусть для определенности в точке x(0).

(f1, f2,…, fm)

(xi1,xi2,…,xim)

(6.4)

Тогда , в силу теоремы о неявных функциях , систему уравнений (6.3) в

некоторой окрестности точки x(0)=(x1(0),x2(0),…,xn(0)) можно

разрешить относительно переменных x1,x2,…,xm :

x1= 1( x1,x2,…,xm)

x2= 2( x1,x2,…,xm)

……………………

(6.5)

xm= m( x1,x2,…,xm)

Поставив значения x1,x2,…,xm, даваемые формулами (6.5) в y=f0(x), т.е.

рассмотрев композицию функции f0 и 1, получили функцию

y= f0( 1( xm+1,…,xn),…, m( xm+1,…,xn),

xm+1,…,xn)== =0( xm+1,…,xn)

(6.6)

от n-m переменных xm+1,…,xn,определенную и непрерывно дифференцируемую

в некоторой окрестности точки x(0)=(x1(0),x2(0),…,xn(0)) в (n-

m)–мерном пространстве Rn-m.

Поскольку , согласно теореме о неявных функциях , условия (6.3)

и (6.5) равносильны ,то справедливо следующее утверждение.

Точка x(0) является точкой (строгого) условного экстремума для

функции g относительно уравнений связи (6.3) в том и только том случае

, когда x(0) является точкой обычного (строгого) экстремума (6.6).

Если x(0)– точка обычного экстремума функции g, то она является

стационарной точкой этой функции:

dg (x(0))=0

(6.7)

Напомним , что дифференциал – линейная однородная функция и его

равенство нулю означает равенство нулю этой функции при любых

значениях ее аргументов , в данном случае – при любых dxm+1, dxm+2,…,

dxn.Это возможно ,очевидно , в том и только том случае , когда все

коэффициенты при этих аргументах , т.е. производные g/ xm+k,

k=1,2,…,n-m обращаются в нуль в точке x(0).Условие (6.7) необходимо

для условного экстремума в точке x(0).

Таким образом , метод , основанный на решение системы уравнений

(6.3) через элементарные функции часто невозможно или весьма

затруднительно; поэтому желательно располагать методом , позволяющим

найти условный экстремум не решая системы (6.3).Такой способ ,так

называемый метод множетелей Лагранжа , изложен в следующем пункте .

6.3.Метод множетелей Лагранжа для нахождения точек условного

экстремума.

В этом пункте будем предполагать , что все функции f0,f1,f2,…,

fm непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G.

Теорема 6.1 : пусть x(0)– точка условного экстремума функции f0

при выполнении уравнений связи (6.3).Тогда в этой точке градиенты f1,

f2,…, fm линейно независимы , т.е. существуют такие не все равные нулю

, числа 0, 1, 2,…, m что

0 f0+ 1f1+ 2f2+…+ mfm=0

(6.8)

Следствие : если в точке x(0) условного экстремума функции f0

относительно уравнений связи (6.3) градиенты f1, f2,…, fm

линейно независимы , то ранг матрицы Якоби

fj

j=1,2,…,m

xi i=1,2,…,n

равен m, то существуют такие 1,…, m , что в этой точке

f0+ i fj=0

(6.9)

т.е. f0 является линейной комбинацией градиентов f1, f2,…, fm.

В координатной форме это условие имеет вид : для любого

i=1,2,…,n в точке x(0)

f0 fi

xi xi

(6.10)

функция

F(x)==f0(x)+ jfj(x)

(6.11)

где числа 1,…, m удовлетворяют условию(6.10), называется функцией

Лагранжа рассматриваемой задачи , а сами числа 1,…, m –

множителями Лагранжа.

Условие (6.10) означает , что если x(0) является точкой

условного экстремума функции f0 относительно уравнений связи (6.3) ,

то она является стационарной точкой для функции Лагранжа , т.е.

F(x(0))

xi

i=1,2,…,n (6.12)

Прежде , чем доказать теорему , разъясним ее смысл и покажем ,

как ее использовать для нахождения точек условного экстремума. Прежде

всего обратим внимание на то , что у функции вида (6.11) при

произвольных числах 1,…, m, каждая точка ее условного

экстремума является и точкой условного экстремума исходной функции f0,

и наоборот.Мы выбираем такие значения 1,…, m, чтобы выполнялись

условия (6.10) , т.е. чтобы данная точка условного экстремума

оказалась и стационарной точкой фуцнкции (6.9).

