Математический анализ

Математический анализ

1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.

Множество - совокупность некоторых объектов

Элементы множества - объекты составляющие множество

Числовые множества - множества элементами которых являются числа.

Задать множество значит указать все его элементы:

1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...

A={а-Р(а)} равноценны

Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по

отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых

предикат истина.

2 Способ: Конструирование из других множеств:

AЪB = {c: cОA Ъ cОB}, AЩB = {c: cОA Щ cОB}, A\ B = {c: cОA Щ сПB}

U - универсальное множество (фиксированное)

UіA; U \ A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)

Свойства:

1. AЪ(BЪC)=(AЪB) ЪC - ассоциативность; AЪB=BЪA - коммутативность; AЪЖ=A;

AЪU=U

2. AЪ (BЩC)=(AЪB) Щ(AЪC) & AЩ (BЪC)=(AЩB) Ъ(AЩC) - дистрибутивность; АЩЖ=А

A” =A - закон исключающий третьего (AЪB)’=A’ЩB’; (AЩB)’=A’ЪB’; AЩA’= Ж

Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.

"=>" cО(AЪB)’ => cПAЪB => cПA & cПB => cО A’ & cОB’ => cОA’ЩB’

"<=" cОA’ЩB’ => cОA’ & cОB’ => cПA & cПB => cПAЪB => cО(AЪB)’

Отображение множеств:

f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)

aОA; bОB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b

при отображении f

Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В,

значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f ЈB)

Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im

Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в

разные)

Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)

Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества

равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно -

взаимооднозначно.

Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)

Теорема: Множество Q счетно.

Докозательство: Q=[pic]

Лемма 1: " nОN Z/n - счетно.

Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:

10®0/n 5®-2/n

2®+1/n 6®+3/n

3®-1/n 7®-3/n

4®+2/n ...

Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа

счетных множеств - счетно.

А1={а11, а12, а13,...}

А2={а21, а22, а23,...}

А3={а31, а32, а33,...}

...

Применяем диагональную нумерацию (а11 - 1; а21 - 2; а12 - 3; а31 - 4; а22

- 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из

таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа

счетных множеств - счетно.

Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через

полуокружность и лучи)

Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно

2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью.

Плотность Q в R.

Действительные числа - множество чисел вида [a0],а1 a2 а3... где а0ОZ

а1,а2,а3,... О{0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

[ао],а1 а2 а3...ак (0) = ао + а1/10 + а2/100 + ... +ак/10k = [ао],а1 а2

а3...а’к (9), где а’к=ак-1

х=[хо],х1 х2 х3...хк...

у=[уо],у1 у2 у3...ук...

х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо],х1 х2 х3...хк

у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо],у1 у2 у3...ук + 1/10k

х’к+1 > х’к (х’к - монотонно растет)

у”к+1 Ј у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к=[уо],у1 у2 у3...ук + 1/10к

у”к+1 = [уо],у1 у2 у3...ук ук+1 + 1/10к+1

у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1 і 0

10 - ук+1 - 1 / 10к+1 і 0

9 і ук+1

Определение: 1) х > у <=> $ к: х’к > у”к

2) х = у <=> х’к не> у”к & у”к не> х’к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)" х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Док-во (2): х>у у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’nіх’к>у”кіу”n у’nі у’m>z”mіz”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АМR и " х,уОR $ аОА: х<а<у, то А плотно в R

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х > у х’к > у”к х і х’к у”к і у

х і х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ОQ

3.Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1«х1=[х1], х11 х12 х13... |

2«х2=[х2], х21 х22 х23... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3«х3=[х3], х31 х32 х33... |

... | (*)

к«хк=[хк ], хк1 хк2 хк3... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с1 с2 с3...

[с]№[х1] => с№х1

с1 П {9;х21} => с№х2

с2 П {9;х32} => с№х3

...

