Формула Шлетца

Формула Шлетца

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p1,p2).

А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r = {a,(e},

где а и(e соответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= ((e , d(e= W(e

(1),

причем формы Пфаффа ( и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного

аффинного пространства :

D ( = ((W , DW=W(W=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =(e + d(e + 1/2d2(e + 1/6d3(e

+... по отношению к вектору (е. Тогда (e* =e*(e. Из (1) получаем :e*

=1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом

относительной длины вектора (e* , близкого к (e , по отношению к (e.

Пусть R(p1,p2) – пространство всех пар (p1,p2) точек p1,p2 прямой А1.

Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора (е –

в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -(е.

Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно

вид: W+(=0, -W+(=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1,р2)

являются формы Пфаффа : W+( , -W+(.

Очевидно, что dim R(p1,p2)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является

дифференциалом относительной длины отрезка р1*р2*, близкого к р1р2,по

отношению к р1р2.

§ 2. Отображение f.

А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,(ej}.

Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют

соответственно вид :dp=Wjej ; d(ej= Wj k;

DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в

пространстве R(p1,p2):f:A2(R(p1,p2).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f

выполняется : rang f=2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1,p2). Тогда дифференциальные

уравнения отображения f запишутся в виде :

Q+W=(jWj ; Q-W=(jWj (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение

f-1: R(p1,p2)(A2 обратное к f.В указанных реперах дифференциальные

уравнения отображения f-1 имеют вид :

Wj=(j(Q+W)+(j(Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

(k(j+(k(j=(jk

(j(j=1

(j(j=1 (*)

(j(j=0

(j(j=0

Указанную пару {r;R} реперов пространств А1 и А2 будем называть репером

нулевого порядка отображения f.

§3.Фундаментальные геометрические объекты

отображения f.

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения

f.

D(?jWj-W-Q)=0,

получаем :

d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk

D(?jWj+W-Q)=0

получаем :

d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f

имеет вид :

Q+W=?jWj

Q-W=?jWj

d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk

d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWj

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1={?j,?j} является

геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим

объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение

системы (2) :

d?k^Wjk+?kdWjk+1\4(?j?k-?k?j)^Wk+1\4(?j?k-?k?j)dWk+d?jk^Wk+?jkdWk=0.

получим:

(d?jt-?ktWjk-?jkWtk+1\4(?k?jt-?k?jk)Wk+1\16?t?k(?j-?j)Wk)^Wt=0

d?k^Wjk+?kdWjk+1\4d(?j?k-?k?j)^Wk+1\4(?j?k-?k?j)dWk+d?jk^Wk+?jkdWk=0

получим:

(d?jt-?ktWjk-?jtWtk+1\4(?k?jt-?k?jt)Wk+1\16?t?k(?j-?j)Wk)^Wt=0

обозначим:

?j=d?j-?tWjt

?j=d?j-?tWjt

?jk=d?jk-?tkWkt-?jtWkt

?jk=d?tkWjt-?jtWkt

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения

f примет вид:

Q+W=?jWj

Q-W=?jWj

d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk

d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk

(4)

?jk=(1\4(???jk-???jk)+1\16?k??(?j-?j)+?jk?)W?

?jk=(1\4(???jk-???jk)+1\16?k??(?j-?j)+?jk?)W?

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2={?j,?j,?jk,?jk} образует

геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим

объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2)

приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР порядка р :

ГР={?j,?j,?j1j2,?j1j2,...,?j1j2...jp,?j1j2...jp}.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин

{?j},{?j} образует подобъекты геометрического объекта Г1. Будем называть их

основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для

каждой точки P две инвариантные прямые:

?jXj=1 ; ?jXj=1 (6)

не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что

прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {?j,?j}

являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из

координат основных ковекторов. Таким образом , величины {?j,?j}

охватываются объектом Г1.

Из (*) получаем:

d?j=-?kWkj-1\4(?j+?j)?tWt-?kt?k?tWt-?ktWt^?k?j

d?j=-?kWkj-?kt?k?jWt-?kt?k?jWt+1\4?t(?j+?j)Wt

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты,

охваченные объектом Г1. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v1=?jej (вектора v2=?jej) лежит на прямой

(6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым

(6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:

?jXj=0 , ?jXj = 0

(7).

