Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

№1

1 Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г,

являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) ( D –

произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D

наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается

на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь

D, то (Si – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров

областей обозн (. В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi ((i

, Di) ( Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D ( ( 0 , то число

n областей Di ( (. Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим

сумму:I = [pic]f((i, Di)(Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция

f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел

интегральной суммы.

Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы

при ( ( 0. Обозн:

[pic]или[pic]

2 Понятие числового

ряда и его суммы

Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…

Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его

составляющие- членами ряда.

Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой

ряда: Sn = u1+..+un

Если сущ. конечный предел: [pic], то его называют суммой ряда и говорят,

что ряд сходится, если такого предела не существует, то говорят что ряд

расходится и суммы не имеет.

№ 2

1 Условие существования

двойного интеграла

Необходимое, но недостаточное:

Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D.

1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на

замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.

2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в

замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в ней за исключением

отдельных точек и гладки=х прямых в конечном числе где она может иметь

разрыв, то она интегрируема на D.

2 Геометрический и

арифметический ряды

Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз.

геометрическим: [pic] или

а+ а(q +…+a(qn-1

a ( 0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда: [pic]

следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит

от величины q

Возможны случаи:

1 |q|<1 [pic]

[pic]т. е. ряд схд-ся и его сумма [pic]2 |q|>1 [pic] и предел суммы так же

равен бесконечности

т. е. ряд расходится.

3 при q = 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn = n(a [pic] ряд расходится

4 при q(1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n

нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.

Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии:[pic] u –

первый член, d – разность. Сумма ряда [pic]

[pic]при любых u1 и d одновременно ( 0 и ряд всегда расходится.

№3

1 Основные св-ва 2ного интеграла

1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.

2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то

она интегрируема и в G.

3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2

области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то: [pic]

4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить

в виде суммы интегралов:

[pic]

5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо

в Д. Если g(x,y) ( 0 то и f/g интегрируема в Д.

6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) <=

g(x,y), то:

[pic]

В частности: g(x,y) >=0 то и

[pic]

7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и

|f(x,y)| интегрир. в Д причем

[pic]

обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует

интегрируемость f.

8. Теорема о среднем значении.

Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка ((,

() ( Д, что:

[pic](2), где S – площадь фигуры Д. Значение f((, () опред по ф-ле (2)

наз. средним значением ф-ции f по области Д.

2 С-ва сходящихся рядов

Пусть даны два ряда: u1+u2+…un =[pic](1) и v1+v2+…vn = [pic](2)

Произведением ряда (1) на число ( ( R наз ряд: (u1+(u2+…(un =[pic](3)

Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) = [pic] (для разности там только - появица)

Т1 Об общем множителе

Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для любого числа ( ряд [pic]=(

([pic] тоже сходится и его сумма S’ = S(( Если ряд (1) расходится и ( ( 0,

то и ряд [pic] тоже расходится. Т. е. общий множитель не влияет на

расходимости ряда.

Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд: [pic]

тоже сходится и если ( его сумма, то ( = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды можно

почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2)

расходится, то их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба ряда

расходятся. то ихняя сумма (или разность)может как расходится (если un=vn)

так и сходиться (если un=(vn)

Для ряда (1) ряд [pic]называется n – ным остатком ряда. Если нный остаток

ряда сходится, то его сумму будем обозначать: rn = [pic]

Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо

остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма =

частичная сумма ряда Sn + rn

Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не

влияет на сходимость (расходимость) ряда.

№4

1 Сведение

2ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем

отрезке.

D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)

Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая,

параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает

границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в

направлении оси оу.

Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х ( [a,b] непрерывна на у , на

отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = [pic], наз. интегралом, зависящим

от параметра I, а интеграл : [pic], наз повторным интегралом от ф-ции

f(x,y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем

последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по

одной., а затем по другой переменной.

2 Необходимый

признак сходимости рядов

Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю:[pic]

Док-во: [pic]

Sn=u1+u2+…+un

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, поэтому:

[pic]

Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е.

если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд

при этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении

является зато достаточным условием расходимости ряда.

№5

1 Замена переменных в двойном интеграле.

