Матанализ

Матанализ

1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового

номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами.

Числа –1,-2, -3, …, противоположные натуральным называются отрицательными

целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-

) Вид М/N, где (N[pic] 0) M и N- взаимно простые целые числа.

Иррациональные - ?2 все вышепереч-е + бесконечные непериодич. дроби. Все

эти числа – действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; iІ=-1

2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2)

Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2)

Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+

i(b1a2-a1b2)\a2І+b2І=(a1a2+b1b2/a2І+b2І)+i* (b1a2-

a1b2/a2І+b2І)

3 Тигонометрическая форма комплексного числа

Z=a+ib=r*cos?+i*r*sin?=r*(cos?+i*sin?)

r – модуль; ? – аргумент. b – y; a – x.

4 ZЄ=rЄ(cos A?+i*sin A?)

5 Є?Z=Є?r(cos ?+2?k/а +i *sin ?+2?k/a) k?(1;2;3…a-1)

Все корни А-ой степени лежат на окружности r=| Z |№\а и являются вершинами

правильного А-угольника, вписанного в эту окружность.

6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием номера n

) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью

1,1,1,1,1…1

1,1/2,1/3…1/N

1,-1,1,-1…(-1)Є

Xn,n?N

Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно

малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как только n>N(E)

то имеет место неравенство | Xn – A | < E

lim Xn = A

n>?

Число А есть предел последовательности Xn если для любого ? > 0 найдётся

такой номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последовательности

будут заключены в ?-окрестности какой бы она узкой ни была. Вне этой

окрестности может быть лишь конечное число членов этой последовательности.

7 Если последовательность Хn монотонна и ограничена, то она имеет предел

(сходится).

Cвойства пределов:

если Хn=С то lim Xn=C

n>?

пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B

n>? n>? lim (Xn*Yn)=A*B

lim (Xn/Yn)=A/B

; B?0

если Xn?Yn для n?N то lim Xn ? lim Yn

n>? n>?

8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена

Последовательность Xn; n?N наз. ограниченной если существует положительное

число М, что выполняется нер-во | Xn |?M; n?N

Если lim Xn=0, то Xn; n?N наз. БМВ обознач (?n,?n,?n)

n>?

Св-ва БМВ:

lim ?n=0

n>?

lim (?n±?n)=0

n>?

lim (Xn*?n)=0; если Xn-ограничена

n>?

В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической

сумме замену можно производить в том случае если не происходит сокращения

БМ одного порядка с Х:

sin X ~ X eЄ-1 ~ a

tg X ~ X (1+x)Є ~ ax

1 – cos X ~ XІ/2 arctg X ~ X

LOGe(1+X) ~ X xЄ-1 ~ aLNx

9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом.

[pic]

Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда

Если при n>? lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда .

Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его

частичных сумм.

Прим:

[pic]при каких q сходится и расходится ?

сходится к сумме S=a/1-q при | q |<1 и расход-ся при | q |?1

10 Признак сравнения двух знакоположит-х рядов.

есть 2 знакполож. ряда SAk,SBk так что 0?Ak?Bk k?N

тогда если SBk? то SAk тоже ? и наооборот если меньший ряд не сходится то

и больший тоже.

11 Признак Даламбера

SUn c положительными членами сущ. lim Un+1/Un =l

n>?

то ряд сходится если l<1 и расходится если l>1, если l=1 то вопрос о

сходимости нерешён.

Признак Коши

SAn – знакополож. ряд lim Є?An=q

n>?

q<1 – сходится ; q>1 – расходится.

