Геометрия в пространстве

Геометрия в пространстве

Введение.

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с

необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение

пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с

самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и

молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется

стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).

Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в

планиметрии- геометрии на плоскости - не нужно. Ведь если мы, например,

говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым

подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В

планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной и той же

единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело уже с

несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все известные

из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам, прямым,

расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо описывать

отдельно.

План.

I. Основные аксиомы стереометрии--------------- 4 II. Прямые,

плоскости, параллельность------------ 6

III. Изображение пространственных фигур------ 7 IV. Перпендикулярность.

Углы. Расстояния----- 12 V. Несколько задач на построение, воображение,

изображение и соображение------------------------ 17

I.Основные аксиомы стереометрии

Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще

одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения»

плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.

Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических

действий» новое, третье измерение:

. Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)

Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого

недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это

обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости:

. Через любые три точки проходит плоскость.

С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из

бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.

Аксиома пересечения плоскостей звучит так:

. Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть

прямая.

. (рис.2)

Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая

через них плоскость единственная.

Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные

плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по

которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само

нередко включается в аксиомы.

Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого

взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным,

потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут

пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются

планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того,

что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например,

аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только

одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже

распространяется на две точки пространства.

В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие:

прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой

плоскости.

Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости ? (рис. 3). Вне

плоскости ? есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В

соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно провести плоскость ?.

Она отлична от плоскости ?, так как содержит С и имеет с ? две общие точки.

Значит, ? пересекается с ? по прямой, которой, как и l, принадлежат А, В.

По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта линия

лежит в плоскости ?, что и требовалось доказать.

Путем несложных доказательств мы находим, что:

. На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.

II. Прямые, плоскости, параллельность.

Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в

новом определении:

две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной

плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из

излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через

две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению

параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности

параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают

главное свойство параллельных прямых в пространстве:

. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только

одну прямую параллельно данной.

Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое

транзитивностью параллельности:

. Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они

параллельны друг другу.

Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости

непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть

одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В

пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые —

если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они

скрещиваются.

На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD —

параллельны, а АВ и В№С№ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем

прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии.

Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем

выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ

параллельна C№D№, потому что обе они параллельны общей стороне CD

содержащих их квадратов.

В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для

плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не

имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том

случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы

теоремы о транзитивности:

. Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они

параллельны между собой.

. Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или

плоскости), то они параллельны друг другу.

Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности

прямой и плоскости:

. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой

прямой в этой плоскости.

А вот признак параллельности плоскостей:

. Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно

параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и

плоскости параллельны.

Часто используется и такая простая теорема:

. Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются

третьей, параллельны друг другу.

Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой

и плоскости следует, например, что прямая А№В№ параллельна плоскости АВСD

(так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные

грани куба, в частности А№В№С№D№ и ABCD, параллельны по признаку

параллельности плоскостей: прямые A№B№ и B№С№ в одной грани соответственно

параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример.

Плоскость, содержащая параллельные прямые AA№ и СС№, пересекают

параллельные плоскости АВСD и A№B№C№D№ по прямым АС и А№С№, значит, эти

прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В№С и А№D.

Следовательно, параллельные плоскости АВ№С и А№DC, пересекающие куб по

треугольникам.

III. Изображение пространственных фигур.

Есть такой афоризм «Геометрия — это искусство правильно

рассуждать на неправильном чертеже». Действительно, если вернуться к

изложенным выше рассуждениям, то окажется:

единственная польза, которую мы извлекли из сопровождавшего их рисунка

куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на объяснении обозначений.

С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на рис. 4, я, хотя,

очевидно, представленное на нём «нечто» не только не куб, но и не

многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена лишь часть правды.

Ведь прежде, чем «рассуждать» — излагать готовое доказательство, надо его

придумать. А для этого нужно ясно представлять себе заданную фигуру,

соотношения между её элементами. Выработать такое представление помогает

хороший чертёж. Более того, как мы увидим, в стереометрии удачный чертёж

может стать не просто иллюстрацией, а основой решения задачи.

Художник (вернее, художник-реалист) нарисует наш куб таким, каким мы

его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или центральной проекции. При

центральной проекции из точки О (центр проекции) на плоскость а

произвольная точка Х изображается точкой X', в которой а пересекается с

прямой ОХ (рис. 6). Центральная проекция сохраняет прямолинейное

расположение точек, но, как правило, переводит параллельные прямые в

пересекающиеся, не говоря уже о том, что изменяет расстояния и углы.

Изучение её свойств привело к появлению важного раздела геометрии (см.

статью «Проективная геометрия»).

Но в геометри-ческих чертежах исполь-зуется другая проекция. Можно

сказать, что она получается из централь-ной когда центр О уда-ляется в

бесконечность и прямые ОХ становятся параллельными.

