Математический анализ. Регрессия

Математический анализ. Регрессия

y=a уравнение регрессии.

Таблица 1

|x |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |

|y |1.35 |1.09 |6.46 |3.15 |5.80 |7.20 |8.07 |8.12 |8.97 |10.66|

[pic]

Оценка значимости коэффициентов регрессии.

Выдвигается и проверяется гипотеза о том что истинное значение

коэффициента регрессии=0.

Для проверки гипотезы используется критерий Стьюдента.

[pic][pic] к-т является значимым и нулевую гипотезу отвергаем.

График 1

[pic]

[pic]- уравнение регрессии

Таблица 2

|x |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |

|y |1.35 |1.09 |6.46 |3.15 |5.80 |7.20 |8.07 |8.12 |8.97 |10.66|

[pic]

Запишем матрицу X

[pic]

[pic]

Система нормальных уравнений.

[pic]

Оценка значимости коэффициентов регрессии.

Для проверки нулевой гипотезы используется критерий Стьюдента..

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic][pic]

Коэффициент ai является значимости, т.к. не попал в интервал.

Проверка адекватности модели по критерию Фишера.

[pic]

[pic]

[pic][pic]

[pic]

[pic]

Критерий Фишера.

[pic]

[pic] отсюда линия регрессии адекватна отраксает исходную информацию,

гипотеза о равенстве мат. Ожиданий отвергается.

Проверка адекватности модели по коэффициенту детерминации или множественная

корреляция.

[pic]

[pic] регрессионная модель адекватна

Коэффициент множественной корреляции:

[pic]

[pic]

Таблица 3

|x |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |

|y |1.35 |1.09 |6.46 |3.15 |5.80 |7.2 |8.07 |8.12 |8.97 |10.66|

Приведем квадратное уравнение к линейной форме:

[pic];[pic]

[pic]

Запишем матрицу X.

[pic]

Составим матрицу Фишера.

[pic]

[pic]

[pic]Система нормальных уравнений.

[pic]

Решим ее методом Гаусса.

[pic]

Уравнение регрессии имеет вид:

[pic]

Оценка значимости коэффициентов регрессии.

Для проверки нулевой гипотезы используем критерий Стьюдента.

[pic] [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic][pic]

[pic][pic]

[pic]

[pic]

Коэффициенты [pic] значимые коэффициенты.

Проверка адекватности модели по критерию Фишера.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] гипотеза о равенстве математического ожидания отвергается.

Проверка адекватности модели по коэффициенту детерминации или множественной

корреляции.

Коэффициент детерминации :

[pic]

[pic]- регрессионная модель адекватна.

Коэффициент множественной корреляции [pic]

Таблица 4

|x|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |

|y|0,75|1,8|2,9|4,1|5,|6,|7,|8,5|9,|10,|

| | |7 |9 |1 |23|35|47|9 |71|83 |

График 2

[pic]

Таблица 5

|x |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |

|y |16.5|20.8|25.8|31.6|38.3|45.8|54|63.0|72.|83.53|

| |7 |1 |5 |9 | | | |5 |9 | |

График 3

[pic]

Использование регрессионной модели

[pic]для прогнозирования изменения показателя

[pic]

Оценка точности прогноза.

[pic]

Построим доверительный интервал для заданного уровня надежности.

[pic]

[pic]

С вероятностью 0,05 этот интервал покрывает истинное значение

прогноза [pic]

График 4

[pic]

[pic]

Оценка точности периода.

[pic]

Построим доверительный интервал.

[pic]

График 5

[pic]