12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An

An>0

Признак Лейбница:

Если члены ряда (знакопер) убывают а1>a2>a3>…An и

предел Аn при n>? =0 то ряд сходится

пример 1-1/2+1/3-1/4…+(-1)(n-1)*1/n

13 Имеет место функциональная зависимость между двумя переменными

величинами х и у если задан закон y=f(x), согласно которому каждому х?Х

соответствует значение y?Y. х-аргумент

y=kx+b – линейная ф-ия

y=axІ+bx+c – квадратичная ф-ия

Обратная ф-ия – ф-ия x=?(y) наз. обратной ф-ией к прямой ф-ии y=f(x) если

x=?(f(x)) для всех х?Х

Графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно прямой у=х.

y=XЄ и y=LOGxA – примеры

14 Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или в

точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа ?>0,

найдётся такое положительное число ?(?)>0 что для всех х не равных х0 и

удовлетворяющих условию | x-x0 |<? выполняется нерав-во | f(x)-B | < ?

lim f(x)=B

x>x0

Смысл состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0,

значения ф-ии f(x) как угодно мало отличаются от числа В (по модулю)

15 lim f(x)=B

x>x0

Если B=f(x0), то ф-ия f(x) – непрерывна в точке х0.

св-ва :

lim c=c

x>x0

если f(x)=b, ?(x)=c то lim (f(x)±?(x))=b±c

x>x0

lim (f(x)*?(x))=b*c

x>x0

lim (f(x)/?(x))=b/c (c?0)

x>x0

Если f(x)??(x)?g(x) и lim f(x)=lim g(x) =b то lim ?(x)=b

x>x0 x>x0 x>x0

если при этом b=f(x0); c=?(x0) то св-во 2 можно записать:

(Если f(x) или ?(х) непрерывны в т. х0 то в т.х0

непрерывны сумма, разность, произведение и

частное(?(х0))?0 этих функций

Если ф-ия непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на этом

отрезке

16 Линейная ф-ия непрерывна в любой точке А?(-?;+?)

y=kx+b=f(x)

f(A)=kA+b

k?0 ? | f(x)-f(a) |<? | kx-b-ka+b | <?

| k (x-f) | <?

| k |*| x-a | <?

| x-a | < ?/| k |=?(?)

y=axІ+bx+c (-?;+?)

17 y=BЄ (B>0)

Докажем, что y=BЄ непрерывна на (-?;+?)

lim BЄ=1

a>0

| BЄ-1 | <? 1) B=1

2) B>1

-? < BЄ-1 < ? 1-? < BЄ < ?+1

LOGb(1-?)<a<LOGb(1+?)

min {-LOGa(1-?); LOGa(1+?)}= ??

| x | < ??

LOGaB

18 y=cos x (-?; +?)

| cos x – cos a | < ?

| 2 sin (x-a)/2 + sin (x+a)/2 | < ?

2 | sin (x-a)/2 | + | sin (x+a)/2 | < ?

2 | sin (x-a)/2 | < ?

| x-a | < ? =?(?)

y=sin x (-?; +?)

y=tg x=sin x/cos x кроме x=?/2+?k

y=ctg x=cos x/sin x кроме x=?k

19 Первым замечательным пределом называется

lim sin x/x=1

x>x0

20 Второй замечательный предел

lim(1+1/a)Є=e

a>?

Число е (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в матанализе.

lim (1+a)№’Є=e

a>0

21 Пусть имеется ф-ия y=f(x), определённая на (а; в), говорят что ф-ия

имеет в т. х0?(а; в) производную f ’(x0) если существует предел

lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)

x>x0

Производной ф-ии y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения ф-

ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Ф-ия имеющая производную в каждой точке интервала называется

дифференцируемой на этом интервале.

Геометрический смысл производной: пр-ая f `(x0) есть угловой коэфф. (tg

угла наклона) касательной, проведённой к кривой y=f(x) в точке х0 , k=f

‘(x0)

у=f ‘(x0)(x - x0)

Механический смысл производной: пр-ая пути по времени s ‘(t0) есть

скорость точки в момент t0: V(t0)=s ‘(t0)

Определение для любой точки

[pic]

22 Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ий

равна такой же сумме производных этих ф-ий

(u±v)`=u`± v`

Производная произведения двух дифференцируемых ф-ий равна произведению пр-

ой первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на

про-ую второго:

(uv)`=u`v + uv`

Постоянный множитель можно выносить за знак

производной

(cu)`=cu`

Производная произведения нескольких

дифференцируемых ф-ий равна сумме произведений

производной каждого из сомножителей на все остальные

(uvw)`=u`vw+uv`w+uvw`

23 Производная частного двух ф-ий u(x)/v(x), если v(x)?0

равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби

на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя есть

квадрат прежнего знаменателя: (u/v)`=(u`v-uv`)/vІ; v?0

(u/c)`=1/c*u`

(c/u)`=-cv`/vІ c=const

24 (xЄ)`=axЄ?№

25 (LNx)`=1/x

(eЄ)`=eЄ

Для дифференцируемой ф-ии с производной, не равной

0, производная обратной ф-ии равна обратной величине

производной данной ф-ии

X`y = 1/Y`x

26 (sin x)`=cos x

(cos x)`=-sin x

(tg x)`=1/cosІx

(ctg x)`=-1/sinІx

27 Если y=f(u) и u=?(x) – дифференцируемые ф-ии от своих аргументов, то

производная сложной ф-ии существует и равна производной данной ф-ии по

промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного

аргумента по незавмсимой переменной х

y`=f`(u)*u`

y=f(u(x)) Fx`=Fu`*Ux`

Пример:

y=(?x+5)і y`=?

y=uі, где u=?x+5

по формуле : y`=3u`*u`=3(?x+5)І(?x+5)`=3(?x+5)І/2?x

28 Дифференциалом ф-ии наз. линейная часть приращения ф-ии (относительно

?х), равная произведению производной на приращение независимой переменной.

dy=f`(x)?x

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Геометрический смысл: Дифференциал ф-ии есть приращение ординаты

касательной, проведённой к графику ф-ии y=f(x) в данной точке когда х

получает приращение ?х

29 При исследовании ф-ий используется следующий алгоритм:

1 ООФ, ОЗФ

2 Непрерывность ф-ии

3 Нахождение асимптот

4 Экстремумы и интервалы монотонности

5 Интервалы выпуклости и т. перегиба

6 Чётность нечётность, периодичность

7 Т. пересечения с Ох и Оу

(3)Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=? при

х>х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой

f(x)

Если предел f(x)=b при x>? то говорят, что у=b явл.

горизонтальной асимптотой f(x)

Если предел f(x)/х=k при x>? (k?0;k??) и предел

(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й

(4)Если производная ф-ии положительна (отрицательна)

внутри некоторого промежутка Х то ф-ия возрастает

(убывает) на этом промежутке

Если при переходе через т. х0 производная

дифференцируемой ф-ии меняет свой знак и в т. х0

равна 0 то х0-точка экстремума (минимума или

максимума)

(5)Точкой перегиба непрерывной ф-ии (f``(x)=0) наз. т. в

разделяющая интервалы, в которых ф-ия выпукла вниз и

вверх.

Ф-ия y=f(x) называется выпуклой внизу на интервале

(a;b) если f``(x)>0 на (a;b); ф-ия называется выпуклой

вверх на (a;b) если f``(x)<0 на (a;b)

30 Асимптотой графика ф-ии y=f(x) называется прямая, обладающая тем

свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой

стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала

координат.

Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=? при

х>х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой

f(x). Вертикальные асимптоты следует искать в точках

разрыва ф-ии или на концах её ООФ (а; в) если аи в –

конечные числа

Если предел f(x)=b при x>? то говорят, что у=b явл.

горизонтальной асимптотой f(x)

Если предел f(x)/х=k при x>? (k?0;k??) и предел

(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й

Наклонная асимптота как и горизонтальная может быть

правосторонней или левосторонней

31 Степенным рядом наз. ряд вида (1)S Bn*xЄ = b0+b1x+b2xІ…+baxЄ+… это ряд в

котором членами являются ф-ии, в частности степенные. Совокупность тех

значений х, при которых степнной ряд сходится, называется областью

сходимости степнного ряда.

Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся рядом, если сходится ряд (2) S | bn |*| x

|Є

Т1. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1)

Т2. Для любого степ. ряда (1) сущ-ет такое неотрицат. число R?0 что этот

ряд сходится абсолютно при | x |<R и расходится при | x |>R; R – радиус

сходимости ряда

Даламбер: lim | Bn+1 |/| Bn |<1 (n>?) сходится

>1 (n>?) расходится

32 Разложение ф-ий в ряд:

Если бесконечно дифференцируемая ф-ия f(x0)=a0

f`=A1+2A2(x-x0)+n*An(x-x0)Є?№

f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+…+fЄ(x0)(x-x0)Є/a!

Рядом Тейлора ф-ии f(x) в окрестности т. х0 называется степ. рядом отн.

разности (х-х0)

Особенно часто используется разложение ф-ии в ряд по степеням х, при этом

х0=0; f(x)=f(0)+f`(0)+f Є(0)/a!*xЄ

Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора

eЄ=1+x+xІ/2!+xі/3!+…+xЄ/a!+…

sin x=1+ x-xі/3+…+(-1)Є*(xІЄ?№)/(2a+1)!+…

cos x=1-xІ/2!+x?/4!+…+(-1)?*xІ?/(2n)!+…

ln(1+x)=x-xІ/2+xі/3-…+(-1)?x??№/n+1…

33 Ф-ия F(x) наз. первообразной для ф-ии f(x) если для всех х (из области

определения) имеет место F`(x)?f(x) нетрудно увидеть что если F(x) является

первообразной для f(x) то и для F(x)+C также явл. первообразной.

Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от ф-ии

f(x) обозначается F(x)+C=?f(x)dx

dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx

Св-ва неопр.?

?dF(x)=F(x)+C

(?f(x)dx)`=f(x)

??f(x)dx=??f(x)dx

?(f(x)±g(x))dx=?f(x)dx±?g(x)dx

Таблица интегралов

34 Метод замены переменных:

?f(x)dx=?f(?(t))·?`(t)dt > x=?(t)

?sin 5x dx=?sin t 1/5dt=1/5?sin t dt=-1/5 cost+C =-1/5cos 5x+C

5x=t; x=1/5t; dx=1/5 dt

35 Интегрир-ие по частям:

? U·dV=UV-?VdU

Возможности применения связаны с тем, что дифференцир-ие может существенно

упростить один из сомножителей (при условии что дифф-ие не слишком усложнит

другой)

? xІ·sinx dx

xІ=U dU=2x dx

sin x dx =dV V=-cos x

? = xІ·sin x dx=-xІ·cos x -?(-cos x)2x dx=-xІ·cos x+2?x·cos x dx

x=U dU=dx

cos x dx=dV V=sin x

? = xІ·sin x dx=-xІcos x +2(x·sin x-?sin x dx)= -xІ·cos x+2x·sin x +2cos

x+C

36 Рациональной дробью называется ф-ия, равная отношению двух многочленов

f(x)=Pm(x)/Qn(x), Pm(x)-многочлен степени m, Qn(x)- многочлен степени n.

Рациональная дробь наз. правильной если степень числителя меньше степени

знаменателя, т.е. m<n, в противном случае дробь неправильная.

Интегрирование дробей методом разложения на элементарные дроби:

1 Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и

правильной дроби.

2 Разложив знаменатель дроби на множители, представить её в виде суммы

простейших рац. дробей.

3 Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

37 Определённым интегралом от ф-ии f(x) на отрезке (a; b) называется предел

интегральной суммы Sn, когда n>? (?xi>0)

[pic]

Cв-ва опр. интеграла:

(все интегралы на отрезке от А до В)

1 ?С·f(x)dx=C·?f(x)dx

2 ?(f(x)±g(x))dx=?f(x)dx±?g(x)dx

3 ?f(x)dx=-?f(x)dx

4 Если f(x)?g(x) на (A,B), то ?f(x)dx??g(x)dx

5 Если на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то m(B-

-A)??f(x)dx?M(B-A)

6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка

С?(A;B) ?f(x)dx=f(C)·(B-A)

7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ?f(x)dx существует

8 ?f(x)dx=?(a>d)f(x)dx+?(d>b)f(x)dx

9 Формула Ньютона-Лейбница:

?f(x)dx=F(B)-F(A)>F`(x)=f(x)

38 Применение опр. ?

1 Вычисление площадей (Н-Лейб)

Если на (А,В) f(x)>0 то S=?f(x)dx

Если на (А,В) f(x)<0 то S=-?f(x)dx

Если на (А,В) f(x)>g(x) то S=?[f(x)-g(x)]dx

(действительно для всех вариантов расп. ф-ий)

2 Вычисление объёмов тел вращения

V=??fІ(x)dx

39 Приближ. вычисление интегралов

1 Формула Н-Лейб.

2 Метод прямоугольника

(B-A)/n=h: ?(A>B)f(x)dx~=h(f1+f2…+fn)

3 Формула трапеции ?f(x)dx~=h(1/2·f0+f1+f2+…fn)

4 Формула Симпсона

n-чётное

?f(x(dx=(B-A)/3n(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+…+4fn-1+fn)

40 Несобственные ? бывают 2-х видов:

?-ы вида ?(a;+?)f(x)dx; ?(-?;b)f(x)dx; ?(-?;+?)f(x)dx

называются несобственными ?-и 1-го рода

Если сущ. предел (b>?) ?(a;b)f(x)dx=C (C??) то интеграл сходится и

наоборот.

Пусть есть числовой ряд SAx=A0+A1+…An+… и пусть есть ф-ия f(x)=Ax на

интервале [ a:b) Тогда ряд и несобственный ?(a;?)f(x)dx сходятся или

расходятся одновременно

Если lim (x>b)f(x)=? или lim(x>a)f(x)=? то ?f(x)dx наз. несобственным

интегралом 2-го рода, он сходится если сущ. конечный предел

lim ?(a; b-?)f(x)dx

?>0

41 Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений

(x1,x2,x3…xn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне определённое

значение переменной величины Z. Тогда говорят,что задана ф-ия нескольких

переменных Z=f(x1…xn)

Если сущ-ет lim(?x>0)f(x+?x,y)-f(x,y)/?x=fx`(x,y) то он называется частной

производной по переменной х.

Если сущ-ет lim(?y>0)f(x,y+?y)-f(x,y)/?y=fy`(x,y) то он называется частной

производной по переменной y

Величина dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от ф-ии f(x;y)

Z=f(x1+x2+…xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn

Дифференциалом ф-ии называется сумма произведений частных производных на

приращение соответствующих независимых переменных.

42 Если Z=f(x;y) имеет в точке (х0;у0) экстремум (локальный) и ф-ия

дифференцируема (т.е. имеет частные произв-ые) то частные произв-ые в этой

т. равны 0.

43 Формулы служащие для аналитического представления опытных данных

получили название эмпирических формул

Этапы вывода ЭФ:

1 Установить вид зависимости (линейная, квадратичная, логарифмическая и

т.д.)

2 Определение известных параметров этой ф-ии

Для линейной зависимости сущ-ет метод наименьших

квадратов

44 ДУ называют ур-ие, связывающее искомую ф-ию одной или нескольких

переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной ф-ии.

Решением ДУ называется такая ф-ия, котю при подстановке её в это ур-ие

обращает его в тождество.

ДУ первого порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию

y=f(x) и её производную y`=f`(x)

ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно м/б

представленно в виде

dy/dx=f(x)g(y)

Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором

дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а

переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного рав-

ва:

