Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

МОУ СОШ «УК №20»

Иррациональные

уравнения и неравенства

[pic]

реферат по алгебре

ученика 11 «В»

класса

Торосяна

Левона

Руководитель:

Олейникова Р. М.

Сочи 2002г.

Содержание.

I. Введение

II. Основные правила

III. Иррациональные уравнения:

. Решение иррациональных уравнений стандартного вида.

. Решение иррациональных уравнений смешанного вида.

. Решение сложных иррациональных уравнений.

IV. Иррациональные неравенства:

. Решение иррациональных неравенств стандартного вида.

. Решение нестандартных иррациональных неравенств.

. Решение иррациональных неравенств смешанного вида.

V. Вывод

VI. Список литературы

I. Введение

Я, Торосян Левон, ученик 11 «В» класса, выполнил реферат по теме:

«Иррациональные уравнения и неравенства».

Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение

иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания

вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не

рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают.

Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и

неравенств.

В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств

стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно

использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом

можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.

II. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под

знаком корня.

Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении

в четную степень возможно расширение области определения заданного

уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны

проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При

возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения

область определения не меняется.

Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь

следующим правилом:

[pic]

[pic]

[pic]

Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

а) Решить уравнение [pic] = x – 2,

Решение.

[pic] = x – 2,

2x – 1 = x2 – 4x + 4,

Проверка:

x2 – 6x + 5 = 0,

х = 5, [pic] = 5 – 2,

x1 = 5,

3 = 3

x2 = 1 – постор. корень

х = 1, [pic][pic]1 – 2 ,

Ответ: 5

пост. к. 1 [pic]-1.

б) Решить уравнение [pic] = х + 4,

Решение.

[pic] = х + 4,

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Ответ: -1

в) Решить уравнение х – 1 = [pic]

Решение.

х – 1 = [pic]

х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1,

х3 – 4х2 + 4х = 0,

х(х2 – 4х + 4) = 0,

х = 0 или х2 – 4х + 4 = 0,

(х – 2)2 = 0,

х = 2

Ответ: 0; 2.

г) Решить уравнение х – [pic] + 4 = 0,

Решение.

х – [pic] + 4 = 0,

х + 4 = [pic],

Проверка:

х2 + 8х + 16 = 25х – 50, х = 11,

11 – [pic] + 4 = 0,

х2 – 17х + 66 = 0,

0 = 0

х1 = 11,

х = 6, 6 – [pic] + 4 = 0,

х2 = 6.

0 = 0.

Ответ: 6; 11.

Решение иррациональных уравнений смешанного вида:

. Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:

а) Решить уравнение [pic] = [pic]

Решение.

[pic] = [pic], [pic] –

+

x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум

системам:

[pic] или [pic]

[pic][pic] [pic]

[pic]

[pic] [pic]

[pic]

[pic]

Ответ: [pic]

б) Решить уравнение [pic]

Решение.

[pic],[pic] [pic] –

+

x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум

системам:

[pic] или [pic]

[pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic] [pic]

Ответ: [pic].

. Иррациональные показательные уравнения:

а) Решить уравнение [pic]

Решение.

[pic] ОДЗ: [pic]

[pic]

Пусть [pic] = t, t > 0

[pic]

Сделаем обратную замену:

[pic] = 1/49, или [pic] = 7,

[pic] = [pic], [pic]

[pic]– (ур-ние не имеет решений) x = 3.

Ответ: 3

б) Решить уравнение [pic]

Решение.

Приведем все степени к одному основанию 2:

[pic]

[pic]данное уравнение равносильно уравнению:

[pic]

Ответ: 0,7

. Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:

Решить уравнение [pic]

Решение.

[pic] возведем обе части уравнения в квадрат

3x – 5 – 2[pic]

2x – 2 = 2[pic]

x –1 = [pic]

x[pic] Проверка:

x[pic] x = 3, [pic]

4x[pic]

1 = 1.

x = 1,75 [pic]

Ответ: 3.

. Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной

степени:

Решить уравнение [pic]

Решение.

[pic] возведем обе части уравнения в куб

[pic]

[pic] но [pic], значит:

[pic]

[pic] возведем обе части уравнения в куб

(25 + x)(3 – x) = 27,

[pic]

Ответ: –24; 2.

. Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:

а) Решить уравнение [pic]

Решение.

[pic]

Пусть [pic] = t, тогда [pic] = [pic], где t > 0

t – [pic]

[pic]

Сделаем обратную замену:

[pic]= 2, возведем обе части в квадрат

[pic] Проверка: x = 2,5 [pic]

Ответ: 2,5.

б) Решить уравнение [pic]

Решение.

[pic]

Пусть [pic] = t, значит [pic]= [pic], где t > 0

t[pic]+ t – 6 = 0,

[pic]

Сделаем обратную замену:

[pic] = 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень

x[pic] + 8 = 16,

Проверка:

x[pic] = 8, x =

2, [pic]

x = 2.

6 = 6

Ответ: 2.

в) Решить уравнение [pic]

Решение.

[pic]

[pic]

Пусть [pic] = t, где t > 0

[pic]

Сделаем обратную замену:

[pic] = 2, возведем обе части уравнения в квадрат

[pic] Проверка: [pic] [pic]

[pic] [pic],

[pic]

Ответ: –5; 2.