Предположение 2. Основные векторы {?j} и {?j} параллельны прямым (6)

соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное

расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

?jXj=1

V2

V1 ?jXj=1

Система величин ?j=?j-?j образует ковектор: d?j=?kWjk+(?jk-?jk)Wk.

Определяемая им прямая ?jXj=0 (8) проходит через точку Р и точку

пересечения прямых (6).

Пусть W-однородное подмногообразие в R(p1,p2) содержащее элементы

(р1,р2) определяемое условием: (р1*,р2*)?W?p1*p2*=p1p2.

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W)

многообразия W при отображении f.

Доказательство:

] (p1*,p2*)?W и p1*=p1+dp1+1\2d2p1+... ,

p2*=p2+dp2+1\2d2p2+... .

Тогда в репере Г: p1*p2*=e p1p2, где e=1+2W+... является относительной

длиной отрезка р1*р2* по отношению к р1р2. Таким образом, (р1*р1*)?W?W=0.

Из (2) получим: W=?1Wj

Следовательно, (р1*р2*)?W равносильно ?jWj=0

(9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента (р1,р2)?R(p1p2) определяется функция h:

(p1*p2*)?h(p1p2)>e?R, так, что р1*р2*=е р1р2

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о.,

линия f-1(W) является линией уровня функции h. Заметим, что (9)

является дифференциальным уравнением линии f-1(W).

]W1,W2- одномерные многообразия в R(p1p2), содержащие элемент (р1р2) и

определяемые соответственно уравнениями:

(p1*,p2*)єW1?p2*=p2.

(p1*,p2*)єW2?p1*=p1.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу

многообразия W2 (многообразия W1) при отображении f.

Дифференциальные уравнения линии f-1(W1) и f-1(W2) имеют соответственно

вид:

?jWj=0

?jWj=0.

Пусть W0- одномерное подмногообразие в R(p1p2), содержащее (р1р2) и

определяемое условием: (p1*p2*)єW0?Q*=Q ,где Q*– середина отрезка р1*р2*.

Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Предложение 3. Прямая (?j+?j)X-j=0 (10) является касательной в точке Р к

прообразу f-1(W0) многообразия W0 при отображении f. Дифференциальное

уравнение линии f-1(W0) имеет вид: (?j+?j)Wj=0.

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f-1(W1), f-

1(W2), f-1(W), f-1(W0) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§5. Точечные отображения, индуцируемые

отображением f.

Рассмотрим отображения:

П1: (р1,р2)?R(p1,p2)>p1?A1 (5.1)

П2: (р1,р2)?R(p1,p2)>p2?A1 (5.2)

Отображение f: A2>R(p1,p2) порождает точечные отображения:

?1=П1?f: A2>A1 (5.3)

?2=П2?f: A2>A1 (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений ?1 и ?2

меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б). Подобъекты Г1,2={?j,?jk} и

Г2,2={?j,?jk} объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго

порядка отображений ?1 и ?2.

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет

соответственно вид:

x=1+?jXj+1/2?jkXjXk+1/4?y?kXjXk+<3>, (5.5)

y=-1+?jXj+1/2?jkXjXk+1/4?y?kXjXk+<3>, (5.6)

Введем системы величин:

?jk=?jk+1/4(?j?k+?k?j),

?jk=?jk+1/4(?j?k+?k?j)

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+?jXj+1/2?jkXjXk+<3> (5.7)

y=-1+?jXj+1/2?jkXjXk+<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А2, в котором выполняется:

?1 ?2 1 0

=

?1 ?2 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f

является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X1+1/2?jkXjXk+<3> (5.9),

y=-1+X2+1/2?jkXjXk+<3> (5.10).