ск П {9;хк+1к} => с№хк

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)

5.Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0№АНR; 2) " aОA, " bОB: а<b; 3) АИB=R, тогда $! сОR: " aОA, "

bОB: аЈсЈb

Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда

одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)

2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс),

В называют верхним множеством сечения (верхний класс)

Доказательство:

" aОA, " bОB: а<b => A ограничено сверху => $ SupA=m => "bОB: bіm => B

ограничено снизу =>$ InfB=n, mЈn

Докажем, что m = n:

Пусть m<n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что $ сОQ: m<c<n =>

cПА & cПВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что mЈn

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим аЈсЈb

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть $с’№с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. "с’>с (с’<с)

найдется такое b(a), что b<c’ (a>c’)-противоречие с "aОA, "bОB: аЈсЈb

8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если $n0: "n>n0 xNЈyNЈzN и $ Lim xN=x, $ Lim zN=z, причем x=z, то $ Lim

yN=y => x=y=z.

Доказательство: "n>n0 xNЈyNЈzN

Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ xNО(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” zNО(х-

Е,х+Е) => "n>max{n0,n’,n”} yNО(x-E,x+E)

4. Верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение: АМR mОR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аОА аЈm (аіm).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое

m, что " аОА, выполняется аЈm (аіm).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) " m’: m’<m => m’ не

верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) " n’: n’>n => n’ не нижняя

грань A

Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) " aОA aЈm

2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE>a-e

InfA = n называется число, такое что: 1) 1) " aОA

aіn

2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE<a+e

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АМR, имееет точную

верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань

А.

[m]=max{[a]:aОA} [[m],[m]+1]ЗA№Ж=>[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m1=max[10*{a-[m]:aОA}]

m2=max[100*{a-[m],m1:aОA}]

...

mк=max[10K*{a-[m],m1...mK-1:aОA}]

[[m],m1...mK, [m],m1...mK + 1/10K]ЗA№Ж=>[m],m1...mK + 1/10K - верхняя

грань A

Докажем, что m=[m],m1...mK - точная верхняя грань и что она единственная:

"к: [m’K,m”K)ЗA№0; "к "аОА: а<m”K

Единственность(от противного):

аОА, пусть а>m”K => $ к: а’K>m”K => аіа’K>m”K - это противоречит

ограниченности => aЈm

Точная верхняя грань:

Пусть l<m, тогда $ к: m’K>l”K, но так как "к [m’K,m”K) ЗA№0 => $

аО[m’K,m”K) => а>l =>l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АМR, имееет точную

нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аОА}, оно ограничено сверху и не пусто => $

-SupB=InfA

6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность аN называется бесконечно малой (бм) если ее

предел равен нулю ("Е>0 $ n0: n>n0 |аN|<Е)

Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм

последовательностью.

Доказательство: Пусть Lim aN=Lim bN=0, cN=aN+bN, dN=aN-bN. Так как вне

любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит

конечное число членов последовательности aN, т.е. $ n’: "n>n’: |aN|<Е/2.

Аналогично $ n”: "n>n”: |bN|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен

ства |aN|<Е/2 & |bN|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем:

|cN|=|aN+bN|Ј|aN|+|bN|<E/2 + E/2 = E => |dN|=|aN-bN| Ј |aN|+|bN|<E/2 + E/2

= E

Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности - бм

последовательность.

Доказательство: Пусть aN - бм посл-ть, bN - ограниченная посл-ть zN=aN*bN.

Т.к. bN - ограниченная посл-ть, значит $ такое с: |bN|Јс№0

Т.к. aN - бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в частности

Е/с)лежит конечное число членов посл-ти aN, т.е. $ n0: "n>n0

|aN|<Е/с.Таким образом "n>n0: |zN|=|aN*bN|=|aN|*|bN|<Е/с * с=Е

Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть

Теорема: Пусть aN - бм. Если $ n’: "n>n’ последовательностьть |bN|ЈaN => bN

- бм

Доказательство: aN - бм => $ n”: "n>n”: |aN|<Е. Для n>=max{n’,n”}

|bN|Ј|aN|<Е

Определение: Последовательность аN называется бесконечно большой (бб) если

"Е>0 $ n0: n>n0 |аN|>Е)

Теорема: Если aN - бм, то 1/aN - бб последовательностьть, обратное тоже

верно.

