Интересные примеры в метрических пространствах

Интересные примеры в метрических пространствах

1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с

обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество

в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с

ребром (, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную [pic]-сеть в

исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого

куба.

1. Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не

вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:

е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),

е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),

…………………………,

еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),

………………………….

Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n(m) равно ((. Поэтому

последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся.

Отсюда в S не может быть конечной (-сети ни при каком (<(2/2.

2. Рассмотрим в l2 множество П точек

x=(x1, x2, (, xn, ...),

удовлетворяющих условиям:

| x1|(1, | x2|(1/2, (,| xn|(1/2n-1, ...

Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым

кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного

вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной

ограниченности поступим следующим образом.

Пусть (>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1<(/2. Каждой точке x=(x1,

x2, (, xn, ...)

из П сопоставим точку x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...)

из того же множества. При этом

((x,x*)([pic]([pic]<1/2n-1<(/2.

Множество П* точек вида x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...) из П вполне

ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в

П* конечную (/2-сеть. Она будет в то же время (-сетью во всем П. Докажем

это.

Доказательство: для ((((, выберем n так, что 1/2n-1<(/2.

(x(П: x=(x1, x2, (, xn, ...) сопоставим

x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...) и x*(П. При этом

((x,x*)<(/2. Из пространства П выберем x**:

((x*,x**)<(/2.

Тогда:

((x,x**)(((x,x*)+((x*,x**)<(/2+(/2=(.

Множество П* содержит точки вида

x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...), в этом

множестве выберем конечную (/2-сеть. Она будет (-сетью

в пространстве П, так как ((x,x**)<(.