Функция и ее свойства

Функция и ее свойства

Русская гимназия

КОНСПЕКТ

на тему:

Функция

Выполнил

ученик 10«Ф» класса Бурмистров Сергей

Руководитель

учитель Математики

Юлина О.А.

Нижний Новгород

1997 год

Функция и её свойства

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х

соответствует единственное значение у.

Переменная х- независимая переменная или аргумент.

Переменная у- зависимая переменная

Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая

переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые

принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения функции

выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции

выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2,

выполняется неравенство f(х1)<f(х2)

Убывающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется

неравенство f(х1)>f(х2)

Способы задания функции

- Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для

каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.

Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью

формулы у=f(x), где f(x)-некоторое выражение с переменной х. В таком

случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана

аналитически.

- На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом

способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в

таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются

таблица квадратов, таблица кубов.

Виды функций и их свойства

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое

число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси

абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к(0.

Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-

действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную

функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения- множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k(0

Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k/x- нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+() и на промежутке (-

(;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-(;0) и на

промежутке (0;+().

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x2

Свойства функции y=x2:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x2 - четная функция

3. На промежутке [0;+() функция возрастает

4. На промежутке (-(;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x3

Свойства функции y=x3:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x3 -нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой

y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства

рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства

рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом

случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2.

График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1

тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются»

к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом

случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3.

График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная

формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х,

свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом

случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и

функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x-2:

1. Функция определена при всех x(0

2. y=x-2 - четная функция

3. Функция убывает на (0;+() и возрастает на (-(;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=(х

Свойства функции y=(х:

1. Область определения - луч [0;+().

2. Функция y=(х - общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+().

10)Функция y=3(х

Свойства функции y=3(х:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. Функция y=3(х нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y=n(х

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция

y=(х. При нечетном n функция y=n(х обладает теми же свойствами, что и

функция y=3(х.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная

формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=xr:

1. Область определения- луч [0;+().

2. Функция общего вида

3. Функция возрастает на [0;+().

На рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен между

графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на промежутке [0;+().Подобный вид

имеет любой график функции вида y=xr, где r>1.

На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график

любой степенной функции y=xr , где 0<r<1

13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная

формулой y=x-r, где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x-r:

1. Обл. определения -промежуток (0;+()

2. Функция общего вида

3. Функция убывает на (0;+()

14)Обратная функция

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение

f(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция

f обратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на

промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее

существует обратная функция, причем обратная функция определена и

возрастает(убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к

функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию

симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая

функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию

y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной

функцией.