Курсовая работа по численным методам

Курсовая работа по численным методам

1. Методом Крылова развернуть характеристический определитель матрицы

А=[pic]. Исходную систему линейных уравнений решить методом Жордана-Гаусса.

Решение. Метод Крылова основан на свойстве квадратной матрицы

обращать в нуль свой характеристический многочлен.

Согласно теореме Гамильтона-Кали, всякая квадратная матрица является

корнем своего характеристического многочлена и, следовательно, обращает его

в нуль.

Пусть

[pic] – (1)

характеристический многочлен.

Заменяя в выражении (1) величину [pic] на [pic], получим

[pic]. (2)

Возьмем произвольный ненулевой вектор

[pic]. (3)

Умножим обе части выражения (2) на [pic]:

[pic] (4)

Положим

[pic], (5)

т.е.

[pic] (6)

Учитывая (5), выражение (4) запишем в виде

[pic], (7)

или в виде

[pic]

Решаем систему (7). Если эта система имеет единственное решение, то

ее корни [pic] являются коэффициентами характеристического многочлена (1).

Если известны коэффициенты [pic] и корни [pic] характеристического

многочлена, то метод Крылова дает возможность найти соответствующие

собственные векторы по следующей формуле:

[pic] (8)

Здесь [pic] – векторы, использованные при нахождении коэффициентов

[pic] методом Крылова, а коэффициенты [pic] определяются по схеме Горнера

[pic] (9)

Используя все выше сказанное, развернем характеристический

определитель матрицы А=[pic] методом Крылова.

Выберем в качестве начального следующий вектор:

[pic], [pic]

Вычислим

[pic][pic][pic]

Составим матричное уравнение

[pic], или [pic]

Полученную систему уравнений решим методом Жордана-Гаусса.

| |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

|1|9 |2 |0 |-72 |-61 |-61 |

| |-1 |1 |0 |-3 |-3 |-3 |

| |30 |5 |1 |-167 |-131 |-131 |

|2|1 |2/9 |0 |-8 |-61/9 |-61/9 |

|3|1 |0 |0 |-6 |-5 |-5 |

| |0 |1 |0 |-9 |-8 |-8 |

| |0 |1 |0 | | | |

| |0 |0 |1 | | | |

Исходя из результатов таблицы, имеем [pic].

Таким образом характеристическое уравнение матрицы [pic] имеет вид

[pic]

2. Для определения собственных чисел матрицы [pic] необходимо решить

полученное характеристическое уравнение третьей степени

[pic]

Данное кубическое уравнение невозможно решить стандартными

средствами. Воспользуемся для этой цели числовыми методами, а точнее

методами приближенного вычисления.

2.1 Исследование функции.

Вычислим первую и вторую производные данной функции

[pic]

[pic]

Необходимо выбрать интервал, на котором будем находить решение.

Для отделения корней существует несколько способов. Наиболее

популярные из них – графический и аналитический.

В литературе рассматриваются эти способы по отдельности. По заданию

курсовой работы требуется отделить корни каждым из этих способов. Рискну

нарушить это требование, и объединить эти два способа в один. То есть

исследовать функцию аналитически и по результатам исследования построить

приблизительный график функции.

Областью значений исходного уравнения является вся ось [pic].

Приравняв первую производную к нулю, мы можем получить критические

точки данной функции (точки минимумов и максимумов, или же точки, в которых

функция не определена).

[pic]

[pic]

[pic]

Стоит отметить, что для вычисления квадратного корня, также применимы

числовые методы, на которых и основаны микрокалькуляторы и программы для

ЭВМ. Данные методы основаны на логарифмировании корня и последующего

вычисления.

[pic]

[pic] вычисляется при помощи числового ряда

[pic]

Уравнение [pic] имеет решение [pic], [pic]. Изменив знак равенства на

знак неравенства (< или >), можем найти промежутки возрастания и убывания

функции.

Функция возрастает на промежутке [pic] и убывает на промежутке [pic].

Подставив в исходное уравнение значения критических точек, имеем в

результате для [pic] и для [pic].

Приравняв вторую производную к нулю, мы можем найти точку перегиба и,

соответственно, найти интервал, на котором функция выпуклая и вогнутая.

[pic]

[pic]

[pic]

Далее необходимо найти, интервалы, в которых график функции

пересекает ось [pic].

Сразу можно определиться, что так при [pic] значение функции больше

нуля, а при [pic] - меньше нуля, то одна из точек пересечения, будет лежать

на данном интервале. Произведя не хитрые математические вычисления значения

функции для [pic], сузим интервал до [pic].

