Линейная Алгебра. Теория групп

Линейная Алгебра. Теория групп

Лекции по общей алгебре

Лекция 1

Понятие бинарной алгебраической операции

Говорят, что на множестве S определена (бинарная) алгебраическая операция

(АО) « *», если для всяких двух его элементов x и y однозначно определен

элемент z=x*y называемый композицией или произведением элементов x и y.

Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения, вычитания

или умножения на множестве всех действительных (или комплексных ) чисел,

операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка

,операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов,

операция векторного перемножения на множестве всех векторов трехмерного

пространства.

Само по себе понятие АО является слишком общим, чтобы допускать сколько ни

будь глубокое изучение. В алгебраических теориях обычно рассматривают

операции, обладающие рядом дополнительных свойств. Перечислим некоторые из

них.

Свойство ассоциативности

[pic]

(1)

Во всех перечисленных выше примерах АО это свойство выполняется, за

исключением операции вычитания и операции векторного произведения.

Из свойства (1) вытекает, что произведение любого числа сомножителей

однозначно определено, так как не зависит от того, как в этом произведении

расставлены скобки, например

[pic]

Разумеется, при этом нельзя нарушать порядок сомножителей.

Наличие свойства ассоциативности позволяет определить степень любого

элемента с натуральным показателем. А именно:

[pic] (n сомножителей).

При этом выполняются обычные правила действий со степенями:

[pic] , [pic]

Свойство коммутативности

[pic] [pic]

(2)

Это свойство выполняется для сложения и умножения чисел, но нарушается для

умножения матриц и композиции перестановок.

Разумеется, из (2) вытекает, что в случае ассоциативной и коммутативной АО

мы имеем право переставлять любым способом сомножители в произведении

любого их числа.

Кроме того, в этом случае [pic]

Наличие нейтрального элемента

[pic] [pic]

(3)

Элемент n в этом случае называется нейтральным для АО (*).

Для операции сложения чисел нейтральным является число ноль, для операции

умножения - число единица. Для умножения матриц нейтральным элементом

будет единичная матрица, для композиции перестановок - тождественная

перестановка. В случае векторного перемножения векторов нейтральный элемент

отсутствует.

Отметим, что в (3) квантор существования предшествует квантору всеобщности,

то есть элемент n не зависит от выбора x.

В случае существования единственного нейтрального элемента и

ассоциативности операции можно определить степень с нулевым показателем:

[pic] для всякого элемента x. Упомянутые выше свойства степеней при этом

сохраняются.

Наличие обратного элемента

Это понятие имеет смысл в случае наличия нейтрального элемента для операции

(*).

Элемент [pic] называется обратным для элемента x, если

[pic]

(4)

Для сложения чисел обратный элемент существует для любого числа и равен

противоположному числу. Для умножения обратный элемент так и называется и

существует у любого числа, кроме 0. В случае умножения матриц обратный

элемент равен обратной матрице и существует в том случае, если эта матрица

невырождена, то есть ее определитель не равен нулю.

Элементы для которых существует обратный называются обратимыми. Из условия

(4) сразу вытекает, что элемент [pic] всегда обратим и обратным для него

будет исходный элемент x. Кроме того в случае ассоциативной операции

произведение двух обратимых элементов снова будет обратимым элементом и при

этом [pic]. В самом деле: [pic] и аналогично

[pic]

Если элемент [pic] определен однозначно, можно определить степени x с

отрицательным целым показателем, а именно:

[pic] , где m=1,2,... . При этом сохраняются обычные правила действий со

степенями.

Замечание

В конкретных алгебраических системах алгебраическая операция чаще всего

обозначается либо знаком (+) и называется сложением , либо знаком (.) и

называется умножением. В первом случае говорят об аддитивном, а во втором о

мультипликативном способе записи операции. Операция записанная аддитивно

как правило считается коммутативной. В этом случае вместо термина

«обратный» используется термин «противоположный элемент», который,

естественно, обозначается (-x), а вместо степени элемента говорят о его

кратных (nx).

Понятие группы

Определение

Множество G на котором определена бинарная операция (*) называется группой

(G,*), если выполняются условия:

1. Операция (*) ассоциативна.

2. Для операции существует нейтральный элемент.

3. Все элементы G обратимы.

Примеры групп

1. R - группа действительных чисел с операцией сложения. ( аддитивная

группа действительных чисел)

2. C - аддитивная группа комплексных чисел.

3. [pic]- группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения (

мультипликативная группа действительных чисел)

4. [pic]- мультипликативная группа комплексных чисел.

5. [pic] - группа невырожденных матриц порядка n с действительными

элементами. (Аналогично, [pic])

6. [pic]- группа перестановок множества 1,2, ..., n.

Во всех этих примерах наличие свойств 1- 3 не вызывает сомнений.

Прежде чем приводить другие примеры групп укажем некоторые простейшие

свойства этих алгебраических систем. Во всех последующих формулировках

считается, что x, y, z, ... - элементы некоторой группы G.

1. Закон сокращения

[pic] (левое сокращение)

[pic] (правое сокращение)

Докажем, например, первый закон. Используем существование обратного

элемента [pic]и свойство ассоциативности операции.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

y=z.

2. Единственность нейтрального элемента

В любой группе нейтральный элемент определен однозначно. В самом деле, если

[pic]и [pic] оба являются нейтральными, то по определению

[pic] и в то же время [pic], откуда [pic]. Единственный нейтральный

элемент группы G будет в дальнейшем обозначаться [pic] или просто e.

3. Единственность обратного элемента

Для каждого элемента x обратный элемент [pic] определен однозначно. В самом

деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e,

откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z.

4. Признак нейтрального элемента

[pic]

Действительно, поскольку [pic], имеем [pic] , откуда по закону сокращения

получаем [pic].

5. Разрешимость любого уравнения первой степени (существование обратной

операции)

[pic] . Элемент z определен однозначно. (Его можно назвать «частным» от

деления y на x).

Имеем: [pic] и значит можно взять [pic]. Однозначность следует из закона

сокращения: [pic].

Понятие подгруппы

Определение

Группа [pic] называется подгруппой группы [pic], если, во первых

[pic] (как подмножество) и, во-вторых,

[pic] (то есть закон умножения на подмножестве H такой же как и во всем

множестве G.)

Тот факт, что [pic] является подгруппой в [pic] обозначается с помощью

символа включения: [pic] или просто [pic].

Примеры подгрупп.

1. Целые числа с операцией сложения (Z) образуют подгруппу в группе R,

которая, в свою очередь является подгруппой группы C.

2. Четные перестановки образуют подгруппу [pic] в группе [pic] всех

перестановок.

3. Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу [pic] в группе [pic] всех

невырожденных матриц.

Чтобы проверить, будет ли данное подмножество H в G подгруппой надо,

очевидно, проверить следующие условия :

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic].

Оказывается, что вместо трех этих условий достаточно проверить только одно.

Признак подгруппы

Непустое подмножество H в группе G будет подгруппой этой группы тогда и

только тогда, когда:

[pic]. (5)

Доказательство.

Условие (4) очевидно следует из 1 -3. Проверим обратное утверждение. Взяв

в (5) y=x, получим: [pic], то есть выполнено второе условие. Теперь

возьмем [pic], тогда получим: [pic] и таким образом условие 3. также

выполнено. Наконец, взяв в условии (5) [pic], получим [pic], то есть

условие 1.