Решение сложных иррациональных уравнений:

. Иррациональное уравнение, содержащее двойную иррациональность:

Решить уравнение [pic]

Решение.

[pic] возведем обе части уравнения в куб

[pic]

[pic] возведем обе части уравнения в квадрат

[pic]

Пусть [pic] = t

t 2– 11t + 10 = 0,

[pic] [pic]

Сделаем обратную замену:

Проверка:

[pic]= 10, или [pic]= 1,

x = [pic], [pic]

x = [pic]-пост. корень [pic]

0 [pic] [pic]

Ответ: 1.

x = 1, [pic]

1 = 1

. Иррациональные логарифмические уравнения:

а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg[pic]

Решение.

lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg[pic],

lg(3[pic] = lg[pic],

Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Ответ: 32,75

б) Решить уравнение [pic]

Решение.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] [pic]

Ответ: [pic]; – 2; 3.

IV. Иррациональные неравенства

Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит

под знак корня (радикала).

Иррациональное неравенство вида [pic] равносильно системе неравенств:

[pic]

Иррациональное неравенство вида [pic] равносильно совокуп-ности двух

систем неравенств:

[pic] и [pic]

Решение иррациональных неравенств стандартного вида:

а) Решить неравенство [pic]

Решение.

[pic]

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic]

[pic] [pic]

[pic]

+ – +

Ответ: [1; 2).

1 3

x

б) Решить неравенство [pic]

Решение.

[pic]

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:

[pic] [pic]

[pic]

Ответ: [pic]

в) Решить неравенство [pic]

Решение.

[pic]

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic]

[pic] [pic]

Ответ: нет решений[pic]

Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:

а) Решить неравенство [pic]

Решение.

[pic]

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic]

Ответ: [pic]

б) Решить неравенство[pic]

Решение.

[pic]

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] [pic]

[pic]

Ответ: [pic]

. Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при

умножении и делении:

а) Решить неравенство [pic]

Решение.

[pic]

Учитывая то, что [pic][pic] и правило знаков при делении данное неравенство

равносильно системе неравенств:

[pic] [pic]

[pic]

Ответ: [pic]

б) Решить неравенство (2x – 5)[pic]

Решение.

(2x – 5)[pic]

Учитывая то, что [pic] и правило знаков при делении данное неравенство

равносильно системе неравенств:

[pic] [pic]

Ответ: [pic]

. Решение иррациональных неравенств способом группировки:

Решить неравенство [pic]

Решение.

[pic],

[pic] сгруппируем по два слагаемых

[pic]

[pic]

[pic] вынесем общий множитель за скобку

[pic] учитывая, что [pic]> 0 и правило знаков при

умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic] [pic]

Ответ: [pic] ( 0; 1 )

. Иррациональное неравенство, содержащее два знака

иррациональности:

Решить неравенство [pic]

Решение.

[pic]

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic]

[pic] [pic]

[pic]

Ответ: [pic]

. Решение иррациональных неравенств заменой:

Решить неравенство [pic]

Решение.

[pic]

Пусть [pic] = t, тогда [pic] = [pic], t > 0

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Сделаем обратную замену:

[pic]возведем в квадрат обе части неравенства

[pic]

[pic]

[pic]

Ответ: [pic]

Решение иррациональных неравенств смешанного вида:

. Иррациональные показательные неравенства:

а) Решить неравенство [pic]

Решение.

[pic],

[pic] т.к. y = 0,8t [pic], то

0,5x(x – 3) < 2,

0,5x2 – 1,5x – 2 < 0,

x2 – 3x – 4 < 0,

f(x) = x2 – 3x – 4,

ОДЗ[pic], +

– +

Нули функции: x1 = 4; x2 = – 1. –1

4 x

Ответ: х[pic]

б) Решить неравенство 4[pic]– 2[pic] < 2[pic]– 32

Решение.

4[pic]– 2[pic] < 2[pic]– 32, ОДЗ: x > 0

2[pic]– 2[pic][pic] 2 < 2[pic][pic] 24 – 25, выполним группировку

слагаемых

2[pic](2[pic]– 2) – 24(2[pic]–2) < 0,

(2[pic]– 2) [pic] (2[pic]– 24) < 0, учитывая правило знаков и ОДЗ

данное неравенство равносильно 2-м системам:

[pic] или [pic]

[pic]

[pic]т.к. y = 2t [pic], то [pic] т.к.

y = 2t [pic], то

[pic] [pic]

[pic] [pic]

Ответ: х[pic]

. Решение иррациональных логарифмических неравенств:

Решить неравенство [pic]

Решение.

[pic] уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] [pic]

Ответ: [pic]

V. Вывод

Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения и неравенства

следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля,

логарифмические, повышенного уровня.

Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и

из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника

задач по математике под редакцией М.И. Сканави.

Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ и

абитуриентам технических вузов.

[pic]

VI. Список литературы

1) Алгебра и начала анализа. Под редакцией

А.Н. Колмогорова

2) 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин,

В.П. Норин

3) Справочные материалы по математике. Авторы: В.А.

Гусев, А.Г. Мордкович

4) Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави

5) Справочный материал

-----------------------

[pic]

[pic]