Конспект по дискретной математики

Конспект по дискретной математики

Дискретная математика

Введение

Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач

переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных

структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению

средство формирования и организации…

Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных

формулировок.

В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе

дискретной математике 4 раздела:

1. Язык дискретной математики;

2. Логические функции и автоматы;

3. Теория алгоритмов;

4. Графы и дискретные экстремальные задачи.

Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В

настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка

алгоритмических языков программирования.

Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема

сложности вычислений.

Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при

решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно

сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.

Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом

ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.

Множества и операции над ними

Одно из основных понятий математики – множество.

Определение:

Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или

элементов.

Множество обозначают: M,N …..

m1, m2, mn – элементы множества.

Символика

A ( M – принадлежность элемента к множеству;

А ( М – непринадлежность элемента к множеству.

Примеры числовых множеств:

1,2,3,… множество натуральных чисел N;

…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.

[pic] множество рациональных чисел а.

I – множество иррациональных чисел.

R – множество действительных чисел.

K – множество комплексных чисел.

Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является

элементом В.

А ( В – А подмножество В (нестрогое включение)

Множества А и В равны, если их элементы совпадают.

A = B

Если А ( В и А ( В то А ( В (строгое включение).

Множества бывают конечные и бесконечные.

|М| - мощность множества (число его элементов).

Конечное множество имеет конечное количество элементов.

Пустое множество не содержит элементов: M = (.

Пример: пустое множество:

1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = (.

2) множество (, сумма углов которого ( 1800 пустое: M = (.

Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества,

то множество Е называется униварсельным.

Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные

книги, книги по математике, физики, физики …

Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств

= 2n.

Если [pic], состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется

дополненным.

Множество можно задать:

1) Списком элементов {a,b,c,d,e};

2) Интервалом 1<x<5;

3) Порождающей процедурой: xk=(k sinx=0;

Операции над множествами

1) Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из

элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В

называется объединенным.

А ( В

Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.

Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены

элементы множества.

Объединение двух множеств

Объединение системы множеств можно записать

[pic] - объединение системы n множеств.

Пример: объединение множеств, когда они

заданы списком.

A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}

2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из

элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.

A (B

Пересечение прямой и плоскости

1) если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка;

2) если прямые II пл., то M ((;

3) если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.

Пересечение системы множеств: [pic]

4) Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех

элементов А, не входящих в В.

С = А \ В

A \ B

А \ В

A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}.

В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;

2) не коммутативна, т.е. A\B (

B\A.

4) дополнение [pic]

E – универсальное множество.

[pic]-- дополнение

Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.

Основные законы операций над множествами.

Некоторые свойства (, ( похожи на алгебраические операции, однако многие

свойства операций над множествами все же отличаются.

Основные свойства

1) AUB=BUA; A(B=B(A – переместительный закон объединения и пересечения.

2) (АUB)UC = AU(BUC); (A(B)(C=A((B(C) – сочетательный закон.

3) АU(=A, A((=(, A \ (=A, A \ A=(

1,2,3 – есть аналог в алгебре.

3.а) ( \ A = ( - нет аналога.

4) [pic](; E \ A =[pic]; A \ E=(; AUA=A; A(A=A; AUE=E; A(E=A;

5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.

5) A((BUC)=(A(B)(A(C) – есть аналогичный распределительный закон (

относительно U.

Прямые произведения и функции

Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b),

таких, что а(А, b(B.

С=AхВ, если А=В то С=А2.

Прямыми «х» n множеств A1x,…,xAn называется множество векторов (a1,…an)

таких, что a1(A1,…, An(An.

Через теорию множеств введем понятие функции.

Подмножество F(Mx x My называется функцией, если для каждого элемента х(Mx

найдется y(Му не более одного.

(x;y)(F, y=F(x).

Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью

диаграммы Венна:

Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное

соответствие, если каждому х(MX соответствует 1 элемент y(MY и обратное

справедливо.

Пример: 1) (х,у) в круге

2) x = sinx

R( R [pic]

Пусть даны две функции f: A(B и g: B(C, то функция y:A(C называется

композицией функций f и g.

Y=f o g o – композиция.

Способы задания функций:

1) таблицы, определены для конечных множеств;

2) формула;

3) графики;

Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.

Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!

Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.

Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними

взаимнооднозначное соответствие.

Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество

всех подмножеств 2|A|=2n.

Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить

нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.

Множество N2 – счетно.

Доказательство

Разобьем N2 на классы

К 1-ому классу отнесем N1 (1; 1)

Ко 2-му классу N2 {(1;2), (2;1)}

К i-му классу Ni (a+b=i+1

Каждый класс будет содержать i пар.

Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса

упорядоченные по направлению первого элемента а.

Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества

N2.

Аналогично доказывается счетность множеств N3,…,Nk.

Теорема Кантора:

Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.

Доказательство

Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.

1-я 0, a11, a12 ….

2-я 0, а21, a22 ….

………………….

Возьмем произвольное число 0,b1,b2,b3

b1 ( a11, b2 ( a22, …

Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от

всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].

Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.

Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом

Кантора.

Отношение

Пусть дано R(Mn – n местное отношение на множество М.

Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в

отношении R, то записывается а R b.

Проведем отношение на множество N:

А) отношение ( выполняется для пар (7,9) (7,7_

Б) (9,7) не выполняется.

Пример отношения на множество R

А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат

выполняется для пар (3; 4) и (2; (21)

Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания

множеств.

Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.

Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица

отношения С равна

| | |1 |2 |3 |4 |

| | | | | | |

|С= | | | | | |

| |1 |1 |1 |1 |1 |

| |2 |0 |1 |1 |1 |

| |3 |0 |0 |1 |1 |

| |4 |0 |0 |0 |1 |

Отношение Е заданные единичной матрицей

называется отношением равенства.

Отношением назовется обратным к отношением R, если ajRai тогда и только

тогда, когда ajRai обозначают R-1.

Свойства отношений

1. Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали

единицу

если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное

главная диагональ содержит нули

Пр. отношнний

( рефлексивное

< антирефлексивное

2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице

отношения элементы

сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R –

антисимметричное.

Пр. Если а ( b и b ( a ==> a=b

3. Если дано ( a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое

транзитивным.

4. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно,

симметрично и транзитивно.

Пр. отношение равенства E

5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно

рефлексивно,

антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением

строгого порядка,

если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Пр. а) отношение ( u ( для чисел отношение нестрогого

б) отношение < u > для чисел отношение строгого

Лекция: Элементы общей алгебры

Р. Операции на множествах

Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций ( = {(1,…, (m},

т.е. система А = {М1;(1,…, (m} называется алгеброй. ( - сигнатура.

Если M1(M и если значения (( M1), т.е. замкнуто ==> A1={М1;(1,…, (m}

подалгебра A.

Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции

бинарные и

поэтому тип этой алгебры (2;2)

2. B=(Б;(;() – булева алгебра. тип операций (2;2;1)

Р. Свойства бинарных алгебраических операций

запись a(b.

1. (a(b)(c=a((b(c) – ассоциативная операция

Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно

2. a(b = b(a – коммутативная операция

Пр. +,x – коммутат.

–; : – некоммут.

умножение мат A(B ( B(A – некоммутативно.

3. a((b(c) = (a(b) ((a(c) –дистрибутивность слева

(a(b)(c) = (a(с) ((b(c) –дистрибутивность справа.

Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения

произведения справа

но не abc ( abac

Р. Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми

членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; (I) и B=(M; (I) –

одинакового типа.

Пусть отображение Г:K(M при условии Г((I)= (I(Г), (1) т.е. результат не

зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции

(I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала

отображение Г и затем отображение (I в В.

Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.

Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом.

В этом случае существует обратное отображение Г-1.

Мощности изоморфных алгебр равны.

Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1)

запишется как 2(а+b)=2а+2b.

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве

алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности.

Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре

А автоматически …. на изоморфные алгебры.

-----------------------

А

В

A

C

B

A

B

Объединение трех множеств:

AUB AUB

А

В

А

В

С

В

А

А

В

A

B

A \ B

а) взаимнооднозначное соответствеие (отображение)

а) не взаимнооднозначное соответствеие (отображение)

Мх

My

x=2 ( y=2

y=2 ( x=2..4

не взаимнооднозначное соответствие.

2

2 3 4

y

X

-(/2

(/2

1-ый элемент 1-го множества

1-ый элемент

2-го множества

}

1

1

С=

101

010

001