Для отыскания точек условного экстремума следует рассмотреть

систему n+m уравнений (6.3) и (6.8) относительно неизвестных

x1(0),x2(0),…,xn(0), 1,…, m и решить ее (если это возможно) , найдя

x1(0),x2(0),…,xn(0) и по возможности исключив 1,…,

m.Сформулированная теорема утверждает , что все точки условного

экстремума будут находится среди найденных таким образом точек

(x1(0),x2(0),…,xn(0)).Вопрос о том , какие же из них фактически будут

точками условного экстремума , требует дополнительного исследования ,

об этом будет говориться в п.6.5

Доказательство теоремы . Докажем утверждение равносильное

теореме : если в точке x(0)=(x1(0),x2(0),…,xn(0)), удовлетворяющей

уравнениям связи

fk(x(0))=0 k=1,2,…,n

(6.13)

градиенты f0, f1, f2,…, fm линейно независимы , то x(0) не

является точкой условного экстремума.

Итак , пусть f0, f1, f2,…, fm линейно независимы и ,

следовательно , ранг матрицы Якоби fj/ xi j=1,2,…,m,i=1,2,…,n

равен m+1.Тогда в матрице существует минор порядка m+1 не равный

нулю.Для определенности будем считать , что он образован первыми m+1

столбцами , т.е.

(f0, f1, f2,…, fm)

(x1,x2,…,xm+1) x=x(0)

(6.14)

Множество G–открыто , а поэтому существует такое 00>0, что при

всех 0 0<0<00 , куб

Q n={x: xi-xi(0) <0,i=1,2,…,n}

лежит в G и , следовательно, на нем определены все функции f0, f1,

f2,…, fm.

Зафиксируем xm+2= x(0)m+2,…, xn=xn(0) и введем обозначения

x*=(x1,x2,…,xm+1)

Q m+1={x*: xi-xi(0) <0,i=1,2,…,m+1}

Очевидно , функции fj(x1,x2,…,xm+1,x(0)m+2,…,xn(0)) j=1,2,…,m

определены и непрерывно дифференцируемы всюду в Q m+1.Рассмотрим

отображение Ф : Q m+1 Rm+1, задаваемое формулами

y1= f0(x1,x2,…,xm+1,x(0)m+2,…,xn(0))

y2= f1(x1,x2,…,xm+1,x(0)m+2,…,xn(0))

…………………………………… (6.15)

ym+1= fm(x1,x2,…,xm+1,x(0)m+2,…,xn(0))

В силу (6.15) для точки x*(0)=(x1(0),x2(0),…,xn(0)) имеем

(y1, y2,…, ym+1) (f0, f1, f2,…, fm)

(x1,x2,…,xm+1) x*= x*(0) (x1,x2,…,xm+1) x=x(0)

а в силу (6.13) Ф(x*(0))=(f0(x(0),0,…,0) .Поэтому (в силу теремы о

локальной обратимости непрерывно дифференцируемого отображения в точке

, в которой его якобиан не равен нулю , существует такое число >0 ,

что на окрестности

V={y=(y1, y2,…, ym+1) : y1- f0(x(0)) < , yj< ,j=2,3,…,m}

(рис.5) определено обратное к Ф отображение и , следовательно , в

любую точку этой окрестности отображается какая-то точка из Q m+1.

В частности , поскольку при любом n,0<n< ,имеет место

включение (f0(x(0))+n,0,…,0), то в кубе найдутся точки

x`*=(x`1,x`2,…,x`m+1) и x``*=(x``1,x``2,…,x``m+1), отображающиеся при

отображении Ф в указанные точки окрестностиV`.