Общий случай криволинейных координат

Пусть существует ф-ция f(x,y) интегр на области Д, можно прямолинейные

координаты x, y с помощью формул преобразования перейти к криволинейным: x

= x(u,v), y=y(u,v), где эти ф-ции непрерывные вместе с частными

производными первого порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе

стороны непрерывное соответствие между точками плоской области Д и области

Д’ и определитель преобразования, наз. Якобианом не обращается в

0:[pic]если это выполняется можно пользоваться ф-лой:

[pic]

2 Интегральный признак

сходимости ряда. Ряд Дирихле

Т1 Пущай дан рядт [pic](1), члены которого неотрицательны, и не возрастают:

u1>=u2>=u3…>=un

Если существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная и не возрастающая

на [1,+(] такая, что f(n) = Un, ( n ( N, то для сходимости ряда (1)

необходимо унд достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:[pic], а

для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл наоборот

расходился (ВАУ!).

Применим сей признак для исследования ряда Дирихле: Вот он: [pic], ( ( R

Сей ряд называют обобщенным гармоническим рядом, при ( >0 общий член оного

un=1/n( (0 и убывает поэтому можно воспользоваться интегральным признаком,

функцией здеся будет ф-ция f(x)=1/x( (x>=1)сия ф-ция удовлетворяет

условиям теоремы 1 поэтому сходимость (расходимости) ряда Дирихле

равнозначна сходимости расходимости интеграла: [pic]

Возможны три случая:

1 ( >1, [pic]

Интеграл а потому и ряд сходится.

2 0<(<1,

[pic]

Интеграл и ряд расходится

3 (=1,

[pic]

Интеграл и ряд расходится

№ 6

1 Двойной интеграл

в полярных координатах

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.

Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты

A(r, () где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. ( = угол между

векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против

часовой стрелки. всегда 0<=r<=+(, 0<=( <=2( .

Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r(cos( , y =

r(sin( .

Якобиан преобразования будет равен:

[pic]И формула при переходе примет вид:

[pic]

2 Признаки сравнения

Т(Признаки сравнения)

Пущай [pic] и [pic] ряды с неотрицательными членами и для любого n

выполняется нер-во:

un<=vn (1)тогда

1 Если ряд vn сходится, то сходится и ряд un

2 если ряд un расходится, то расходится и ряд vn. Т. е. говоря простыми

русскими словами для простых русских людей (ну для дураков вроде тебя): Из

сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими, а из

расходимости ряда с меньшими членами следует расходимости ряда с большими и

не наоборот!!!

Причем можно требовать, чтобы неравенство (1) выполнялось не для всех

номеров n, а начиная с некоторого n0, т. е. для некоторых номеров меньших

n0 неравенство (1) может и не выполняться. При применении сего признака

сравнения удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или

геометрический ряд, с которыми и так уже все ясно.

Т3 Засекреченная

Если сущ вышеописанные неотр. ряды, то если сущ предел:

[pic] (0<k<+() тада оба эти ряда сходятся.

№7

1 Вычисление

площади плоской области

с помощью 2ного интеграла

Если Д правильная в направлении оу a<=x<=b, y1(x)<=y<=y2(x), то

[pic]

Если Д огр линиями в полярных координатах, то

[pic]

2 Признаки Даламбера и Коши

Т(Признак Далембера)

Пущай для ряда un с положит членами существует предел:

[pic], то

1 Если k<1, то ряд сходится

2 Если k>1 ряд расходится

Т(Признак Коши)

Пусть для того же самого ряда (т. е. положительного) существует

предел:[pic], тогда

1 Если k<1, то ряд сходится

2 Если k>1 ряд расходится

А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о

сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все тут.

Вот.

№8

1 Вычисление объема

с помощью 2ного интеграла

Рассматривая в пространстве тело Р, огр снизу плоскостью оху, сверху z =

f(x,y), кот проектируется в Д, сбоку границей области Д, называемое

криволинейным цилиндром. Объем этого тела вычисляют по формуле:[pic]

если f(x,y)<=0 в Д тор тело находится под плоскостью оху. Его объем равен

объему цилиндрического тела. огр сверху ф-цией:

z = |f(x,y)|>=0.

тогда [pic]

если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1,

f(x,y)>=0; Д2, f(x,y)<=0, тогда:

[pic]

2 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ряд называется знакочередующимся если каждая пара соседних членов имеет

разные знаки (один ?, другой ?), если считать каждый член сего ряда

положительным то его можно записать в виде: [pic]

Т (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося ряды выполняются условия:

1) u1>=u2>=u3…>=un>=un+1…

2) [pic]

то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам:

0<=S<=un и |rn|<=un+1

Ряд удовлетворяющий условиям теоремы наз. рядом Лейбница.

Если условие чередования знаков выполняется не с первого члена, а с какого-

нибудь исчо, то при существовании равного 0 предела ряд будет также

сходится.

№9

1 Вычисление

площади поверхности

с помощью двойного интеграла.

Пусть дана кривая поверхность Р, заданная ур-ями z = f(x,y) и имеющая

границу Г, проецирующуюся на плоскость оху в область Д. Если в этой области

ф-ция f((x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные: тогда

площадь поверхности Р вычисляется:

[pic]

для ф-ций вида x = ( (y,z) или y = ((x,z) там будут тока букыв в частных

производных менятца ну и dxdy.

2 Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная

сходимость рядов.

Ряд называют знакопеременным, если его членами являются действительные

числа, а знаки его членов могут меняться как кому в голову взбредет. Пусть

дан ряд:

u1+u2…+un=[pic](1), где un – может быть как положительным, так и

отрицательным. Рассмотрим ряд состоящий из абсолютных значений этого ряда:

|u1|+|u2|…+|un|=[pic](2),

Если сходится ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сходящимся, а вот если

ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится. то ряд (1) наз сходящимся условно.

Т. Признак абсолютной сходимости:

Если знакочередующийся ряд сходится условно. то он и просто так сходится,

при этом:

[pic]<=[pic]

Доквы:

т. к. 0<=|un|+un<=2|un|, то по признаку сравнения сходится ряд |un|+un,

тогда сходится ряд: (|un|+un)-|un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной

величины |Sn|=|u1+u2+…+un|<=|un| ( n ( N, то переходя к пределу получим:

[pic]<=[pic][pic]

Т2 Если ряд (1) абсолютно сходится, то и любой ряд составленный из тех же

членов, но в любом другом порядке тоже абсолютно сходится и его сумма равна

сумме ряда un – Sn. А вот с условно сходящимися рядами все гораздо

запущенней.

Т(Римана)

Если знакопеременный ряд с действительными членами сходится условно, то

каким бы ни было дейст. число S можно так переставить члены ряда, что его

сумма станет равна S, т. е. сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от

порядка слагаемых

№10

1 Вычисление массы,

координат центра масс,

моментов инерции плоской

материальной пластины с

помощью 2ного интеграла.

Масса плоской пластины вычисляется по ф-ле:

[pic], где ((х, у) – поверхностная плотность.

Координаты центра масс выч по ф-ле:

[pic]

[pic]

если пластина однородная, т. е. ((х, у) – const, то ф-лы упрощаются:

[pic][pic]

Статические моменты плоскостей фигуры Д относит осей оу и ох

[pic][pic]

Момент инерции плоской пластины относительно осей ох, оу, начала координат:

[pic][pic][pic]

J0=Jx+Jy

если пластина однородная, то ро вышвыривается на фиг и считается равной 1.

2 Сходимость функциональных последовательностей и рядов

Функциональной последовательностью заданной на множестве Е, наз.

последовательность ф-ций {fn(x)} (1)определенных на Е и принимающих

числовые действительные значения.

Пусть задана поледовательность числовых ф-ций {un(x)} Формальнг написанную

сумму: [pic](2) называют функциональным рядом на множестве Е, а ф-цию un(x)

– его членами. Аналогично случаю числовых рядов сумма: Sn(x) =

u1(x)+u2(x)+…+un(x) называется частичной суммой ряда n порядка, а ряд:

un+1? un+2… - его n-ным остатком. при каждом фиксированном х = х0 ( Е

получим из (1) числовую последовательность {fn(x0)}, а из (2) – числовой

ряд[pic], которые могут сходится или расходится. если кто-нибудь из оных

сходится, то сходится и функциональная посл (1) в т х0, и сия точка наз.

точкой сходимости.

Если посл(1) сход на м-ж Е, то ф-ция f, определенная при ( x ( E f(x) =

[pic] назывется пределом посл (1), если ряд(2) сходится на м-ж Е, то ф-ция

S(x) определенная при ( x ( Е равенством

S(x)= [pic]

называется суммой ряда (2).

Остаток ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится сам ряд., если

обозначить сумму остатка ряда через rn(ч), то S(x) = Sn(x)+rn(x)

[pic] Если ряд (2) сходится абсолютно, то он наз абсолютно сходящимся на м-

ж Е. Множество всех точек сходимости функционального ряда наз областью

сходимости. Для определения области сходимости можно использовать признак

Даламбера и Коши. С ихнею помашшю ф-ц ряд исследуется на абсолютную

сходимость Например, если существует

[pic] и

[pic], то ряд (2) абсолютно сходится при k(x)<1 и расходится при k(x)>1.

№11

1 Тройные интегралы

Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного

пространства задана ограниченная ф-ция f (x,y,z). Разобьем область V на n

произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с

объемами (V1… (Vn В каждой частичной области возбмем произв. точку М с

кооорд Mi((i,(i,(i) составим сумму: [pic]f((i,(i,(i)((Vi, кот наз

интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим за ( максимальный диаметр

частичной области. Если интегральная сумма при ( ( 0 имеет конечный предел,

то сей предел и называется тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области

V И обозначается:

[pic]

2 Равномерная

сходимость функциональных

последовательностей и рядов.

Признак Вейерштрасса.

Ф-циональную последовательность {fn)x)} x ( E наз. равномерно сходящейся ф-

цией f на м-ж Е, если для ( ( >0, сущ номер N, такой, что для ( т х ( E и (

n >N выполняется (-во: |fn(x)-f(x)|<(. Если м-ж {fn)x)} равномерно сходится

на м-ж Е, то она и просто сходится в ф-ции f на сем м-ж. тогда пишут: fn (

f.

[pic]наз. равномерно сходящимся рядом, если на м-ж Е равномерно сходится

последовательность его частичной суммы. , т. ен. равномерная сходимость

ряда означает:Sn(x) ( f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно

сходящимся, но всякий равномерно сходящийся – есть сходящийся (не, вот это

наверное лет 500 выдумывали.)

Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда)

Если числовой ряд: [pic](7),

где ( >=0 сходится и для ( x ( E и ( n = 1,2… если выполняется нер-во

|un(x)|<=(n(8), ряд [pic](9) наз абсолютно и равномерно сходящимся на м-ж

Е.

Док-вы:

Абсолютная сходимость в каждой т. х следует из неравенства (8) и сходимости

ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное ( >0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера N, ( n

>N и вып. нерво [pic]

Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = [pic]

Это означает, что Sn(x) ( S(x) что означает равномерную сходимость ряда..

№12

1 Замена переменных

в тройном интеграле.

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно

однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если

непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и

существует якобиан

[pic]

то справедлива формула:

[pic]

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами:

x=rcos(, y=rsin(, z=z (0<=r<=+(, 0<=( <= 2(, -(<=z<=+()

Якобиан преобразования:

[pic]

И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:

[pic]

При переходе к сферическим координатам: r? ( (, связанными с z,y,z

формулами x=rsin((cos(,

y=r sin(sin(, z=rcos(.

(0<=r<=+(, 0<=( <= 2(,

0<=( <=2()

Якобиан преобразования:

[pic]

Т. е. |J|=r2(sin(.

Итак, в сферических координатах сие будет:

[pic]

2 Свойства равномерно

сходящихся рядов

Т1 Если ф-ция un(x), где х ( Е непрерывна в т. х0 ( E и ряд [pic](1)

равномерно сходится на Е, то его сумма S(x) = [pic]также непрерывна в т.

х0.

Т2 (Об поюленном интегрировании ряда)

Пусть сущ. ф-ция un(x) ( R и непрерывная на отр. [a,b] и ряд [pic](3)

равномерно сходится на этом отрезке, тогда какова бы ни была т. х0 ( [a, b]

[pic](4) тоже равномерно сходится на [a,b]. В частности: при x0 = a, х = b:

[pic]т. е. ряд (3) можно почленно интегрировать.

Т3 (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть сущ. ф-ция un(x) ( R и непрерывная на отр. [a,b] и ряд её производных

[pic](6) равномерно сходящийся на отр [a,b] тогда, если ряд [pic] сходится

хотя бы в одной точке x0 ( [a,b] то он сходится равномерно на всем отрезке

[a,b], его сумма S(x) = [pic] является непрерывно дифференцируемой ф-цией и

S’(x)= [pic](9)

В силу ф-л ы (8) последнее равенство можно записать:

([pic])’ = [pic]

So ряд (7) можно почленно дифференцировать

№13

1 Приложения

тройных интегралов

Объем тела[pic]

Масса тела: [pic], где ((М) = ((x,y,z) - плотность.

Моменты инерции тела относительно осей координат:

[pic]

Момент инерции относительно начала координат:

[pic]

Координаты центра масс:

[pic]

[pic]

[pic] m – масса.

Интегралы, стоящие в числителях выражают статические моменты тела: Myz,

Mxz, Mxy относит коорд плоскостей oyz, oxz, oxy. Если тело однородное: ((М)

= const, то из формул она убирается и оне упрощаются как в 2ных интегралах.

2 Степенные ряды. Теорема Абеля

Степенным рядом наз функциональный ряд вида: a0+a1x+a2x2+… + anxn =

[pic](1) x ( R членами которого являются степенные ф-ции. Числа an ( R, наз

коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз также ряд:

a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2… + an(x-x0)n = [pic](2)

Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2)

в т х = х0, т .е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится

к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.

Т Абеля

1Если степенной ряд (1) сходится в т. х0 ( 0, то он сходится абсолютно при

любом х, для которого |x|<|x0|.

2Если степеннгой ряд (1) расходится в т. х0, то он расходится в любой т. х,

для которой |x|>|x0|

№14

1 Определение криволинейных

интегралов 1 и 2 рода

Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)

Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой

К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть (lk

длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную

точку N((k,(k) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три

интегральную суммы:

(1 =[pic] f((k,(k)((lk

(2 =[pic] Р((k,(k)((хk

(3 =[pic] Q((k,(k)((yk,

где (хk = xk-xk-1, (yk = yk-yk-1

Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел

интегральной суммы (1 при условии, что max((lk) ( 0

[pic]

Если предел интегральной суммы (2 или (3 при ( ( 0, то этот предел наз.

криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB

и обозначается:

[pic] или [pic]

сумму: [pic]+[pic] принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода

и обозначать символом:

[pic] в этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются

интегрируемыми вдоль кривой l = AB. Сама кривая l наз контуром или путем

интегрирования А – начальной, В – конечной точками интегрирования, dl –

дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз.

криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода – по функции..

Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не

зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается

кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:

[pic], для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания

кривой ведет к изменению знака:

[pic]

В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из

двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют

положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура

остается слева по отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление

движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз –

отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l

пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:

[pic]

Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:

[pic] и три интеграла 2 рода:

[pic]

сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.

2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Рассмотрим степенной ряд:

[pic](1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сходимости ряда

(1) если для любого х такого, что |x|<R ряд (1) сходится, а для ( х таких.

что |x|>R ряд расходится Интервал на числовой оси состоящий из т. х для

которых |x|<R, т. е. (-R, +R) наз. интервалом сходимости.

Т1 Для всякого степенного ряда (1) существует радиус сходимости R 0<=R<=+(

при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сходится абсолютно

Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сходимости: |x-x0<R|

будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R? то ряд сходится в т. x абсолютно

иначе расходится. На концах интервала, т. е. при x = -R, x=+R для ряда (1)

или x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сходимости решается

индивидуально. У некоторых рядов интервал сходимости может охватывать всю

числовую прямую при R = +( или вырождаться в одну точку при R = 0.

Т2 Если для степенного ряда (1) существует предел (конечный или

бесконечный): [pic], то радиус сходимости будет равен этому пределу.

Док-вы: Рассмотрим ряд из абсолютных величин [pic]и по Даламберу исследуем

его на сходимость:

[pic](5)

1)Рассмотрим случай, когда [pic] конечен и отличен от 0. Обозначив его

через R запишем (5) в виде [pic]При числовом значении х степенной ряд

становится числовым рядом, поэтому по Даламберу ряд (1) сходится если

|x|/R<1, т. е. |x|<R, тогда по признаку абсолютной сходимости ряд (1)

сходится абсолютно при |x|<R иначе ряд расходится.

2)Пусть[pic] = ( тогда из(5) следует, что [pic]для любого х ( R Итак ряд

(1) сходится при любом х причем абсолютно.

3) Пусть[pic] =0 тогда из (5) следует, что [pic] и ряд расходится для

любого х. Он сходится только при х = 0 В этом сл-е R = 0.

Т3 Если существует предел конечный или бесконечный [pic], то [pic](10)

№15

1 условия

существования и вычисления

криволинейных интегралов.

Кривая L наз. гладкой, если ф-ции ((t), ((t) из определяющих её

параметрических уравнений:

[pic](1)

имеет на отрезке [a,b] непрерывные производные: (’(t), (’(t).Точки кривой L

наз особыми точками, если они соответствуют значению параметра t ( [a,b]

для которых ((’(t))2+((’(t))2 = 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те

точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными (ВАУ!).

Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных

точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то

криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы

нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам

сводящим эти интегралы к обычным:

[pic]

[pic]

[pic]

Отседова жа вытекаает штаа:

[pic]

В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х)

непрерывно дифференцируемая ф-ция, то принимая х за параметр t получим:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

ну и сумма там тожжа упростица.

ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)

Если АВ задана в криволинейных координатах ( <= ( <= ( где ф-ция r(()

непрерывно дифференцируема на отрезке [(, (] то имеет место частный случай,