Далее рассмотрим оставшиеся два интервала.

Известно, что при [pic] - значение функции отрицательно, а в первой

критической точке положительно, то будем сужать этот промежуток. В данном

случае применим метод половинного деления.

|[pic]|[pic] |

|0 |58 |

|-100 |-1059042 |

|-50 |-139492 |

|-25 |-19092 |

|-12 |-2426 |

|-6 |-320 |

|-3 |4 |

|-5 |-172 |

|-4 |-66 |

|[pic] |[pic] |

|4 |-10 |

|100 |939158 |

|50 |109608 |

|25 |11708 |

|12 |814 |

|6 |4 |

|5 |-12 |

Таким образом получили еще один интервал [pic].

Следующий будет от [pic] и до бесконечности.

Произведем аналогичные вычисления и получим промежуток [pic]

На основании произведенного анализа построим график исходной функции.

[pic]

2.2 Метод хорд.

Сразу необходимо заметить, что существуют два случая (варианта) при

решении методом хорд.

Случай первый. Первая и вторая производные функции имеют одинаковые

знаки, т.е. [pic].

В этом случае итерационный процесс осуществляем по формуле

[pic]

Случай второй. Первая и вторая производные функции имеют разные

знаки, т.е. [pic].

В этом случае итерационный процесс осуществляем по формуле

[pic]

Для оценки точности приближение можно воспользоваться формулой

[pic],

где [pic] при [pic], [pic] – точное значение корня.

Итак решим наше уравнение [pic] методом хорд с точностью [pic].

2.2.1 Интервал [pic].

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем

работать имеют различные знаки, то работаем по второму варианту.

Результаты вычисления приведены в таблице.

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

|-4,0000000 |-3,0000000 |-66,0000000 |4,0000000 |0,0740741 |

|-4,0000000 |-3,1142857 |-66,0000000 |-2,3688397 |0,0438674 |

|-4,0000000 |-3,0440850 |-66,0000000 |1,5901736 |0,0294477 |

|-4,0000000 |-3,0901012 |-66,0000000 |-0,9879693 |0,0182957 |

|-4,0000000 |-3,0610770 |-66,0000000 |0,6456578 |0,0119566 |

|-4,0000000 |-3,0798611 |-66,0000000 |-0,4086778 |0,0075681 |

|-4,0000000 |-3,0678974 |-66,0000000 |0,2640772 |0,0048903 |

|-4,0000000 |-3,0755972 |-66,0000000 |-0,1684077 |0,0031187 |

|-4,0000000 |-3,0706743 |-66,0000000 |0,1083107 |0,0020058 |

|-4,0000000 |-3,0738353 |-66,0000000 |-0,0692833 |0,0012830 |

|-4,0000000 |-3,0718112 |-66,0000000 |0,0444729 |0,0008236 |

|-4,0000000 |-3,0731096 |-66,0000000 |-0,0284836 |0,0005275 |

|-4,0000000 |-3,0722776 |-66,0000000 |0,0182690 |0,0003383 |

|-4,0000000 |-3,0728111 |-66,0000000 |-0,0117068 |0,0002168 |

|-4,0000000 |-3,0724692 |-66,0000000 |0,0075061 |0,0001390 |

|-4,0000000 |-3,0726884 |-66,0000000 |-0,0048109 |0,0000891 |

|-4,0000000 |-3,0725479 |-66,0000000 |0,0030843 |0,0000571 |

|-4,0000000 |-3,0726380 |-66,0000000 |-0,0019770 |0,0000366 |

[pic]

2.2.2 Интервал [pic].

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем

работать имеют различные знаки, то работаем по второму варианту.

Результаты вычисления приведены в таблице.

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

|3,0000000 |4,0000000 |4,0000000 |-10,0000000 |-0,2222222 |

|3,0000000 |3,2857143 |4,0000000 |-0,8746356 |-0,0485909 |

|3,0000000 |3,2344498 |4,0000000 |-0,0423087 |-0,0023505 |

|3,0000000 |3,2319959 |4,0000000 |-0,0019734 |-0,0001096 |

|3,0000000 |3,2318815 |4,0000000 |-0,0000919 |-0,0000051 |

[pic]

2.2.3 Интервал [pic].

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем

работать имеют одинаковые знаки, то работаем по первому варианту.

Результаты вычисления приведены в таблице.

