Контрольная по теории вероятности

Контрольная по теории вероятности

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ

Факультет заочного и послевузовского обучения

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

По дисциплине: "Теория вероятностей и элементы математической

статистики"

Воронеж 2004 г.

Вариант – 9.

Задача № 1.

№№ 1-20. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в

течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается

неисправным с вероятностью р1, второй – с вероятностью р2, третий – с

вероятностью р3. Найти вероятность того, что за время работы: а) все узлы

оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел стал

неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в

таблице).

p1=0,4 p2=0,6 p3=0,9

Решение:

Пусть событие А означает, что первый узел оказался неисправным, В

оказался неисправным второй узел и С – оказался неисправным третий узел,

тогда [pic] - первый узел был исправен в промежуток времени t, [pic] - был

исправен второй узел, [pic] - был исправен третий узел.

а) Пусть событие D означает, что все узлы оставались исправными,

тогда [pic]. Поэтому , учитывая независимость событий [pic], [pic] и [pic],

по теореме умножения вероятностей имеем:

[pic]

б) Пусть событие Е – все узлы вышли из строя, тогда:

[pic]

в) Пусть событие F – только один узел стал неисправным, тогда:

[pic]

События [pic] несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения

вероятностей несовместимых событий, получим:

[pic]

[pic]

[pic]

г) Пусть событие D1 – хотя бы один узел стал неисправным, тогда:

[pic]

[pic].

Задача № 2

№39. По линии связи могут быть переданы символы А, В, С. Вероятность

передачи символа А равна 0,5; символа В – 0,3; символа С – 0,2. Вероятности

искажения при передаче символов А, В, С равны соответственно 0,01; 0,03;

0,07. Установлено, что сигнал из двух символов принят без искажения. Чему

равна вероятность, что передавался сигнал АВ?

Решение:

Пусть событие А – передача символа А, событие В – передача символа В,

событие С – передача символа С, событие [pic] - искажение при передаче

символа А, событие [pic] и [pic] - искажения при передаче символов В и С

соответственно.

По условию вероятности этих событий равны:

[pic], [pic] [pic], [pic], [pic], [pic]

Если события [pic], [pic] и [pic] - искажения при передаче символов,

то события [pic], [pic] и [pic] - отсутствие искажений при передаче. Их

вероятности:

[pic]

Обозначим через D событие, состоящее в том, что были переданы два

символа без искажений.

Можно выдвинуть следующие гипотезы:

Н1 – переданы символы АА,

Н2 – символы АВ,

Н3 – символы ВА,

Н4 – символы АС,

Н5 – символы СА,

Н6 – символы ВВ,

Н7 – символы ВС,

Н8 – символы СВ,

Н9 – символы СС.

Вероятности этих гипотез:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Условные вероятности события D если имела место одна из гипотез

будут:

[pic]

[pic]

По формуле Бейеса вычислим условную вероятность [pic] с учетом

появления события Р:

[pic]

[pic]

Задача № 3

№№ 41-60. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях

событие появится: а) ровно k раз; б) не менее k раз; в) не более k раз; г)

хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность появления этого

события равна р (см. исходные данные в таблице).

|n=5 |k=4 |p=0,8 |

Решение:

Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомой

вероятности воспользуемся формулой Бернулли:

[pic], где

[pic]

число сочетаний из п элементов по k, q=1-p. В рассматриваемом случае:

а) вероятность появления события ровно 4 раза в 5 испытаниях:

[pic]

б) вероятность появления события не менее 4 раз в 5 испытаниях:

[pic]

в) вероятность появления события не более 4 раз в 5 испытаниях:

[pic]

г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях:

[pic]

Задача № 4

№№ 61-80. Дана плотность распределения f(x) случайной величины Х.

Найти параметр а, функцию распределения случайной величины, математическое

ожидание М[Х], дисперсию D[X], вероятность выполнения неравенства х1<x< x2,

построить график функции распределения F(x).

[pic]

Решение:

Для определения параметра а воспользуемся основным свойством

плотности распределения:

[pic], так как при [pic] плотность распределения равна нулю, то интеграл

примет вид: [pic] или [pic], откуда

[pic]; [pic]

Функция распределения связана с функцией плотности соотношением:

[pic]

Откуда получим: [pic]

Математическое ожидание [pic] и дисперсию [pic] определим по

формулам:

[pic]

[pic]

Вероятность выполнения неравенства <x< определим по

формуле: Р( <x< )=[pic]F( ) – F( )=

Задача №5

№№ 81-100. Найти вероятность попадания в заданный интервал [pic]

нормально распределенной случайной величины, если известны ее

математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение [pic] (см.

исходные данные в таблице).

|( = 10 |( = 22 | a = 8 |( = 6 |

Решение:

Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой:

[pic]

Здесь [pic] - функция Ломпаса, значения которой определяются по

таблице. Учитывая, что функция Ф(х) нечетная, получим:

[pic]