Граничные условия общего вида

Граничные условия общего вида

План.

1. Сопряженный оператор.

2. Сопряженная однородная задача.

3. Условия разрешимости.

Сопряженный оператор.

Обозначим через [pic] дифференциальный оператор второго порядка, т.е.

[pic] (1)

где [pic] представляют собой непрерывные функции в промежутке [pic]. Если

[pic] и [pic]- дважды непрерывно дифференцируемые на [pic]функции, то

имеем:

[pic] (2)

Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям

дает:

[pic] (3)

Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в

правой части (3) через [pic], т.е. [pic] (4)

При этом соотношение (3) перепишется так:

[pic] (5)

Оператор [pic] называется сопряженным по отношению к оператору [pic].

Умножая соотношение (4) на [pic] и интегрируя полученный результат по

частям, по отношению к оператору [pic]. Таким образом, операторы [pic] и

[pic] взаимно сопряжены.

Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:

[pic](6)

будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:

[pic](7)

Если же [pic], то оператор [pic] и дифференциальное уравнение [pic]будем

называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу,

что [pic] тогда и только, когда:

[pic]

Таким образом, оператор [pic] будем самосопряженным тогда и только тогда,

когда [pic].

При этом:

[pic]

Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в

самосопряженную форму, умножив на функцию [pic].

Дифференцируя соотношение (5) по [pic], получаем так называемую формулу

Лагранжа:

[pic] (8)

Правая часть этой формулы может быть записана как:

[pic] (9)

где

[pic] [pic] [pic] (10)

Отметим, что:

[pic] и следовательно, матрица [pic]-невырожденная. Подстановка выражения

(9) в соотношение (8) дает:

[pic](11)

Сопряженная однородная задача.

Введем следующее невырожденное линейное преобразование [pic] в вектор

[pic]:

[pic][pic](12),

где

[pic] [pic]

Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным

множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном

ненулевом векторе [pic]две последние строки матрицы А можно выбрать так,

чтобы придать любые требуемые значения компонентам[pic]. Это замечание

используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных

условий. Поскольку [pic], мы можем обратить преобразование (12) и получить:

[pic].

При этом (11) можно переписать как:

[pic]

или

[pic] (13),

где [pic] (14)

Билинейная форма [pic] в соотношении (13) называется каноническим

представлением билинейной формы в правой части тождества (11).

Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в

соотношении (13)

[pic]и [pic]и получим:

[pic] (15)

Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны

равенствам:

[pic] (16)

[pic] (17)

С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:

[pic] (18)

При ненулевом векторе [pic] последние две строки матрицы А могут быть

выбраны так, чтобы компоненты [pic] и [pic] принимали любые требуемые

значения, лишь бы [pic] и [pic]не обращались в нуль одновременно. В

частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия [pic]. При этом

из соотношения (11) следует, что [pic]. Аналогичным образом, нижние строки

матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства [pic]. При этом из

соотношения (11) вытекает, что [pic]. Таким образом, задача, сопряженная

задаче [pic](19)

имеет вид:

[pic] (20)

где [pic] и [pic] связаны с компонентами [pic] вектора [pic] соотношением

(14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда,

когда [pic]и каждая из двух компонент [pic] и [pic] является линейной

комбинацией [pic] и [pic], т.е. [pic]пропорциональна [pic].

Один из определителей:

[pic]

матриц-блоков

[pic]

должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти

результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе,

предположим. что [pic]. Далее, выберем такие [pic]и [pic], чтобы строки

матрицы А были линейно независимы.

Например, положим [pic]и [pic].

При этом матрица А примет вид:

[pic] (21).

Из формулы (19) следует, что [pic].

Тогда

[pic] (22)

Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):

[pic]Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:

[pic] (22)

[pic] (23)

Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы

[pic] и чтобы каждая из компонент [pic] и [pic] являлась линейной

комбинацией [pic] и [pic]. Как указывалось выше, [pic] тогда и только

тогда, когда [pic]. При этом условия (21) и (20) принимают вид:

[pic] (24)

Разрешая равенства относительно [pic] и [pic] при [pic] и заменяя [pic] на

[pic], получаем:

[pic] (25)

Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда

и только тогда, когда:

[pic] (26)

Краевая задача при [pic] самосопряжена тогда и только тогда, когда

выполнены соотношения (24) и равенство [pic].

Условие разрешимости.

Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной

задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:

[pic] (27)

[pic],

тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:

[pic] (27)

Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем

связь [pic] и [pic] с вектором [pic], описываемую формулой (14а) т.е.:

[pic] (28)

При этом соотношение (27) принимает вид:

[pic]

Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-

либо два из граничных значений через два других.