dy/g(y)=f(x)·dx > ? dy/g(y)=? f(x)·dx

|f(x) |f`(x)|f(x) |f`(x)|

|c |0 |xЄ |axЄ?№|

|x |1 |xІ |2x |

|?x |2?x |arcco|-1/?1|

| | |s x |-xІ |

| | | ||x|<1|

|1/x |-1/xІ|arctg|1/1+x|

| | |x |І |

|e? |e? |arcct|-1/1+|

| | |g x |xІ |

|a? |a?ln |sh x |ch x |

| |a | | |

|ln x |1/x |ch x |sh x |

|LOGaX|1/x·l|th x |1/chІ|

| |n a | |x |

|sin x|cos x|cth x|-1/sh|

| | | |Іx |

|cos x|-sinx|ln(x+|1/?(1|

| | |?(xІ+|+xІ) |

| | |1)) | |

|tg x |1/cos|arcsi|1/?(1|

| |Іx |n x |-xІ) |

|ctg x|-1/si| | |

| |nІx | | |

| | | | |

| |

|f(x) |F(x)+C |

|0 |C |

|1 |x+C |

|x |xІ/2+C |

|xЄ |xЄ?№/a+1+C |

| |a?1 |

|1/x |ln| x |+C |

|1/xІ |-1/x+C |

|1/xі |1/2xІ+C |

|1/(1+xІ) |arctg x+C |

|1/aІ+xІ |1/a·arctg |

| |x/a+C a?0 |

|1/1-xІ |1/2·ln| |

| |(1+x)/(1-x) |

| ||+C |

|1/aІ-xІ |1/2a·ln| |

| |(a+x)/(a-x) |

| ||+C a?0 |

|x/xІ+a |1/2·ln| xІ+a|

| ||+C |

|1/?(1-xІ) |arcsin x+C |

|1/?(aІ-xІ) |arcsin x/a+C|

|e? |e? |

|a? |a?/ln a |

|ln x |x ln x –x +C|

|sin x |-cos x+C |

|cos x |sin x+C |

|tg x |-ln | cos x |

| ||+C |

|ctg x |ln | sin x |

| ||+C |

|1/cosІx |tg x+C |

|1/sinІx |-ctg x+C |

1. Понятие числа (от натур. до комплексного)

2. Сложение, вычитание, *, / для комплексного числа

3. Тригонометрическая форма комплексного числа

4. Возведение в степень комплексного числа

5. Извлечение Є( из комплексного числа

6. Последовательность и её предел

7. Св-во сходящихся последовательностей (док-во)

8. БМВ и ограниченная последовательность. Св-ва БМВ

9. Знакоположительный ряд и его сходимость (пример)

10. Признак сравнения двух знакоположительных рядов (примеры)

11. Признаки Даламбера и Коши

12. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница (пример)

13. Прямая и обратная функция (примеры)

14. Предел ф-ии в точке

15. Непрерывность ф-ии в точке. Св-ва непрерывных ф-ий

16. Непрерывность линейной и степенной ф-ий

17. Непрерывность ф-ий ВЄ и LOGaX

18. Непрерывность тригонометрической ф-ии

19. 1-ый замечательный предел

20. 2-ой замечательный предел и его применение для

начисления непрерывных %

21. Понятие производной от ф-ии. Геометрический и механический

смысл призводной

22. Понятие пр-ой. Пр-ая от +, -, * двух ф-ий

23. Понятие пр-ой. Пр-ая от / двух ф-ий

24. Понятие пр-ой. Пр-ая от ХЄ

25. Понятие пр-ой. Пр-ая от обратных ф-ий (LNx, eЄ)

26. Пр-ая от тригонометрической ф-ии.

27. Пр-ая от сложной ф-ии (пример)

28. Понятие дифференциала ф-ии. Его геометр. смысл

29. Исследование ф-ий с помощью пр-ой и пределов.

30. Понятие асимптот и их нахождение

31. Степенной ряд и область его сходимости

32. Разложение ф-ий в степенные ряды

33. Неопределённый интеграл. Табл. Интегралов

34. Метод интегрир-ия с помощью замены переменных (примеры)

35. Интегрирование по частям

36. Интегрир-ие с помощью разложения на элементарнве дроби

37. Определённый интеграл и его св-ва. Формула Ньютона-Лейбница

38. Применение опр. интегралов

39. Приближённый метод вычисления опр. интегралов

40. Несобственные интегралы

41. Ф-ии нескольких переменных. Понятие частных пр-ых и дифференциала

42. Экстремум ф-ий нескольких переменных

43. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.

44 Понятие ДУ и методы его решения.