Геометрия

Геометрия

-----------------------

БИЛЕТ 6 Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными

плоскостями, равны.

Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные

м/у параллельными плоскостями ( и (. Докажем, АВ=СD. Плоскость (,

проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями ( и

( по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC

противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м

Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.

Sп.п.=2(R(H+R)

БИЛЕТ 5 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их

пересечения параллельны.

Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные

плоскости ( и ( пересекаются с плоскостью (. Докажем, что а( ( b.

Эти прямые лежат в одной плоскости (() и не пересекаются. В самом деле,

если бы прямые а и b пересекались, то пл. ( и ( имели бы общ. точку, что

невозможно, т.к. (( ( (. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не

пересекаются, а( ( b.

2. Vпирамиды= 1/3*Sосн.*H

БИЛЕТ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они

не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно

параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Док-во: Рассмотрим

две плоскости ( и (. В

плоскости ( лежат

пересекающиеся в т.М

прямые a и b, а в ( -

- прямые а1 и b1,

причем а( ( а1 и b( ( b1.

Докажем, что плоскос.

-ти ( и ( не параллель

ны. Тогда они перес.

по прямой с. Мы получили, что

плоскость ( проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости (, и пересекает

плоскость ( по прямой с. Отсюда следует, что

а( ( с.

Но плоскость ( проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости (.

Поэтому b ( ( с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, ( ( с. Но

это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит

только одна прямая ( ( с.

Значит, наше допущение неверно и (( ( (. Ч.Т.Д.

- - - - - - - -

БИЛЕТ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость

называются параллельными, если они не имеют общих точек.

ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь

прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Док-во: Пусть (-плоскость,

а - не лежащая в ней прямая

и а1 - прямая в плоскости (,

параллельная прямой а.

Проведем плоскость (1 ч/з

прямые а и а1.

Она отлична от (,

т.к. прямая а не ле-

жит в плоскости (. Плоскости ( и (1

пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость (, то

точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые

а и а1 параллель-

ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость (, а значит, параллельна

плоскости (. Ч.Т.Д.

2. Vпараллелепипеда= Sосн.*H

БИЛЕТ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются

параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит

прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Док-во: проведем ч/з а и

М плоскость (, а ч/з М в

в плоскости ( прямую

b( ( a. Докажем, что b( ( a

единственна.

Допустим, что существует другая прямая b2( ( a, и

проходящая ч/з т.М. Через b2 и а можно провести

плоскость (2, которая проходит ч/з М и а, след-но,

по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА

ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она

совпадает с (. По аксиоме о параллельных

прямых b2 и а совпадают. Ч.Т.Д.

2. Vус.кон.=1/3*(H(R12+R1R2+R22)

БИЛЕТ 1 А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки

принадлежащие этой плоскости

и точки, не принадлежащие ей.

А2 Если две различные плоскости имеют общую

точку, то они пересекаются по прямой.

А3 Если две различные прямые имеют общую

точку, то ч/з них можно провести плоскость, и

притом только одну.

2. Sп.п.=Sбок.+Sосн.; Sбок.=Pосн.*A

БИЛЕТ 7 Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при

условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L.

10 Проекция прямой есть прямая.

20 Проекция отрезка есть отрезок.

30 Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки,

принадлеж.

одной прямой.

40 Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на

одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

Из св-ва 40 следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции

отрезка.

- - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 9 ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной

перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой

наклонной

Док-во: AH - перпенд.

к плоскости (, AM -

наклонная, а - прямая

проведенная в плоск.

( ч/з точку M перпенд

к проекцииHM

наклонной.

Рассмотрим плоск.

AMH. Прямая а(этой

плоскости, т.к. она (

к двум пересекающимся прямым

AH и MH. Отсюда след.

что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в

частности а(AM.

Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 8 Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости,

если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим

в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Sсеч.=2(RH

Sшар.сег.=2(RH

БИЛЕТ 11 ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они

параллельны.

Док-во: Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости (. Докажем,

что а((b.

Через какую-нибудь точку М прямой ( проведем прямую (1, параллельную прямой

(. Докажем, что прямая (1 совпадает с прямой (. Тем самым будет доказано,

что ((( (. Допустим, что прямые ( и (1 не совпадают. Тогда в плоскости (,

содержащей прямые ( и (1, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные

к прямой (, по которой пересекаются плоскости ( и (. Но это невозможно,

след-но, ((( (. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются

перпендикулярными, если угол м/у ними равен 900.

ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную

к др.

плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Док-во: Рассмотрим плоскости ( и ( такие, что плоскость ( проходит ч/з

прямую АВ, перпендикулярную к плоскости ( и пересекающуюся с ней в точке А.

Докажем, что (((. Плоскости ( и ( пересекаются по прямой АС, причем АВ(АС,

Т.к. по усл. АВ((, и, значит, прямая АВ( к любой прямой, лежащей в

плоскости (.

Проведем в плоскости ( прямую АD,(АС. Тогда (BAD - линейный угол

двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей ( и (. Но

(BAD=900 (т.к. AB((). След-но, угол м/у плоскостями ( и ( равен 900, т.е.

(((. Ч.Т.Д.

