Элементарные конформные отображения

Элементарные конформные отображения

ЕЛЕЦ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Тема: «Элементарные конфортные отображения»

Выполнила: студентка группы М-31

физико-математического факультета

Е.Г. Петренко

Научный руководитель:

О.А. Саввина

1998 г.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек [pic]и

[pic]. Если задан закон [pic], ставящий в соответствие каждому [pic] точку

(или точки) [pic], то говорят, что на множестве [pic]задана функция

комплексной переменной со значениями в множестве [pic]. Обозначают это

следующим образом: [pic]. (Часто говорят также, что [pic]отображает

множество [pic]в множество [pic].)

Задание функции [pic] эквивалентно заданию двух действительных функций

[pic] и тогда [pic] , где [pic], [pic]. Как и в обычном анализе, в теории

функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные

функции. Рассмотрим некоторые из них.

1. [pic] [pic] - линейная функция. Определена при всех [pic].

Отображает полную комплексную плоскость [pic]на полную комплексную

плоскость [pic] . Функция [pic]и обратная ей [pic]- однозначны. Функция

[pic]поворачивает плоскость [pic]на угол, равный [pic], растягивает

(сжимает) ее в [pic] раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на

величину [pic]. Непрерывна на всей комплексной плоскости.

2. [pic]. Определена на всей комплексной плоскости, причем [pic],

[pic]. Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки [pic]. Отображает

полную комплексную плоскость [pic]на полную комплексную плоскость [pic],

причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же

окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят

в точки, лежащие вне ее, и наоборот.

3. [pic] - показательная функция. По определению [pic], т.е. [pic],

[pic], [pic]. Из определения вытекают формулы Эйлера:

[pic] ; [pic]; [pic];

Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней.

[pic]периодична с периодом [pic]. Отображает каждую полосу, параллельную

оси [pic], шириной [pic] [pic]в плоскости [pic]в полную комплексную

плоскость [pic]. Из свойств [pic]отметим простейшие: [pic] , [pic]

4. [pic]- логарифмическая функция (натуральный логарифм). По

определению: [pic]. [pic]Выражение [pic] называется главным

значением [pic], так что [pic]. Определен для всех комплексных чисел, кроме

[pic]. [pic] - бесконечно-значная функция, обратная к [pic]. [pic], [pic]

5. [pic] [pic]- общая показательная функция. По определению, [pic].

Определена для всех [pic], ее главное значение [pic], бесконечно-значна.

6. Тригонометрические функции [pic];[pic];[pic];[pic] По определению,

[pic]; [pic];

[pic] ; [pic]

7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же

функциями действительной переменной, а именно:

[pic] , [pic]

Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

Задачи с решением.

1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: [pic],

[pic], [pic], [pic],

Решение. По определению, [pic],[pic], [pic]; если [pic], то очевидно,

[pic], [pic],

[pic], [pic], [pic]

[pic], [pic], [pic], [pic]

[pic], [pic], [pic], [pic]

Найти суммы:

1) [pic]

2) [pic]

Решение. Пусть: [pic], а

[pic]. Умножим вторую строчку на [pic],

сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим: [pic]

[pic]; Преобразуя, получим:

[pic], [pic]

3. Доказать, что: 1) [pic] 2)[pic]

3)[pic] 4)[pic]

Доказательство:

1) По определению, [pic]

2) [pic]

3) [pic] ; [pic]

Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного

аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций:

1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic];

Решение: [pic] и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:

[pic], [pic], [pic],

[pic]

Напомним, что [pic]

2) [pic]

[pic], [pic],

[pic]

3) [pic]

[pic] , [pic] ,

[pic] , [pic] .

Найти действительные и мнимые части следующих значений функций:

[pic] ; [pic] ; [pic]

Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:

[pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic];

[pic] ; [pic]

Вычислить: 1) [pic]; 3) [pic] ; 5) [pic];

2) [pic]; 4) [pic] ; 6) [pic] ;

Решение. По определению, [pic], [pic]

1)[pic], [pic], [pic],

[pic]

2) [pic], [pic], [pic],

[pic]

3) [pic], [pic], [pic], [pic]

4)[pic], [pic], [pic],

[pic]

5)[pic], [pic], [pic],

[pic]

6)[pic], [pic], [pic], [pic]

Найти все значения следующих степеней:

1) [pic]; 2) [pic] ; 3)[pic] ; 4)[pic];

Решение. Выражение [pic] для любых комплексных [pic] и [pic]определяются

формулой [pic]

1) [pic]

2)[pic]

3) [pic]

4) [pic].

8. Доказать следующие равенства:

1) [pic];

2) [pic];

3) [pic]

Доказательство: 1) [pic], если [pic], или [pic] , откуда [pic], или

[pic].

Решив это уравнение, получим [pic], т.е. [pic] и [pic]

2) [pic], если [pic], откуда [pic], или [pic], следовательно,

[pic], [pic]

3) [pic], если [pic], откуда [pic], или

[pic].

Отсюда [pic], следовательно, [pic]