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

|5,0000000 |6,0000000 |-12,0000000 |4,0000000 |0,6666667 |

|5,7500000 |6,0000000 |-2,0156250 |4,0000000 |0,3359375 |

|5,8337662 |6,0000000 |-0,1613014 |4,0000000 |0,0268836 |

|5,8402098 |6,0000000 |-0,0120198 |4,0000000 |0,0020033 |

|5,8406885 |6,0000000 |-0,0008909 |4,0000000 |0,0001485 |

|5,8407240 |6,0000000 |-0,0000660 |4,0000000 |0,0000110 |

[pic]

Итак, корнями уравнения [pic] будут [pic], [pic], [pic].

2.3 Метод касательных (метод Ньютона).

В век повальной компьютеризации не есть хорошо считать при помощи

логарифмической линейки. Поэтому, разработаем алгоритм и прикладную

программу для решения кубических уравнений методом Ньютона.

Ниже приведена блок-схема алгоритма и листинг программы, реализующей

данный алгоритм на языке С++. Также привожу текст, которая выдает данная

программа при решении исходного уравнения.

[pic]

//метод Ньютона длЯ решениЯ кубических уравнений

#include<math.h>

#include<iostream.h>

double a[4]={0},

b[3]={0},

c[2]={0},

prec=0.00000;

double minim=0, maxim=0;

void Hello(void);

void Input();

void Derivative();

void Calculation();

double Calc_Fun(double);

double Calc_First(double);

double Calc_Second(double);

main(void)

{

Hello();

Input();

Derivative();

Calculation();

return 0;

}

void Hello(void)

{

cout<<"Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных

(метод Ньютона).\n\n";

}

void Input()

{

cout<<"Кубическое уравнение имеет вид"<<endl

<<"a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0"<<endl<<endl;

for (int i=0;i<4;i++)

{

cout<<"Введите значение коэффициента a["<<i+1<<"] : ";

cin>>a[i];

}

cout<<endl<<"Необходимо указать интервал поиска решениЯ."<<endl

<<"Введите нижнюю границу поиска : ";

cin>>minim;

cout<<"Введите верхнюю границу поиска : ";

cin>>maxim;

while(minim==maxim||minim>maxim)

{

cout<<"\nНижнЯЯ граница должна быть меньше верхней и не может

быть ей равна."<<endl

<<"Повторите ввод нижней границы : ";

cin>>minim;

cout<<"Повторите ввод верхней границы : ";

cin>>maxim;

}

cout<<"Введите допустимую погрешность : ";

cin>>prec;

}

void Derivative()

{

b[0]=a[0]*3;

b[1]=a[1]*2;

b[2]=a[2];

c[0]=b[0]*2;

c[1]=b[1];

cout<<"\n\n\n"

<<"Исходное уравнение имеет вид : \n\n"

<<a[0]<<"x^3+("<<a[1]<<")x^2+("<<a[2]<<")x+("<<a[3]<<")=0\n\n"

<<"ПерваЯ производнаЯ имеет вид : \n\n"

<<"f'(x)="<<b[0]<<"x^2+("<<b[1]<<")x+("<<b[2]<<")\n\n"

<<"ВтораЯ производнаЯ имеет вид : \n\n"

<<"f''(x)="<<c[0]<<"x+("<<c[1]<<")\n\n";

}

void Calculation()

/m

double Calc_Fun(double x)

{

return (a[0]*x*x*x+a[1]*x*x+a[2]*x+a[3]);

}

double Calc_First(double x)

{

return (b[0]*x*x+b[1]*x+b[2]);

}

double Calc_Second(double x)

{

return (c[0]*x+c[1]);

}

Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных (метод

Ньютона).

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решениЯ.

Введите нижнюю границу поиска : -4

Введите верхнюю границу поиска : -3

Введите допустимую погрешность : 0.00005

Исходное уравнение имеет вид :

1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0

ПерваЯ производнаЯ имеет вид :

f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)

ВтораЯ производнаЯ имеет вид :

f''(x)=6x+(-12)

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |

-------------------------------------------------

| -4| -66| 1.222222222|

| -3.24137931| -9.922506048| 0.183750112|

| -3.079817529| -0.40621762| 0.007522548518|

| -3.07261683|-0.000789793230|1.462580056e-05|

-------------------------------------------------

Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных (метод

Ньютона).

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решениЯ.

Введите нижнюю границу поиска : 3

Введите верхнюю границу поиска : 4

Введите допустимую погрешность : 0.00005

Исходное уравнение имеет вид :

1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0

ПерваЯ производнаЯ имеет вид :

f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)

ВтораЯ производнаЯ имеет вид :

f''(x)=6x+(-12)

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |

-------------------------------------------------

| 3| 4| 0.4444444444|

| 3.222222222| 0.159122085| 0.01768023167|

| 3.231855174| 0.000341137633|3.790418145e-05|

-------------------------------------------------

Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных (метод

Ньютона).