Sбок=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)

БИЛЕТ 10 ТЕОРЕМА: Если одна из двух параллельных прямых

перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой

плоскости.

Док-во: Рассмотрим две параллельные прямые а и а1 и плоскость (, такую, что

а((. Докажем, что и а1((.

Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости (.

Так как а((, то а(х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой

прямой, лежащей в плоскости (, т.е. а1((. Ч.Т.Д.

Vпаралл-да=abc=Sосн.*H

БИЛЕТ 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и

плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется

расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.

Sполн=Sбок+2Sосн ; Sбок=P*H(ребро)

БИЛЕТ 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к

основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.

ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению

периметра основания на высоту призмы.

Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых -

стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой

поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е.

равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h

за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его

периметр Р. Итак, Sбок=P*h. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 15 Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1,

расположен-

ных в плоскостях так, что отрезки AA1,BB1,CC1, и

DD1 параллельны.

Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и

четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается

ABCDA1..D1.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями,

их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами

параллелепипеда.

ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся

этой точкой пополам.

Док-во: Рассмотрим четырехугольник A1D1CB, диагонали которого являются

диагоналями параллелепипеда ABCDA1..D1. Т.к. A1D1(( BC и

A1D1=BC, то A1D1CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A1C и D1B

пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 18 Рассмотрим многоугольник A1A2..An

и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P

отрезками с вершинами многоугольника, получим n треуголь-

ников: PA1A2,PA2A3,...,PAnA1.

Многогранник, составленный из n-угольника A1A2..An и n треугольников,

называется пирамидой

Многоугольник A1A2..An называется основанием, а треугольники - боковыми

гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA1, PA2,

..., Pan - ее боковыми ребрами.

ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее,

отсекает подобную пирамиду.

Док-во: S-вершина пирамид

A - верш.основания и A1 -

точка пересечения секущей

плоскости с боковым ребр.

SA. Подвергнем пирамиду

преобразованию гомотетии

относительно вершины S с

коэф. гомотет. k=SA1/SA

При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з

точку A1, т.е. в секущую

плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть.

Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл

пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его

боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой

прямоугольники.

ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме

квадратов трех его измерений.

Док-во: Докажем,

что

AC12=AB2+AD2+AA12

Так как ребро CC1

перпендикулярно

к основанию ABCD,

то (ACC1-прямой.

Из прямоугольного

треугольника ACC1

по теореме Пифагора

получаем AC12=AC2+CC12.

Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2=AB2+AD2. Кроме того,

CC1=AA1.

След-но AC12=AB2+AD2+AA12 Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 16 ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и

равны.

Док-во: Докажем равенство граней ABB1A1 и DCC1D параллелепипеда ABCA1..D1.

Т.к. ABCD и ADD1A1 - параллелограммы, то AB((DC и AA1((DD1. Таким обр., две

пересекающиеся прямые AB и AA1 одной грани соответственно параллельны двум

прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск.

следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны.

Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда -

параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По той же причине стороны углов A1AB и

D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр.,

две смежные стороны и ( м/у ними паралл-ма ABB1A1 соотв.

равны двум смежным сторонам у ( м/у ними пар-ма DCC1D1, поэтому эти

параллелограммы равны

БИЛЕТ 22 ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади

основания на высоту.

Док-во: Рассмотрим конус

с объемом V. Произвольн.

сечение конуса плоскостью

перпендикулярной к оси Ox,

является кругом с центром

в т.M1 пересечения этой

плоскости с осью Ox.

Обозначим радиус этого

круга ч/з R1, а площадь

сечения ч/з S(x), где x-

- абсцисса точки M1. Из

подобия прямоугольных

треугольников OM1A1 и OMA следует, что

OM1/OM=R1/R, или x/h=R1/R, откуда R1=xR/h.

Так как S(x)=(R12, то S(x)=(R2x2/h2.

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:

Площадь S основания конуса равна (R2, поэтому

V=1/3Sh Ч.Т..Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 21 За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее

развертки.

Так как площадь прямоугольника ABB1A1 равна AA1*AB=2(rh, то для вычислений

площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается

формула Sбок=2(rh

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины

окружности основания на высоту цилиндра.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 20 ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на

высоту.

Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму

ABCA1B1C1 с объемом V и

высотой h. Проведем такую

высоту треугольника ABC

отрез.BD, которая разделяет

этот треуг. на два треуг.

Плоскость BB1D разделяет

данную призму на две приз.,

основаниями которых явл.

прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V1 и V2 этих призм

соответственно равны

Sabdh и Sbdch. V=V1+V2, т.е. V=Sabdh+Sbdch=

=(Sabd+Sbdc)h. Таким обр., V=Sabch

2) Докажем теорему для произвольной

призмы с высотой h и площ.

основания S. Такую призму

можно разбить на прямые

треуг. призмы с высотой h.

Выразим объем каждой приз.

по формуле (1) и сложим эти

объемы. Вынося за скобки

множитель h, получим в

скобках сумму площадей

оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким

образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 19 ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна

половине произведения периметра основания на апофему.

Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные

треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты

равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме

произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d

за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его

периметр. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -