Лекции по Линейной алгебре

Лекции по Линейной алгебре

Абстрактная теория групп

1. Понятие абстрактной группы.

1.Понятие алгебраической операции.

Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция

((), если каждой упорядоченной паре элементов [pic] поставлен в

соответствие некоторый элемент [pic] называемый их произведением.

Примеры.

1. Композиция перемещений на множествах [pic] является алгебраической

операцией.

2. Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве

[pic] всех подстановок степени n.

3. Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания

и умножения на множествах [pic] соответственно целых, вещественных и

комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на

этих множествах, поскольку частное [pic] не определено при [pic]. Однако

на множествах [pic], [pic] это будет алгебраическая операция.

4. Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве [pic].

5. Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве

[pic].

6. Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех

квадратных матриц данного порядка.

2.Свойства алгебраических операций.

1. Операция (*) называется ассоциативной, если [pic].

Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением

операций вычитания ( и деления) и операции векторного умножения векторов.

Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого

конечного множества элементов. Например, если [pic], [pic]. В частности

можно определить степени с натуральным показателем: [pic]. При этом имеют

место обычные законы: [pic], [pic].

2. Операция (*) называется коммутативной, если [pic]

В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не

коммутативна в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции

[pic]

3. Элемент [pic] называется нейтральным для алгебраической операции (*) на

множестве X, если [pic]. В примерах 1-6 нейтральными элементами будут

соответственно тождественное перемещение, тождественная перестановка,

числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания

нейтральный элемент отсутствует !), нулевой вектор, единичная матрица.

Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует.

Отметим, что нейтральный элемент (если

он существует) определен однозначно. В самом деле, если [pic] -

нейтральные элементы, то [pic]. Наличие нейтрального элемента позволяет

определить степень с нулевым показателем: [pic].

4. Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент.

Элемент [pic] называется обратным для элемента [pic], если [pic].

Отметим, что по определению [pic]. Все перемещения обратимы также как и

все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а

относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля. Обратимые матрицы

- это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если элемент x

обратим, то определены степени с отрицательным показателем: [pic].

Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент [pic] также обратим

и [pic]. (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в

обратном порядке!).

Определение (абстрактной) группы.

Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G ,*)

называется группой, если

1. Операция (*) ассоциативна на G.

2. Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы).

3. Каждый элемент из G обратим.

Примеры групп.

1. Любая группа преобразований.

2. (Z, +), (R, +), (C, +).

3. [pic]

4. Матричные группы: [pic]- невырожденные квадратные матрицы порядка n,

ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные матрицы с

определителем 1.

5. Простейшие свойства групп.

6. В любой группе выполняется закон сокращения: [pic](левый закон

сокращения; аналогично, имеет место и правый закон).

Доказательство.

Домножим равенство слева на

[pic] и воспользуемся свойством ассоциативности: [pic] [pic] [pic].

7. Признак нейтрального элемента: [pic]

Доказательство

Применим к равенству [pic] закон

сокращения.

8. Признак обратного элемента: [pic] Доказательство

Применим закон сокращения к равенству [pic].

9. Единственность обратного элемента. Обратный элемент определен

однозначно.

Следует из п.3.

10. Существование обратной операции. Для любых двух элементов

[pic]произвольной группы G уравнение [pic] имеет и притом единственное

решение.

Доказательство

Непосредственно проверяется, что [pic](левое частное элементов [pic])

является решением указанного уравнения. Единственность вытекает из закона

сокращения, примененного к равенству [pic]. Аналогично

устанавливается существование и единственность правого частного.

11. Изоморфизм групп.

Определение.

Отображение [pic] двух групп G и K называется изоморфизмом , если

1.Отображение ( взаимно однозначно.

2.Отображение ( сохраняет операцию: [pic].

Поскольку отображение обратное к ( также является изоморфизмом, введенное

понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются

изоморфными.

Примеры.

1.Группы поворотов плоскости [pic] и [pic]вокруг точек [pic] и

[pic]изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы,

состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.

2.Группа диэдра [pic] и соответствующая пространственная группа [pic]

изоморфны.

3. Группа тетраэдра T изоморфна группе [pic] состоящей из четных

подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма достаточно

занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить, что каждый

поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет

его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку

множества{1,2, 3, 4} Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую

вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически

переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки - четные. Поворот

вокруг оси, соединяющей середины ребер (например, 12 и 34 )

переставляет символы 1 и 2 , а также 3 и 4. Такие перестановки также

являются четными.

4. Формула [pic]определяет взаимно однозначное соответствие между

множеством R вещественных чисел и множеством [pic] положительных

чисел. При этом [pic]. Это означает, что [pic] является изоморфизмом.

Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать

одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные

свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.

5. Понятие подгруппы.

Непустое подмножество [pic] называется подгруппой, если [pic]само

является группой. Более подробно это означает, что [pic], [pic] и [pic].

Признак подгруппы.

Непустое подмножество [pic] будет подгруппой тогда и только тогда, когда

[pic].

Доказательство.

В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь [pic]- любой элемент.

Возьмем [pic] в признаке подгруппы. Тогда получим [pic]. Теперь возьмем

[pic]. Тогда получим [pic].

Примеры подгрупп.

1. Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны

между собой.

2. [pic]- подгруппа четных подстановок.

3. [pic]

4. [pic] и т.д.

5. Пусть G - любая группа и [pic] - любой фиксированный элемент. Рассмотрим

множество [pic]всевозможных степеней этого элемента. Поскольку [pic],

рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической

подгруппой с образующим элементом g .

6. Пусть [pic] любая подгруппа Рассмотрим множество [pic]- централизатор

подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если [pic], то

[pic], то есть [pic]. Теперь ясно, что если [pic], то и [pic] и значит

централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то [pic].

Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые

перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется

центром группы G и обозначается Z(G).

Замечание об аддитивной форме записи группы.

Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+)

и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем

и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется

противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+...+g

, называются кратными элемента g и обозначаются ng.