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решениЯ.

Введите нижнюю границу поиска : 5

Введите верхнюю границу поиска : 6

Введите допустимую погрешность : 0.00005

Исходное уравнение имеет вид :

1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0

ПерваЯ производнаЯ имеет вид :

f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)

ВтораЯ производнаЯ имеет вид :

f''(x)=6x+(-12)

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |

-------------------------------------------------

| 6| 4| 0.6666666667|

| 5.851851852| 0.2601229487| 0.04335382479|

| 5.840787634| 0.001413241032| 0.000235540172|

| 5.840726862|4.255405933e-08|7.092343222e-09|

-------------------------------------------------

2.4 Метод итераций. Как и для предыдущего метода, привожу блок-схему

алгоритма решения и листинг программы, реализующей этот алгоритм на языке

программирования С++.

[pic]

//метод итераций длЯ решениЯ кубических уравнений

#include<math.h>

#include<iostream.h>

double a[4]={0},

b[3]={0},

prec=0.00000;

double minim=0, maxim=0;

void Hello(void);

void Input();

void Derivative();

void Calculation();

double Calc_Fun(double);

double Calc_First(double);

main(void)

{

Hello();

Input();

Derivative();

Calculation();

return 0;

}

void Hello(void)

{

cout<<"Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом

итераций.\n\n";

}

void Input()

{

cout<<"Кубическое уравнение имеет вид"<<endl

<<"a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0"<<endl<<endl;

for (int i=0;i<4;i++)

{

cout<<"Введите значение коэффициента a["<<i+1<<"] : ";

cin>>a[i];

}

cout<<endl<<"Необходимо указать интервал поиска решениЯ."<<endl

<<"Введите нижнюю границу поиска : ";

cin>>minim;

cout<<"Введите верхнюю границу поиска : ";

cin>>maxim;

while(minim==maxim||minim>maxim)

{

cout<<"\nНижнЯЯ граница должна быть меньше верхней и не может быть ей

равна." <<endl

<<"Повторите ввод нижней границы : ";

cin>>minim;

cout<<"Повторите ввод верхней границы : ";

cin>>maxim;

}

cout<<"Введите допустимую погрешность : ";

cin>>prec;

}

void Derivative()

{

b[0]=a[0]*3;

b[1]=a[1]*2;

b[2]=a[2];

}

void Calculation()

{

double x=0, x_old=0, m=0;

cout<<"-------------------------------------------------"<<endl

<<"| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |"<<endl

<<"-------------------------------------------------"<<endl;

if(fabs(Calc_First(minim))>fabs(Calc_First(maxim))) m=x=x_old=minim;

else m=x=x_old=maxim;

m=fabs(1/Calc_First(m));

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<x;

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<Calc_Fun(x);

cout<<"| |\n";

if(Calc_First(x)>0)

{

do

\n";

while(( fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) ) )>prec);

}

else

{

do

cout.width(15);cout.precision(10);

while(( fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) ) )>prec);

}

cout<<"-------------------------------------------------";

}

double Calc_Fun(double x)

{

return (a[0]*x*x*x+a[1]*x*x+a[2]*x+a[3]);

}

double Calc_First(double x)

{

return (b[0]*x*x+b[1]*x+b[2]);

}

Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом итераций.

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решениЯ.

Введите нижнюю границу поиска : -4

Введите верхнюю границу поиска : -3

Введите допустимую погрешность : 0.00005

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |

-------------------------------------------------

| -4| -66| |

| -3.24137931| -9.922506048| 56.07749395|

| -3.127327517| -3.12093462| 6.801571427|

| -3.091454705| -1.064778438| 2.056156183|

| -3.079215872| -0.372281515| 0.6924969227|

| -3.074936774| -0.131239433| 0.241042082|

| -3.073428275| -0.04639844126| 0.08484099175|

| -3.07289496| -0.01642029825| 0.02997814301|

| -3.072706221|-0.005813178631| 0.01060711962|

| -3.072639403|-0.002058264249| 0.003754914382|

| -3.072615744|-0.000728799396| 0.001329464852|

| -3.072607367|-0.000258060628|0.0004707387678|

| -3.072604401|-9.137721784e-0|0.0001666834108|

| -3.072603351|-3.235601088e-0|5.902120696e-05|

| -3.072602979|-1.145703711e-0|2.089897377e-05|

-------------------------------------------------

Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом итераций.

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решениЯ.