Ф(x`*)=(f0(x(0))+n,0,…,0)

Ф(x``*)=(f0(x(0))-n,0,…,0)

Если положим для краткости

x`=(x`1,x`2,…,x`m+1,x(0)m+2,…,xn(0)) и

x``=(x``1,x``2,…,x``m+1,x(0)m+2,…,xn(0)), то в координатной записи

(6.15) получим

f0(x`)= f0(x(0))+n> f(x(0)) , fk(x`)=0, k=1,2,…,n , x` Q n

и

f0(x``)= f0(x(0))-n> f(x(0)) , fk(x``)=0, k=1,2,…,n , x`` Q n

В силу произвольности 0>0,0<0<0 , это и означает , что x(0) не

является точкой условного экстремума.

ч.т.д.

Доказательство следствея. Если векторы f1, f2,…, fm линейно

независимы , то в равенстве (6.8) имеем 0=0 так как в случае

0=0 указанные векторы в силу (6.8) оказались бы линейно зависимыми

.Разделив обе части на 0 получим равенство вида (6.9).

ч.т.д.

Пример №5.

Пусть требуется найти экстремум функции u=xyzt при условии

x+y+z+t=4c; область изменения переменных определяетссся

неравенствовами x>0, y>0, t>0, z>0.

Применяя к этой задаче метод Лагранжа, введем вспомогательную

функцию

Ф=xyzt+ (x+y+z+t)

И составим условия

Фx =yzt+ =0

Фy =xzt+ =0

Фz =yxt+ =0

Фt =yzx+ =0

откуда

yzt=xzt=xyt=xyz

так что

x=y=z=t=c.

6.4.Стационарные точки функции Лагранжа.

В этом пункте будет дано описаие стационарных точек функции

Лагранжа (6.10) посредством фукции 0(xm+1,xm+2,…,xn), введенной в

пункте 6.2 (см.(6.8)).Предварительно докажем одну простую лемму из

линейной алгебры.

Пусть задана система линейных однородных уравнений

ai1x1+…+ ainxn=0 i=1,2,…,m (6.16)

и еще одно линейное однродное уравнение

b1x1+…+ bnxn=0

(6.17)

Cистему уравнений , полученную присоединением к системе (6.16)

уравнения (6.17), будем называть расширенной системой (6.16)-(6.17).

Лемма: Для того чтобы расширенная система (6.16)-(6.17) была

равносильна основной системе (6.16) необходимо и достаточно , чтобы

уравнение (6.17) являлось линейной комбинацией уравнений системы

(6.16).

Следствие:Для того чтобы уравнение (6.17) было линейной

комбинацией уранений (6.16) или , что то же самое , чтобы вектор

b==(b1,…,bn)

(6.18)

был линейной комбинацией векторов

ai ==(ai1,…,ain) i=1,2,…,m

(6.19)

необходимо и достаточно , чтобы каждое решение системы (6.16) являлось

решением уравнения (6.17).

Доказательство леммы . Пусть ранг матрицы (aij) коэффициентов

системы (6.16) равен m0 . Очевидно , что m0<m . Если m0<m, то

уравнений системы (6.16) являются линейными комбинациями остальных.

Отбросив те m-m0 линейных уравнений , которые являются линейными

комбинациями оставшихся , получили систему из m0 линейно независимых

уравнений . равносильную системе (6.16), причем уравнение (6.17)

является линейной комбинацией уравнений системы (6.16) тогда и только

тогда , когда оно является линейной комбинацией указанной системы из

оставшихся m0 уравнений. Поэтому будем с самого начала считать , что ,

m0=m т.е. что ранг матрицы (aij) коэффициентов системы (6.16) равен m–

числу уравнений этой системы.

Пусть система (6.16) и (6.16)-(6.17) равносильны. Это означает,

что пространства их решений совпадают.Поскольку все уравнения основной

системы (6.16) входят в расширенную систему (6.16)-(6.17), то каждое

решение расширенной системы является и решением основной системы ,

т.е. пространство решений расширенной системы содержится в

пространстве решений основной системы. Следовательно , слвпадение этих

пространств равносильно равенству их размерностей.

Размерность s пространства решений системы линейных днородных

уравнений равны , как известно , числу неизвестных n этой системы , из

которого вычтем ранг r матрицы коэффициентов системы : s=n-r.Отсюда

следует , что равносильность систем (6.16) и (6.16)-(6.17) означает

равенство рангов их матриц.Ранг матрицы коэффициентов системы (6.16)

по условию равен m , т.е. векторы (6.19) линейно независимы.

Ранг матрицы коэффициентов расширенной системы (6.16)-(6.17)

согласно сказанному в наших условиях также равен m.Поэтому векторы

(см.(6.18) и (6.19))

b, a1,…, am (6.20)

линейно зависимы.А это означает , что b является линейной комбинацией

векторов a1,…, am.

В самом деле , линейная зависимость векторов (6.20) означает ,

что существуют такие числа 0, 1,…, m, не все равные нулю .

что

0b+ 1a1+…+ mam=0

(6.21)

Здесь заведамо 0=0, так как в противном случае векторы a1,…, am

оказались бы линейно зависимыми. Поделив равенство (6.21) на 0,

получим , что b является линейной комбинацией векторов a1,…, am .

Обратно, если b является линейной комбинацией векторов (6.19),

то в системах векторов (6.19) и (6.20) имеется в точности по m линейно

независимых векторов , т.е. ранги матриц коэффициентов систем

уравнений (6.16) и (6.16)-(6.17) равны.

Итак, условие , что вектор b является линейной комбинацией

векторов (6.19) :

1a1+…+ mam=b

эквивалентно равенству рангов матриц коэффициентов рассматриваемых

основной и расширенной системв уравнений, следовательно, эквивалентно

их равносильности.

ч.т.д.

Доказательство следствия сразу следует из леммы, поскольку

системы (6.16) и (6.16)-(6.17) очевидно равносильны тогда и только

тогда , когда каждое решение системы (6.16) является и решением

уравнения (6.17) – остальные уравнения систем просто совпадают.

ч.т.д.

Замечание 1 : доказанная лемма и ее следствие имеют простую

геометрическую интерпритацию в n–мерном евклидовом векторном

пространстве Rn, т.е. в n–мерном пространстве со скалярным

произведением.Используя обозначение скалярного произведения, систему

(6.16) можно записать в виде

(ai,x)=0 i=1,2,…,m

(6.22)

а уравнение (6.17) в виде

(b,x)=0

(6.23)

где векторы a1,…, am и определены в (6.18) и (6.19) , а

x=(x1,x2,…,xm+1)

Множество всевозможных линейных комбинаций векторов a1,…, am

образуют подпространство пространства Rn и называется

подпространством, натянутым на эти векторы.Обозначим его через Z=(

a1,…, am).

Множество решений системы (6.22) состоит из всех векторов х,

ортоганальных подпространству Z=( a1,…, am) Обозначим это множество

решений через Т.Оно также является подпространством пространства Rn.

Подпространства L==Z(a1,…, am) и Т называются ортоганальными

дополнениями друг друга в пространстве Rn.

Поскольку L=Z( a1,…, am), то представимость вектора b в виде

линейной комбинации векторов a1,…, am равносильна его принадлежности

подпространству L пространства Rn:b L.Это условие в свою очередь,

равносильно ортоганальности вектора b подпространству Т:b _Т, которая

означает, что для всех x Т имеет место равенство (b,x)=0,т.е.что любое

реение х системы (6.22) является решением уравнения (6.23).Это и

является утверждением следствия леммы.

Замечание 2 : напомним метод, которым можно получить все

решения однородной системы линейных уравнений.Пусть система (6.16)

состоит из линейно независимых уравнений.Тогда ранг матрицы его

коэффициентов равен m.Это означает , что существует минор этой матрицы

порядка m, не равный нулю.Пусть для определенности

a11… a1m

am1… amm

(6.24)

В этом случае все решения системы (6.16) можно получить ,

задавая произвольно последние n-m координаты вектора (x1,x2,…,xn).

Остальные координаты однозначно находятся из системы уравнений

(6.16).В самом деле, возьмем произвольное решение

(x1(0),x2(0),…,xn(0)) системы (6.16).После подстановки xm+1= x(0)

m+1,…, xn= xn(0) в (6.16) получится система из m линейных уравнений (с

m неизвестными x1,x2,…,xn), матрицы коэффициентов которой в силу

условия (6.24) невырожденная.Поэтому существуют единственные значения

x1,x2,…,xn, удовлетворяющие получившейся системе.Поскольку

(x(0)1,x(0)2,…,x(0)n). также было решением системы (6.16), то

x1=x(0)1, x2=x(0)2,…, xm=x(0)m .