§6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

Gjk=1/2(?j?k+?k?j)

Из (3.1) получим:

dGjk=1/2(d?j?k+?j?k+d?k?j+?kd?j)=1/2(?k?tWjt+1/4?j?k?tWt-

1\4?k?t?tWt+?k?jtWt+?j?tWkt+

+1/4?j?k?tWt-1/4?j?k?tWt-1/4?j?t?kWt+?j?ktWt+?k?tWjt+1/4?k?j?tWt-

1/4?k?t?jWt+

+?k?jtWt),

dGjk=1/2(?k?t+?k?t)Wjt+1/2(?j?t+?t?j)Wkt+GjktWt,

где Gjkt=1/2(?k?jt+?y?kt+?j?kt+?k?jt-1/2?j?k?t+1/2?j?k?t-

1/4?j?k?t+1/4?j?k?t+1/4?j?k?t-

-1/4?j?k?t) (6.3).

Таким образом, система величин {Gjk} образует двухвалентный тензор. Он

задает в А2 инвариантную метрику G:

dS2=GjkWjWk (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при

отображении f метрике dS2=?2-W2 (6.5) в R(p1,p2).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением GjkWjWk=0 или

?jWj?kWk=0 (6.6)

Предложение: Основные векторы V1 и V2 определяют асимптотические

направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар.

На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек

(x,U) и (y,U’) расстояние между ними определяется как двойное отношение

W=(xy,UU’)

Теорема: Метрика dS2=?2-W2 совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1,p2,p1+dp1,p2+dp2

Соответственно: 1,-1,1+?+W,-1+?-W.

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS2=?2-W2

Следствие: Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы

ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Гljk=1/2Gtl(Gtkj+Gjtk-Gjkt)

псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2={?j,?j,?jk,?jk}.

Он определяется формулой: Гljk=?j?jk+?l?jk-?l?t?k+?l?t?k.

§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

gjk=?j?k+?j?k (7.1)

Из (3.1) получаем:

dgjk=d?j?k+d?k?j+d?j?k+d?k?j=?k?tWjt+1/4?k?j?tWt-

1/4?j?t?jWt+?k?jtWt+?j?tWkt+

+1/4?j?k?tWt-1/4?j?t?kWt+?j?ktWt+?k?tWjt+1/4?k?j?tWt-

1/4?k?t?jWt+?k?jtWt+

+?j?tWkt+1/4?j?k?tWt-1/4?j?t?kWt+?j?ktWt.

dgjk=(?k?t+?k?t)Wjt+(?j?t+?j?t)Wkt+gjktWt, (7.2)

где gjkt=1/2?j?k?t-1/2?j?k?t-1/4?k?t?j-

1/4?j?t?k+1/4?j?k?t+1/4?j?k?t+?k?jt+?j?kt+

+?k?jt+?j?kt (7.3)

Таким образом, система величин {gjk} образует двухвалентный тензор. Он

задает в А2 инвариантную метрику g:

dS2=gjkWjWk (6’.4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6’.4) соответствует при

отображении f метрике:

dS2=2(?2+W2) (6’.5)

в R(p1,p2)

Из (6’.5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6’.6)

или (?jXj)2+(?jXj)2=1 (6’.7)

Из (6’.7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р

является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых,

параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности

полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.

V1

V2 рис.3.

Пусть gjk=?j?k+?j?k (6.8)

В силу (2.7) имеем:

gjtgtk=(?j?t+?j?t)(?t?k+?t?k)=?j?k+?j?k=?kj (6’.9)

Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к gjk. Как

известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле

ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора {?j} (вектора {?j}) соответствует в

метрике g полю основного ковектора {?j} (ковектора {?j}).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную

длину в метрике g.

Доказательство:

?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=1,

?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=1,

?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=0.

Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства (A2,gf).

В работе <2> был построен охват объекта

?jkl=1/2gtl(gtkj+gjtk-gjkt)

римановой связности ? фундаментальным объектом

Г2={?j,?j,?jk,?jk}

Он определяется формулой:

?jkl=?l?jk+?lMjk+Gjk(?l-?l)+1/2(?l+?l)(?j?k-?j?k),

где Gjk=1/2(?j?k+?k?j).

-----------------------

[pic]