Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных

рядов.

Для решения дифференциального уравнения:

(I.1)

где функции аi(t) (i=0,1,2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки

t0 с радиусами сходимости ri :

i=0,1,2

необходимо найти два линейно-независимых решения (1(t), (2(t). Такими

решениями будут, например, решения уравнения (I.1) с начальными условиями:

Решения (i будем искать в виде степенного ряда:

(I.2)

методом неопределенных коэффициентов.

Для решения воспользуемся теоремами.

Теорема 1: (об аналитическом решении)

Если p0(x), p1(x), p2(x) являются аналитическими функциями x в окрестности

точки x=x0 и p0(x)?0, то решения уравнения p0(x)y’’ + p1(x)y’ + p2(x)y = 0

также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же

точки и, значит, решения уравнения можно искать в виде: y=l0 + l1(x-x0) +

l2(x-x0)2 + … + ln(x-x0)n + …

Теорема 2: (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд)

Если уравнение (I.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но x=x0

является нулем конечного порядка S функции a0(x), нулем порядка S-1 или

выше функции a1(x) (если S>1) и нулем порядка не ниже S-2 коэффициента

a2(x) (если S>2), то существует, по крайней мере, одно нетривиальное

решение уравнения (I.1) в виде суммы обобщенного степенного ряда:

y= l0(x - x0)k + l1(x – x0)k+1 + … + ln(x-x0)k+n + …

где k- некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и

дробным, как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим уравнение:

(I.3)

a0(t) = t + 2 ; a1(t) = -1; a2(t) = -4t3; a0(t) ? 0 [pic]t

по теореме 2 хотя бы одно нетривиальное решение уравнения (I.3) может быть

найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда [pic](t) = [pic]cn(t-t0)n

возьмем t0 = 0, будем искать решение в виде [pic](t) = [pic] cntn

(I.4)

Опираясь на теорему 1 и, дифференцируя ряд (I.4) почленно два раза, получим

[pic] (t) = [pic]ncntn-1, [pic](t) = [pic]n(n-1)cntn-2

(2+t)( [pic]n(n-1)cntn-2) – ([pic]ncntn-1) – 4t3([pic] cntn)=0

Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:

t0 : 4c2 – c1=0 [pic] 4c2-c1-4c-3=0

t1 : [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic] [pic]

[pic]

рекуррентное соотношение имеет вид

[pic] [pic] n[pic] N, c-3=0, c-2=0, c-1=0 (I.5)

при n=0, [pic]

n=1, [pic]

n=2, c4=0

n=3, [pic]

n=m-2, [pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic]Итак, [pic]

Найдем радиусы сходимости R полученных решений, общим методом не

представляется возможным, поэтому на основании теоремы о существовании и

единственности решения.

[pic]

[pic]

[pic]

Которые имеют область сходимости (по формуле Даламбера):

а) [pic] [pic] [pic][pic]

б) [pic] [pic] [pic][pic]

Итак, область сходимости [pic]

I. Синтез управления с не более, чем с одним переключением в управляемой

системе второго порядка.

Необходимо рассмотреть линейную управляемую систему:

Требуется подобрать управление и( ), переводящее фазовую точку (х1,х2) из

заданного начального состояния в начало координат (0,0).

На выбор управления и( ) накладывается условие | и( )|=1 и и( ) имеет не

более одного переключения.

[pic] положение равновесия

[pic] [pic] Д=-7 [pic]фокус, т.к. [pic]<0, то фазовая кривая

закручивается.

III. Малые возмущения системы линейных уравнений

В этой задаче рассматривается система:

с действительными коэффициентами аij.

Необходимо исследовать фазовые кривые этой системы:

(1)

Сведем систему (1) к системе вида:

(2)

с помощью замены

[pic] (3)

Запишем систему (1) в виде

[pic], где [pic] (4)

Подставим [pic] в систему (4), а [pic] в систему (3), тогда получим:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] (5)

Найдем собственные значения матрицы А:

[pic],[pic]

Систему (2) можно записать в виде:

[pic], где [pic] (6)

Из системы (5) и (6) следует, что [pic] [pic]

Подберем матрицу С такую, что [pic] пусть [pic] и AC = CB [pic]

[pic][pic]=[pic][pic]

[pic]

[pic]

Решив эту систему, получим: a=-2, b=-1, c=1, d=0, т.е. [pic] и

[pic][pic] [pic]

Поставим матрицу С в замену:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Подставим полученные значения в систему (2):

[pic]

[pic][pic], где [pic]

[pic]

При [pic] получаем систему [pic]

Это уравнение малых колебаний маятника. По теореме о дифференцируемости по

параметру при малых ( решение (на конечном интервале времени) отличается

поправкой порядка ( от гармонических колебаний: [pic]

Следовательно, при достаточно малом ( = ((Т) фазовая точка остается вблизи

окружности радиуса А в течении интервала времени Т.

При [pic] фазовая кривая не обязательно замкнутая: она может иметь вид

спирали, у которой расстояние между соседними витками очень мало (порядка

(). Чтобы узнать, приближается ли фазовая кривая к началу координат или

уходит от него, рассмотрим приращение энергии [pic] за один оборот вокруг

начала координат. Нас интересует знак этого приращения: на раскручивающейся

спирали приращение положительное, на сжимающейся – отрицательное, а на

цикле равно 0. Выведем приближенную формулу: [pic]

Подставляя значения [pic] и [pic], получим:

[pic]

Для вычисления энергии за оборот следовало бы проинтегрировать эту функцию

вдоль витка фазовой траектории, которая неизвестна. Но виток близок к

окружности. Поэтому интеграл можно посчитать с точностью до O([pic]) по

окружности радиуса А.

Пусть [pic], тогда

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] для [pic] (при малых положительных значениях [pic]), поэтому фазовые

точки удаляются от центра, т.е. фазовая кривая раскручивается.

Вектор скорости кривой направлен по часовой стрелке, так как точка с

координатами (1,0) переходит в точку (0,-1)

[pic]

Так как detC>0, то при замене [pic] на [pic] ориентация системы координат

не изменилась.

Литература

1. Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных

уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7. §6. С.344-348.

2. Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:

Наука, 1969, Гл.2. §7.

3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф.

Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, Гл.1. §5.

4. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.:

Наука, 1969, Гл.1. §3.

5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974,

Гл.2. §16.

6. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975,

ГЛ.2. §12. С.73-78, 84-85.

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]