Перейдем теперь к анализу стационарных точек функции Лагранжа.

Теорема 6.2: Пусть функции f0, f1, f2,…, fm непрерывно

дифференцируема в области G Rn, x(0) G

fi(x)=0, i=1,2,3,…,n

а ранг матрицы Якоби функций f1, f2,…, fm в точке x(0) равен

m.Для того чтобы в точке x(0)=(x(0)1,x(0)2,…,x(0)n) градиент f0

являлся линейной комбинацией градиентов f1, f2,…, fm необходимо и

достаточно, чтобы точка x(0)=(x(0)1,x(0)2,…,x(0)n) была стационарной

точкой для функции.

g(x)=g(xm+1,…,xn)

Напомним,что если в точке x(0) градиент f0 является линейной

комбинацией

f0= 1f1+ 2f2+…+ mfm

(6.25)

градиентов f1, f2,…, fm, то это равносильно тому, что существует

функция Лагранжа

F= f0- 1f1- 2f2-…- mfm

(6.26)

для которой точка x(0) является стационарной :

F(x(0))

xi i=1,2,…,n

(6.27)

Это просто координатная запись (6.25) ,ибо в силу (6.26)

F(x(0)) f0 f1 f2 fm

xi xi xi xi xi

i=1,2,…,m

Доказательство: По условию ранг матрицы Якоби системы функций

f1, f2,…, fm в точке x(0) равен m .Будем считать для определенности ,

как и в пункте 6.2 ,что

(f1, f2,…, fm)

(x1,x2,…,xm) x(0)

(6.28)

Подставим в уравнение связи (6.3) функции (6.5) , являющиеся

решением этих уравнений , и продеффиренцируем получившееся

относительно переменных xm+1,…,xn тождества.Получим для точки x(0)

равенства dfi(x(0))=0, i=1,2,…,m, справедливые для любых

приращений dxm+1,…,dxn независимых переменных xm+1,…,xn (напомним, что

дифференциал являетсся линейной функцией , определенной на всем

пространстве)Использовав инвариантность формы первого дифференциала

относительно выбора переменных , получим , что в точке выполняется

равенство

fi fi fi fi

i=1,2,…,m

x1 xm xm+1 xn (6.29)

где xm+1,…,xn произвольные , а x1,…,xm находятся изформул (6.5).

Таким образом вектор dx=( dx1,…,dxm,dxm+1,…,dxn) является решением

линейной однородной системы (6.29).

Отметим , что в силу условия (6.28) значения dx1,…,dxm при

заданных dxm+1,…,dxn однозначно находятся и из системы (6.29). Из

замечания 2 следует также , что указанным способом получаются все

решения системы (6.29).

Стационарность точки x(0) для функции g(x)=g(xm+1,…,xn)

означает , что dg(x(0)).Это равенство , в силу инвариантности формы

первого дифференциала, можно более подробно записать в виде

f0 f0 f0 f0

x1 xm xm+1 xn

(6.31)

где dxm+1,…,dxn можно задавать произвольно, а dx1,…,dxm следует

находить из формул (6.5) или , что дает тотже результат из формул

(6.29). Инач говоря , любое решение системы уравнений (6.29) является

и решением уравнения (6.31). Согласно следствию из леммы это возможно

тогда и тoлько тогда , когда уравнение (6.31) является линейной

комбинацией уравнений системы (6.29) , т.е. когда существуют такие

числа , что

f0= 1f1+ 2f2+…+ mfm

ч.т.д.

Замечание 3 : Согласно замечанию 2 совокупность всех

решений систеиы уравнений (6.29) образуют подпространство Т

пространства Rn, являющееся ортогональным дополнением к

подпространству L=Z( f1, f2,…, fm) . Любой вектор y T ортогонален

каждому градиенту fi , а поэтому его естественно назвать касательным

вектором в точке x(0) к гиперповерхности fi(x)=0 , являющиеся

множеством уровня функций fi,i=1,2,…,m.