Выберем плоскость а и пересекающую её прямую l. Проведём через точку Х

прямую, параллельную l. Точка X', в которой эта прямая встречается с а, и

есть параллельная проекция Х на плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7).

Проекция фигуры состоит из проекций всех её точек. В геометрии под

изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.

В частности, изображение прямой линии — это прямая линия или (в

исключительном случае, когда прямая параллельна направлению проекции)

точка. На изображении параллельные прямые так и остаются параллельными,

сохраняется здесь и отношение длин параллельных отрезков, хотя сами длины и

изменяются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку

основного свойства параллельной проекции:

. Если АВ =k CD, а A№,B№,C№ и D№- проекции точек A,B,C и D, то

A№B№= k C№D№.

Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство —

совпадение не только длин, но и направлений (рис. 7). Таким образом, если

задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и

изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX =

kAB на параллельной проекции и оригинале одинаков. Аналогично, по

изображениям трёх точек, не лежащих на одной прямой, однозначно

восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а

задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы

предопределяем изображения всех точек пространства.

В то же время изображением данной тройки точек, т. е. треугольника,

может служить треугольник любой заданной формы. В этом легко убедиться:

проведём через сторону Поданного треугольника ЛВС любую плоскость а,

построим в ней треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС

на ? вдоль прямой l = СС№ (рис. 8). Взяв в качестве А В С равнобедренный

прямоу-гольный треугольник и достроив его до квадрата ABCD, увидим, что в

параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в любой параллело-грамм.

Более того, можно доказать, что изображе-нием любой данной треу-гольной

пирамиды могуг быть любые четыре точки, не лежащие на одной прямой, вместе

с соединяющими их отрезками.

Правильно выбранное изображение помогает решать задачи. Найдём,

например, отношения, в которых треугольное сечение A№BD нашего куба (рис.

9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В№С№. Посмотрим

на куб со стороны бокового ребра ВВ№, а точнее говоря, спроектируем куб

вдоль прямой BD па плоскость АА№С№С. Понятно, что проекцией будет сам

прямоугольник АА№С№С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины

оснований (точки В и D совпадут;

рис. 9, б); рассматриваемое сечение превратится в отрезок (рис. 9, б), а

точки Р и Q станут серединами отрезков А1) и ВiCi. Очевидно, что на нашем

рисунке A№Q = 3PB, а значит, РМ: MQ = 1 : 3. В силу основного свойства

параллельной проекции, это равенство верно и в пространстве. Та же проекция

позволяет найти отношение между частями любого проведённого в кубе отрезка,

на которые он рассекается плоскостью A№BD: в частности, отрезок KQ, где К —

середина АВ. вновь делится ею в отношении 1 : 3, а диагональ АС, — в

отношении 1:2.

Ещё эффектнее решения планиметрических задач, которые получают, «выходя в

пространство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения

некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется

построить треугольник с вершинами на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС с общим

началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов

АОВ, ВОС к СОА точки Р, Q и R.

Это очень трудная задача. Но если мы догадаемся посмотреть на её

чертёж (рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками на

его гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение

сечения этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис 10, б;

кстати сказать, оно поясняет и основной прием построения сечений. Из

произвольной точки Е луча ОС проектируем данные точки R и Q на плоскость

ОАВ; получаем точки R№ и Q№. Плоскость искомого сечения пересекает

плоскость ОАВ по прямой МР. Дальнейшее очевидно.

IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.

До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными

геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам

достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства всех

их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность

изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте,

нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие

перпендикулярности, известное из планиметрии.

Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через

точку Р, то говорят , что данные прямая и плоскость перпендикулярны.

Например, ясно, что ребро АА№ нашего куба перпендикулярно основанию

АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой

прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно

того, что АА№ составляет прямые углы с двумя из них – АВ и АD: согласно

признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

. Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b,

то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.

Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают

l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны

параллельные им прямые, проходящие через произвольно взятую точку, в

частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно

сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой

лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:

. Через данную точку в пространстве можно провести одну и только

одну плоскость, перпендикулярную данной прямой, а также одну и

только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой

называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную

плоскость. Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно

ортогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной

проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно использовать при

решении задач о расстояниях и углах в пространстве.

Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень

простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):

. Наклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой

плоскости тогда, когда её проекция а№ на плоскость

перпендикулярна l.

Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не

перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равносильны тому,

что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.

Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC№

на основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх

перпендикулярах, и сама диагональ АС№ перпендикулярна BD. По такой же

причине перпендикулярны АС№ и А№В. Отсюда следует, что диагональ

перпендикулярна «треугольному сечению» A№BD.

В стереометрии помимо обычных плоских

углов приходится иметь дело ещё с тремя видами углов. Угол между скрещи-

вающимися прямыми, по определению, равен углу между пересекающимися

прямыми, которые им параллельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен

углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая

и плоскость перпендикулярны, его принимают равным 90°. Это наименьший из

углов между прямой а и любой прямой в плоскости а. Угол между

пересекающимися плоскостями измеряется углом между перпендикулярами,

проведёнными в этих плоскостях к линии их пересечения (рис. 13). Все

названные углы принимают значения в промежутке от 0 до 90°.

