Математический анализ

Математический анализ

§ 1. Числовые функции

Понятие функции является одним из основных в математике. С его

помощью выражают зависимости между различными переменными величинами.

Изучение свойств функций, основанное на методе пределов, составляет

содержание математического анализа.

1. Определение

Пусть [pic]- некоторое числовое множество, и пусть каждому

элементу [pic] поставлено в соответствие число [pic]. Тогда говорят,

что на множестве [pic] определена числовая функция. Функцию обозначают

некоторым символом, например [pic], и пишут

[pic]. (1)

Множество [pic] называется областью определения функции [pic], [pic]

- ее аргументом, а [pic] - значением функции в точке [pic].

Используются также обозначения: [pic] для области определения и [pic]

для множества значений функции.

Графиком функции [pic] называется множество всех точек

координатной плоскости вида [pic], где [pic]. График дает наглядное

представление о поведении функции, однако более удобным в

теоретических исследованиях является аналитический способ задания

функций с помощью формул. На практике используют также табличный

способ, когда значения функции указываются для отдельных значений

аргумента.

В качестве области определения функции могут выступать различные

числовые множества, например:

а) отрезок [pic];

б) интервал [pic];

в) полуинтервалы [pic] или [pic];

г) бесконечные полуинтервалы [pic] или [pic];

д) множество всех действительных чисел R =[pic].

Под областью определения функции, заданной формулой, понимают

обычно множество всех значений аргумента, для которых эта формула

имеет смысл.

Примеры. 1) Для функции [pic] область определения и множество

значений

имеют вид: [pic], [pic]; график функции представлен на рис. 1.

Рис. 1.

2) Для функции [pic]имеем [pic], [pic]; график функции

изображен на рис. 2.

Рис. 2.

3) Для функции [pic] имеем: [pic],

[pic]; ее график приведен на рис. 3.

Рис. 3.

2. Основные элементарные функций

Напомним определения и свойства некоторых элементарных функций,

известные из школьного курса математики. В каждом случае укажем

аналитическое выражение и область определения функции, приведем ее

график.

а) Линейная функция:

[pic]R,

где [pic] и [pic] – некоторые постоянные (числа); график – прямая с

угловым коэффициен-

том [pic] ([pic], где [pic] – угол наклона прямой к оси [pic]):

Рис.4.

б) Квадратичная функция:

[pic]R,

Рис. 5.

где [pic], [pic], [pic] - постоянные коэффициенты; график – парабола,

ее расположение существенно зависит от величины

[pic],

называемой дискриминантом функции, и от знака первого коэффициента

[pic]:

в) Обратно пропорциональная зависимость:

[pic],

где [pic] - постоянная. График – гипербола:

Рис. 6.

г) Степенная функция:

[pic],

где [pic] и [pic] - постоянные; область определения существенно

зависит от [pic]. В п. в) рассмотрен случай [pic], а в примере 1 -

случай [pic]. Приведем еще графики функций для [pic] и [pic]:

Рис. 7.

е) Показательная функция:

[pic]R,

где [pic] - постоянная; график в зависимости от значения [pic] имеет

вид:

Рис. 8.

Все перечисленные здесь функции, а также логарифмическая,

тригонометрические и обратные тригонометрические функции основными

элементарными функциями.

3. Сложная функция

Пусть заданы функции [pic] и [pic], причем множество значений

функции [pic] принадлежит области определения функции [pic]: [pic].

Тогда можно определить сложную функцию

[pic],

называемую также композицией функций [pic] и [pic].

Пример. Из функций [pic] и [pic] с помощью указанной операции

можно составить две сложные функции: [pic]и [pic].

Используя операцию композиции, можно из основных элементарных

функций, получать новые функции, также называемые элементарными.

Вообще, элементарной функцией называют функцию, которую можно получить

из основных элементарных функций с помощью конечного числа

арифметических операций и композиций.

Пример. Функция [pic] (читается: “модуль [pic]”) является

элементарной, так как для всех [pic]R справедливо представление [pic].

График этой функции приведен на рис. 9.

Рис. 9.

4. Обратная функция

Рассмотрим функцию [pic] с областью определения [pic] и

множеством значений [pic]. Предположим, что для любого [pic] уравнение

[pic] имеет единственное решение[pic]. Тогда на множестве [pic] можно

определить функцию, сопоставляющую каждому [pic] такое значение [pic],

что [pic]. Эту функцию называют обратной для функции [pic] и

обозначают [pic]:

[pic].

Функцию, у которой существует обратная функция, назовем

обратимой.

Обозначая, как обычно, аргумент функции через [pic], а значение

функции через [pic], можно записать

[pic].

Поскольку взаимная перестановка переменных [pic] и [pic] равносильна

переобозначению координатных осей, можно показать, что график функции

[pic] симметричен графику функции [pic] относительно биссектрисы

первого и третьего координатных углов (то есть относительно прямой

[pic]).

Примеры. 1) Для линейной функции [pic] обратная функция также

линейна и имеет вид [pic]. Меняя местами [pic] и [pic], получаем

[pic]. Графики исходной и обратной функций приведены на рис. 10.

Рис. 10.

2) Для функции [pic], [pic], множество значений имеет вид [pic].

Для каждого [pic] уравнение [pic] имеет единственное решение [pic].

Поменяв местами [pic] и [pic], получим [pic], [pic]. Графики функций

приведены на рис. 11 .

Рис. 11.

Рис. 11.

3) Обратной к показательной функции [pic] является

логарифмическая функция [pic]. На рис. 12 представлены графики

функций [pic] и [pic] .

Рис. 12.

Упражнения

1. Найти области определения следующих функций:

1) [pic];

2) [pic];

3) [pic];

4) [pic];

5) [pic];

6) [pic];

7) [pic];

8) [pic];

9) [pic];

10) [pic];

11) [pic];

12) [pic];

13) [pic];

14) [pic];

15) [pic];

16) [pic];

17) [pic];

18) [pic];

19) [pic];

20) [pic];

21) [pic];

22) [pic].

2. Построить графики функций:

1) [pic],

2) [pic];

3) [pic];

4) [pic];

5) [pic],

6) [pic];

7) [pic];

8) [pic];

9) [pic];

10) [pic];

11) [pic];

12) [pic];

13) [pic];

14) [pic];

15) [pic].

3. Найти функции обратные к функции [pic], указать их области

определения и построить графики:

1) [pic];

2) [pic];

3) [pic], [pic];

4) [pic], [pic];

5) [pic], [pic];

6) [pic];

7) [pic];

8) [pic];

9) [pic];

10) [pic].

Ответы

1.

1) [pic];

2) [pic];

3) [pic];

4) [pic];

5) [pic] R;

6) [pic] R;

7) [pic];

8); [pic]

9) [pic];

10) [pic];

11) [pic];

12) [pic];

13) [pic];

14) [pic] R;

15) [pic];

16) [pic];

17) [pic];

18) [pic];

19) [pic];

20) [pic];

21) [pic];

22)[pic].

.

3.

1) [pic], [pic]R;

2) [pic], [pic] R;

3)[pic], [pic];

4) [pic], [pic];

5) [pic], [pic];

6) [pic], [pic];

7) [pic], [pic];

8) [pic];

9) [pic], [pic];

10) [pic], [pic] R.

-----------------------

[pic]