Таким образом , пространство решений Т системы (6.29) состоит

из векторов , касательных одновременно ко всем гиперповерхностям

fi(x)=0 ,i=1,2,…,m, и потому его называют касательным пространством

персечений всех гиперповерхностей fi(x)=0 ,i=1,2,…,m . Напомним , что

векторы касательноо пространства Т ,т.е. решения системы (6.29), были

обознаены через dx (см.(6.30)).

Поскольку в точке условного экстремума согласно теореме 2 имеет

место включение

f0 L=Z( f1, f2,…, fm)

то

f0 T

Иначе говоря, градиент f0 одновременно ортогонален всем касательным

dx к гиперповерхностям fi(x)=0 ,i=1,2,…,m:

( f0,dx)=0

(это другая запись уравнения (6.31)), т.е. градиент f0

перпендикулярен касательному пространству Т в точке x(0) .Но множество

всех векторов , ортогональных к f0, образуют (n-1)– мерное

пространство Т0 , называемое касательным пространством к

гиперповерхности f0(x)= f0(x(0)) .В силу сказанного выше , каждый

вектор из Т , будучи ортогонален градиенту f0, принадлежит к Т0 ,

т.е. Т Т0.

Итак , если x(0) – точка условного экстремума , то . Т Т0 ,

т.е. касательное пространство в точке x(0) пересечения всех

гиперповерхностей , задаваемых уравнениями связи , содержится в

касательном пространстве в той же точке гиперповерхности.

Замечание 4 : Из теоремы 2 еще раз вытекает следствие теоремы

1.В самом деле , если x(0) является точкой условногo экстремума , то

является x(0) точкой обычного экстремума для функции () и ,

следовательно , ее стационаоной точкой . Поэтому согласно теореме 2

точка x(0) является стационарной точкой для функции Лагранжа ,

т.е.выполняется условие .

6.5.Достаточные условия для точек условного экстремума.

В этом пункте также будем предполагать выполненными все

предположения , наложенные на функции в пункте 6.2.Пусть

F= f0+ ifi

-функции Лагранжа (см.(6.11)) для функции f0 и уравнений

связи(6.3).Пусть x(0) G удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и

является стационарной точкой функции Лагаранжа , т.е. точкой ,

координаты которой удовлетворяют системе уравнений (6.10) и (6.3).

Нашей целью является получение метода , с помощью которого можно

установить условия , достаточные для того , чтобы x(0) являлась точкой

условного экстремума рассматриваемой задачи.

Заметим прежде всего , что если точка x G удовлетворяет

уравнениям связи (6.3) , то

f= f(x)-f(x(0))=F(x)-F(x(0))= F (6.32)

Отсюда сразу видно , что если x(0) является точкой обычного экстремума

для функции F, т.е. F не меняет знака в некоторой окрестности точки

x(0), то x(0) является точкой условного экстремума для функции f0 .

Действительно , из (6.32) следует в этом случае , что

приращение f0 для допустимых значений х , т.е. удовлетворяющих

уравнениям связи , также не меняет знак, Это достаточное условие ,

однако , накладывает слишком сильное ограничение на поведение функции

Лагранжа F(x) в рассматриваемой точке – она должна иметь обычный

экстремум , что сильно сужает область возможного применения указанного

условия при решении задач.Поэтому целесообразно получить более общий

достаточный признак условного экстремума .

Пусть x(0)= (x(0)1,x(0)2,…,x(0)n) удовлетворяет уравнениям

связи (6.3).Вернемся к рассмотрению функции (6.6) , т.е. функции

g(x)=g(xm+1,…,xn) , получаемой из f0(x)= f0(x1,x2,…,xn) при условии ,

что являются x1,x2,…,xm функциями переменных xm+1,…,xn определяемых

уравнениями связи (6.3) в некоторой окрестности точки x(0).Будем

дополнительно предполагать , что f0(x ) и fi(x ) ,i=1,2,…,m дважды

непрерывно дифференцируема в точке x(0).

Выше отмечалось (в пункте 6.2) , что x(0) является точкой

условного (строгого) экстремума для функции f0(x) относительно

уравнений связи (6.3) тогда и только тогда , когда x(0) является

точкой обычного (строгого) экстремума для функции g(x).Поэтому , если

например , в точке x(0) функция g(x) удовлетворяет достаточным

условиям существования строгого экстремума,то в этой точке функция

f0(x) имеет условный строгий экстремум относительно уравнений связи

(6.3).Достаточные условия для обычного сторого экстремума были

получены нами ранее .Для нашего случая они имееют вид :

1) g(x(0) )

xi i=m+1,…,n;

(6.33)

2)второй дифферециал

2g(x(0) )

d2g(x(0) )= -----------dxidxj

(6.34)

xi xj

является положительно или отрицательно определенной квадратичной

формой.

При выполнении этих условий x(0) является точкой строгого

минимума или максимума для функции g(x).В силу сказанного выше

указанные условия являются и достаточными условиями для того, чтобы

x(0) являлось точкой условного строго минимума (максимума) для функции

f0(x) относительно уравнений связи (6.3). Однако они неудобны для

практического использования , так как требуют знания функции

g(x).Поэтому , исходя из полученных достаточных условий условного

строгого экстремума , выраженных посредством функции g(x) , получим

достаточные условия того же экстремума , но выраженные только через

функцию Лагранжа и уоавнений связи.

Прежде всего заметим , что в силу условия (6.4) система (6.29)

разрешима, и притом однозначно, относительно dx1,…,dxm при произвольно

фиксированных dxm+1,…,dxn .Систему (6.29), выражающую равенство нулю

дифференциалов функции fi(x) в точке x(0):

d fi(x)=0, i=1,2,…,m

при выполнении условий (6.3) , будем записывать кратко в виде :

df=0

(6.35)

где

f=(f1,f2,…,fm)

Пусть x(0) является стационарной точкой для функции Лагранжа

F(x).Это означает, что dF(x(0))=0, т.е. что в этой точке f0+

ifi=0.В теореме 2 показано, что в том случае x(0) является

стационарной точкой для функции, т.е.

dg(x(0))=0

(6.36)

Поясним еще раз вывод этой формулы и покажем, что

d2g(x(0) )= d2F(x(0) ) df=0

(6.37)

Это равенство следует понимать как равенство функции n-m

переменных dxm+1,…,dxn.В правой части равенства (6.37) остальные

переменные dx1,…,dxm, которые входят в выражения написанных

дифференциалов, определяются из системы уравнений (6.35) или, что

равносильно (см. формулы (6.5))

dxk=d k(x1,x2,…,xn-m), k=1,2,…,m

Используя инвариантность формы первого дифференциала

относительно выбора переменных и формулу (6.6), имеем

f0 (x(0) )

dg(x(0) )= -----------dxj

xj

Прибавим к этому равенству сумму (равную нулю) левых частей

тождеств (6.29), умноженных соответственно на постоянные i, входящие

в функцию Лагранжа F(x) (точнее, i-е равенство (6.29) умножается на

постоянную i).Тогда, использовав условие (6.11), получим

F(x(0))

dg(x(0) )= -------[ f0 (x )+ ifi (x)] dxj =

--------- dxj=0

xj

x=x0 xj

Утверждение (6.36) доказано.

Равенство (6.37) доказывается аналогичным приемом.Прежде всего

напишем второй дифференциал для функции g(x) в точке x(0):

2f0(x(0) )

f0(x(0) )

d2g(x(0) )= -----------dxjdxk + ----------- d2xj

(6.38)

xj xk xj

Далее продифференцировав тождества, получающиеся в результате

дифференцирования уравнений связи (6.3), т.е. тождества будем иметь в

точке x(0) :

2f0(x(0) )

f0(x(0) )

d2g(x(0) )= -----------dxjdxk + ----------- d2xj =0

(6.39)

xj xk xj

i=1,2,…,n

Умножив i–е равенство (6.39) на постоянную i, входящую в

функцию Лагранжа F(x), прибавим получившееся выражение к правой части

равенства (6.38) ; тогда получим

2F(x(0) )

F(x(0) )

d2g(x(0) )= -----------dxjdxk + ----------- d2xj

(6.38)

xj xk xj

где dxi, i=1,2,…,n удовлетворяет системе уравнений (6.35).Поскольку

x(0) точка стационарная для функции Лагранжа, то второй член

получившегося равенства обращается в нуль, и тем самым формула (6.37)

доказана.