Найдём, например, угол между диагоналями А№В и В№С граней нашего куба

(рис. 14). Заменим прямую В№С на параллельную ей диагональ A№D

противоположной грани; искомый угол равен углу BA№D, т. е. 60° (треугольник

BA№D равносторонний). Угол между диагональю АС№ и основанием куба равен

углу САС№ между прл* мой ас№ и её проекцией АС на основание, т.е. arctg

(C№C/AC) = arctg (1/?2]. А угол между плоскостями BDA№ и BDC№ (рис. 14)

равен углу А№МС№, где М — середина BD, так как прямые МА№ и МС№ лежат в

этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное

вычисление даёт arccos (1/3)).

Расстоянием между двумя любыми фигурами называют наименьшую длину

отрезка, концы которого принадлежат данным фигурам. Значит, расстояние от

точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на

плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольного

треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями,

очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой

плоскости (рис. 15, а).

Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися

прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость ?, параллельную прямой b

(рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b№ прямой b

на ? и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ

перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к

прямым а и b. Его длина и равна расстоянию между нашими скрещивающимися

прямыми.

Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто

можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной

фигуры. На рис. 15 показаны .те интересные ортогональные проекции куба '„'

ребром длины и: прямоугольник размером

а * а?2 (проекция на диагональную плоскость АСС№А№ или, что то же, вдоль

диагонали BD основания): и правильный шестиугольник со стороной а?2/3

(проекция вдоль диагонали куба АС№; мы видели, что прямая АС№

перпендикулярна плоскости BDA№, а потому правильный треугольник BDA, со

стороной а?2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции

можно найти, например, угол между плоскостями BDA№ и BDC№ — он равен углу

между красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А расстояние

r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В№С равно расстоянию

на рис. 16, а от точки В до прямой В№С (В и B№C — изображения первой и

второй диагоналей соответственно). Подумайте почему. (Здесь важно, что

общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.) Легко найти,

что r= а/?3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между

прямыми BD и АС№ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС№

превращается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника — до

BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/?6.

Отметим интересное соотношение, связывающее площадь фигуры, площадь её

проекции и угол между плоскостями:

. Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади

S многоугольника, умноженной на cos ?, где ?- угол между его

плоскостью и плоскостью проекции:

Это очевидно для треугольника, одна из сторон которого совпадает с

линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой

многоугольник можно разбить на такие треугольники. Приближая криволинейные

фигуры многоу-гольниками, получим, что формула площади проекции справедлива

и для них.

V. Несколько задач на построение, вооброжение, изображение и соображение.

ЗАДАЧА 1.

По правилам черчения принято изображать пунктиром ребра многоугольника,

расположенные на его обратной стороне. Некоторый многоугольник спереди и

сверху выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на изображении

нет- значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит сбоку?

ЗАДАЧА 2.

Может ли рисунок 19 служить изображением многогранника с тремя

четырехугольными гранями и двумя треугольными?

ЗАДАЧА 3.

На рисунке 20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два

отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по рисунку

определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А если можно,

то как?

ОТВЕТЫ.

1.

2. Нет. Прямые AD, BE, CF должны пересекаться в одной точке.

3. Можно. Отрезки пересекаются (т.е. лежат в одной плоскости) тогда и

только тогда, когда либо точка пересечения синих прямых лежит на прямой АВ,

либо они параллельны.

-----------------------

.C

Рис. 2

l

Рис. 1

.

.

A

B

Рис. 3

?

?

Рис. 4

С

В

А

D

C№

Рис. 5

D№

A№

B№

а

б

Рис. 6

?

D№

D

C

B

B№

A

A№

C№

Рис. 7

l

Рис. 8

Рис. 9

B№(=D№) Q

Р(=К’) B(=D)

М

А

А№

С

С№

R№

E

M

Q№

R

Q

С

О

А

В

Р

R

Q

С

О

А

В

Р

Рис. 10

l

?

a

a№

Рис. 11

B№

A№

C№

D№

D

C

B

A

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

A

b

b№

a

?

а

б

б

B№

B

A№

D№

C

D

A(=C№)

а

r

B№(=D№)

B(=D)

A

C№

C

A№

Рис. 16

?

h

Рис. 17

Рис. 18

B

C

A

Рис. 19

F

D

?

Рис. 20

E

?

РЕФЕРАТ

на тему:

«Геометрия в пространстве».

ученик 9 «А» класса гимназии № 6

Гейко Денис.

__________________

ПОДГОТОВИЛ:

ПРОВЕРИЛ:

Ежегодная научная

пресс-конференция,

гимназия №6,

г. Хабаровск

2001 год.