Введите нижнюю границу поиска : 3

Введите верхнюю границу поиска : 4

Введите допустимую погрешность : 0.00005

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |

-------------------------------------------------

| 3| 4| |

| 3.222222222| 0.159122085| 3.840877915|

| 3.231062338| 0.01338370012| 0.1457383849|

| 3.231805877| 0.001151957391| 0.01223174272|

| 3.231869875|9.934183961e-05| 0.001052615552|

| 3.231875394|8.568402322e-06|9.077343728e-05|

| 3.23187587|7.390497921e-07| 7.82935253e-06|

-------------------------------------------------

Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом итераций.

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решениЯ.

Введите нижнюю границу поиска : 5

Введите верхнюю границу поиска : 6

Введите допустимую погрешность : 0.00005

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |

-------------------------------------------------

| 6| 4| |

| 5.851851852| 0.2601229487| 3.739877051|

| 5.842217669| 0.0346921878| 0.2254307609|

| 5.840932773| 0.004788677115| 0.02990351069|

| 5.840755414|0.0006639855431| 0.004124691572|

| 5.840730822|9.212373716e-05|0.0005718618059|

| 5.84072741|1.278267885e-05|7.934105832e-05|

| 5.840726937|1.773688694e-06|1.100899016e-05|

-------------------------------------------------

Решив уравнение [pic], получили корень [pic]

|Метод |Корень № 1 |Корень № 2 |Корень № 3 |

|Хорд |-3,072638 |3,231881 |5,840724 |

|Касательных (Ньютона) |-3,072616 |3,231855 |5,840726 |

|Итераций |-3,072602 |3,231875 |5,840726 |

Для дальнейших расчетов будем использовать среднее арифметическое

значение полученных корней.

[pic]

[pic]

[pic]

3. Используя полученные значения, определим собственные значения исходной

матрицы.

Собственные вектора матрицы А=[pic] определим по формуле

[pic]

Для нашей матрицы, данная формула примет следующий вид

[pic]

Коэффициенты [pic] определяются по схеме Горнера:

[pic]

Для [pic] имеем:

[pic]

[pic]

[pic]

Для [pic] имеем:

[pic]

[pic]

[pic]

Для [pic] имеем:

[pic]

[pic]

[pic]

Далее можем найти собственные векторы:

[pic]

[pic]

[pic]

4. Для контроля полученных значений, развернем исходную матрицу А=[pic], и

определим ее собственные векторы методом непосредственного развертывания.

Характеристический многочлен для данной матрицы имеет вид:

[pic].

Находим [pic].

Число диагональных миноров второго порядка у матрицы второго порядка [pic].

Выписываем эти миноры и складываем их:

[pic].

И, в заключение, находим

[pic]

Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид

[pic]

Данное уравнение идентично уравнению, полученному при помощи метода

Крылова. Нет смысла заново его решать. Воспользуемся уже вычисленными

корнями (их средним значением).

Определим собственный вектор [pic], соответствующий [pic].

[pic], или

[pic]

Из третьего уравнения системы выведем [pic] и подставим его в первое

уравнение системы

[pic]

[pic]

Примем [pic], тогда [pic] и [pic].

Итак, искомый вектор матрицы [pic], найденный с точностью до

постоянного множителя [pic], для собственного значения матрицы [pic] будет:

[pic]

При помощи метода Крылова, мы получили точное значение собственного

вектора [pic].

Мы можем проверить наши вычисления, взяв [pic]:

[pic]

Как видно, мы получил идентичный, до третьего знака, результат.

Определим собственный вектор [pic], соответствующий [pic].

[pic], или

[pic]

Из третьего уравнения системы выведем [pic] и подставим его в первое

уравнение системы

[pic]

[pic]

Примем [pic], тогда [pic] и [pic].

Итак, искомый вектор матрицы [pic], найденный с точностью до

постоянного множителя [pic], для собственного значения матрицы [pic] будет:

[pic]

При помощи метода Крылова, мы получили точное значение собственного

вектора [pic].

Мы можем проверить наши вычисления, взяв [pic]:

[pic]

Как видно, мы получил идентичный, до третьего знака, результат.

Определим собственный вектор [pic], соответствующий [pic].

[pic], или

[pic]

Из третьего уравнения системы выведем [pic] и подставим его в первое

уравнение системы

[pic]

[pic]

Примем [pic], тогда [pic] и [pic].

Итак, искомый вектор матрицы [pic], найденный с точностью до

постоянного множителя [pic], для собственного значения матрицы [pic] будет:

[pic]

При помощи метода Крылова, мы получили точное значение собственного

вектора [pic].

Мы можем проверить наши вычисления, взяв [pic]:

[pic]

Как видно, мы получил идентичный, до третьего знака, результат.