Математическая теория захватывания

Математическая теория захватывания

Введение и краткое резюме

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы

с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие

движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию

таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно

замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление

заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к

периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы

"захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с

периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от

амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от

интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически

недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного

вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай

произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным

периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в

стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы,

например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе,

или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об

устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре,

которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно

близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр (

таким образом, чтобы при ( = 0 уравнение превращалось в линейное и

колебания делались синусоидальными. Этот параметр (, который мы

предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от

выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых

отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения

обладали "устойчивостью по Ляпунову".

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов,

с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по

Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и

4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие

формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть

применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается

случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми,

которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.

§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной

расстройки.

Уравнение, которое нас будет интересовать:

[pic]

При ( = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение

[pic]

Рассмотрим случай, когда ( бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем

искать решение (1) в следующем виде:

[pic]

Начальные условия выберем так:

[pic]

F2 - степенной ряд по (1 (2, ( начинающийся с членов второго порядка.

Подставим (3) в (1):

Сравнивая коэффициенты при (1 (2, ( получим уравнение для А, В, С.

Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).

[pic]

Решая задачи Коши, получим:

[pic]

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и

достаточно, чтобы [pic]

Введем обозначения [pic]; для остальных функций аналогично.

Тогда (6) запишется в виде:

[pic]

Если в этой системе можно (1 (2 представить в виде функции ( так, чтобы

(1 (2, ( исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения

(1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования

периодического решения при малых ( служит неравенство 0 Якобиана.

В нашем случае: [pic]

Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых ( и любых f. Искомое

периодическое решение может быть найдено в виде.

[pic]

§ 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем

замену: x = Ф(t) + ( ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие

квадраты и высшие степени ( и ('.

Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение

первого приближения:

Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами.

Его решение мы будем искать в виде [pic] [pic] функции времени[pic]

Удовлетворяют тому же уравнению, что и (, то есть (10). Начальные условия

для них определены следующим образом.

[pic]; аналогичным образом можно показать, что [pic] (11).

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по (.

[pic]

[pic]будем искать в виде: [pic] (12).

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях

(, получим:

[pic]

Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись

условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты

при соответствующих степенях (, получим

[pic]

Для В'о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия

будут нулевые. Итак:

[pic](14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

[pic](15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими

коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

[pic]

S1, S2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). (1, (2 -

характеристические показатели.

Если все [pic] , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется

теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение

уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре

характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:

[pic]=0 (16) Полагаем [pic];

[pic]

Тогда определитель будет:

[pic]

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re ((), или что

все равно ( (( . Если ( (( < 1 имеет место устойчивость ( (( = 1 этот

случай для нашей задачи не представляет интереса. ( ((> 1 имеет место

неустойчивость.

При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае

(-комплексные; ((2 (=q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость.

Случай второй - ( - действительные: [pic] ; (21) устойчивость соответствует

[pic] p и q нетрудно получить в виде рядов по степени ( из формул (19)

(12).

[pic](22)

Если принять во внимание (15)

[pic](22a)

[pic](23)

Мы видим, что при достаточно малом ( и ((n; n ( Z вопрос об устойчивости

решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место

устойчивость, b > 0 - неустойчивость.

В нашем случае b имеет вид:

[pic] (23a)

§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.

Тогда ((((о; (2 = 1+ aо (, (24) (aо , ( - расстройка , реальный физический

резонанс наступает при aо ( 0).

Тогда исследуемое уравнение имеет вид :

[pic] (25)

При ( = 0 периодическое решение будет иметь вид : [pic](26)

Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:

[pic] (27);

Начальные условия возьмем как и раньше:

[pic]

Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем

(27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при (1 (2, ( и других интересующих

нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F.

Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).

[pic] (29)

Запишем условия периодичности для (27):

[pic]

Делим на (:

[pic] ( 30a )

Необходимым условием существования периодического решения является:

[pic]

Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому

устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой

форме :

[pic]

(31)

Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0

детерминанта: (см. § 1).

[pic]

D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15).

Заметим, что (30) мы можем определить (1, (2, в виде рядов по степеням (.

Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.

[pic](33)

P,Q-определяются формулами (31) (32).

§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса

Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого

приближения, порожденное решением (33).

[pic]

Решение опять будем искать в виде [pic]. Однако нет необходимости

проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:

[pic]

Из формул (22) [pic] [pic] (34) , тогда [pic] ( - тот же Якобиан, что и

(32). Распишем его:

[pic]

[pic] (36)

[pic];

Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить ( в виде функции P, Q и aо.

Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

[pic] ; (37)

Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть

при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых ()

1) p2 - q < 0 [pic]

2) p2 - q > 0 [pic]

В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же

самое b < 0.

Во втором случае [pic] (*) последнее может быть выполнено только, если b <

0, а ( > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих

случаях является b < 0, ( > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).

§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории

захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика -

кубическая парабола.

Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в

цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin (1 t.

Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:

[pic] (39)

Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также,

что характеристикой является кубическая парабола:

[pic](40)

S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения [pic] .

Далее, вводя обозначения: [pic]

[pic]

Получим дифференциальное уравнение для х:

[pic] (41)

А: (случай далекий от резонанса).

Для него применяем результаты § 1, полагая[pic].

Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается

искомое решение следующее:

[pic]

Если ( > 1, т.е. (о > (1, то разность фаз равна 0, если ( < 1, то разность

фаз равна (. В этом отношении все происходит в первом приближении также,

как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b

< 0).

[pic](42).

Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.

В: (область резонанса , § 3, 4).

В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к

которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin

t + Q cos t (P, Q - const).

Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего

случая.

[pic]

Или преобразовав их, получим следующее:

[pic]

Полагая Р = R sin (; Q = R cos (. Далее найдем для амплитуды R и фазы ( для

того исходного периодического решения, в близости к которому

устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения

связывающие их :

[pic]

Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для

фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, ( > 0. Считаем b и (

через формулы (35-37).

[pic]

(46)

[pic]

Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В

заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине

захватывания для рассматриваемого случая.

1) [pic]

a0 - является общим корнем уравнений

[pic]

2) [pic]

Сама ширина ((, отсчитанная от одной границы захватывания до другой

выражается следующим образом: (( = aо (2о (MS - c r). Можно дать простые

формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:

а) (2о << 1; (( = (о Ро/Vоg.

б) для очень сильных сигналов [pic] ( Vоg - амплитуда сеточного напряжения

при отсутствии внешней силы).

Список литературы

1. Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.

2. Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание

трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.

3. Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]