Будем говорить, что квадратичная форма d2F(x(0) ) является

положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой

переменных dxi, i=1,2,…,n, при условии, что эти переменные

удовлетворяют системе уравнений (6.35), если для любых dxi, i=1,2,…,n

, удовлетворяющих этой системе уравнений и таких, что (dxi)2>0

выполняется неравенство d2F(x(0) ) >0 (соответственно d2F(x(0) ) <0)

Пусть точка x(0) удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и

является стационарной для функции Лагранжа (6.11) и пусть второй

дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно

(отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx1,…,dxn,

при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.35).Тогда из

(6.36) и (6.37) следует, что x(0) является стационарной точкой для

функции g(x) и что второй дифференциал этой функции в точке x(0)

является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой

переменных dxm+1,…,dxn, и, следовательно, функция имеет в точке x(0)

строгий минимум (максимум) , а значит, функция f0(x) имеет в точке

x(0) условный строгий минимум (максимум) относительно уравнений связи

(6.3).

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 6.3: Если x(0) удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и

является стационарной точкой для функции Лагранжа (6.11) и если второй

дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно

(отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx1,…,dxn

при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.29), то x(0)

является точкой строгого минимума (максимума) для функции f

относительно уравнений связи (6.3).

Таким образом, чтобы исследовать стационарную точку функции

Лагранжа (6.11) на условный экстремум, надо исследовать на

определенность квадратичную форму (6.37), т.е. второй дифференциал

функции Лагранжа в этой точке при выполнении условий связи (6.3)

(когда дифференциалы dxi, i=1,2,…,n связаны соотношениями (6.29)).При

этом следует иметь в виду, что если второй дифференциал функции

Лагранжа в рассматриваемой точке окажнтся положительно (отрицательно)

определенным и без выполнения условий связи, то он будет и таковым ,

конечно, и при их выплнении.

.

7.Заключение.

Математический анализ это совершенно естественная, простая и

элементарная наука, ничуть не более заумная, сложная или “высшая”,

чем, скажем, “элементарная” геометрия. Многие теоремы, традиционно

входившие в курс геометрии, куда сложнее, чем основополагающие теоремы

классического анализа. Ныне противопоставление элементарной математики

и анализа непродуктивно, и вовсе необязательно проявлять бездну

остроумия только лишь из боязни использовать свойства производной.

Привнесение элементов математического анализа в школьные

программы неизбежно приведет к перестройке и других областей

математического образования – изменится содержание конкурсных задач,

кружковой работы, математических олимпиад и многого другого. Теперь

уже невозможно не учитывввать, что школьник должен знать нечто из

ранее недоступной ему высшей математики.

При этом следует иметь в виду, что если освоены лишь самые

основы математического анализа, можно уже делать попытки подобраться

ко многим современным проблемам.

При рассмотрении данной темы дипломного проекта теоритические

сведения подтвердились практическим доказательством и математическим

обоснованием.

8. Библиография.

1.А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович Краткий курс математического

анализа.-М.: Наука, 1973.

2.И.Е.Жак Дифференциальное исчисление.-М.:Государственное

учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР,

1960.

3.Г.И.Запорожец Руководство к решению задач по математическому

анализу.-М.: Высшая школа,1966.

4.В.А.Зорич Математический анализ.-М.: Наука, 1981.

5.А.П.Картышев, Б.Л.Рождественский Математический анализ.-М.:

Наука, 1984.

6.А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин Элементы теории функций и

функционального анализа.-М.: Наука, 1981.

7.Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа.-М.: Высшая школа,

1981.

8.А.Г.Моркович, А.С.Солодовников Математический анализ.-М.:

Высшая школа, 1990.

9.Н.С.Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисление. т.1.-

М.: Наука, 1978.

10.К.А.Рыбников История математики.-М.:Издательство Московского

университета, 1994.

11.В.М.Тихомиров Рассказы о максимумах и минимумах.-М.:Наука,

1986.

12.Г.М.Фихтенгольц Основы математического анализа. т.2.-М.:

Наука, 1968.

13.Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального

исчисления. т.1.-М.: Наука, 1969.

Страницы: 1, 2