Доказательство:

"=>" aN-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е)

находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n0: "n>n0 |aN|<1/E

=>1/|aN|>Е.

"<=" 1/|aN| - бб последовательность => "Е>0 $ n0: "n>n0 1/|aN|>1/Е =>

|aN|<Е

Теорема: Пусть aN - бб. Если $ n’: "n>n’ последовательность bNі|aN| => bN -

бб.

Доказательство: aN - бб => $ n”: "n>n” |aN|>Е. Для n>max{n’,n”} bNі|aN|>Е

7.Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности aN если разность

aN-a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim aN=a, то |aN-a|<Е. Пусть aN=aN-a. |aN|=|aN-a|<Е

Обратное: Пусть aN=aN-a, т.к. aN - бм => |aN|ЈЕ. |aN|=|aN-a|<Е

Теорема: Если Lim xN=x, Lim yN=y, то:

1. $ Lim (xN+yN) и Lim (xN+yN)=х+у

2. $ Lim (xN*yN) и Lim (xN*yN)=х*у

3. "n yN№0 & y№0 => $ Lim (xN/yN) и Lim(xN/yN)=х/у

Доказательство:

Пусть xN=х+aN, aN - бм; yN=у+bN, bN - бм

1) (xN+yN)-(х+у)=aN+bN (По теореме о сумме бм: aN+bN - бм => (xN+yn)-(х+у)-

бм, дальше по предложению)

2) xN*yN - х*у = х*aN+у*bN+aN*bN (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм

посл-тей на огр. посл-ти получаем: xN*yN - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) xN/yN - х/у = (у*aN-х*bN) / (у*(у+bN))= (у*aN-х*bN) * 1/у * 1/уN

доказательство сводится к доказательству утверждения: если уn - сходящаяся

не к 0 посл-ть, то 1/уN тоже сходящаяся последовательность: Lim уN=y => по

определению предела получаем $ n0: "n>n0 |уn-у|<у/2 (Е=y/2), что

равносильно неравенству: у-у/2<уN<у/2+у, откуда получаем:

|уN|іуN>у/2.|уN|>у/2=>1/|уN|<2/у => "n: 1/|уN|Јmax{2/у, 1/у1,

1/у2,...1/уno}

Теорема: Если хN сходится к х, yN сходится к у и $ n0: "n>n0

последовательность хNЈуN, то хЈу

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в частности

Е<(у-х)/2): $n’: "n>n’ |xN-x|<E и $n”: "n>n” |yN-y|<E. Получаем

"n>max{n’,n”} все члены посл-ти xN будут лежать в Е-окрестности точки х, а

все члены посл-ти уN будут лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)З(у-Е,у+Е)=Ж. И т.к мы предположили, что х>у, то "n>max{n’,n”}:

хN>уN - противоречие с условием => хЈу.

5. Определение предела последовательности и его единственность.

Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если каждому элементу хОХ

сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уОУ, то говорят, что

на множестве Х определена функция f и пишут f:Х®У или х® (f(х)| хОХ).

Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со

значениями во мн-ве R f:N®R. Значение такой ф-ции в (.) nОN обозначают аN.

Способы задания:

1) Аналитический: Формула общего члена

2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности

начиная с некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани

обычно указывают первый член (или нсколько начальных членов) и формулу,

позволющкю определить любой член последовательности через предидущие.

Пример: а1=а; аN+1=аN + а

3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: аN = n-ый

десятичный знак числа Пи

Определение: Число а называется пределом последовательности аN, если "e>0 $

n0: "n>n0 выполняется неравенство |аN-a|<e. Обозначение Lim aN=a.

Если не существует числа а, являющегося пределом посл-ти, то говорят что

последовательность расходится, если существует, то сходится (к числу а).

Геометрически существование предела последовательности означает, что любой

интервал вида (а-e,а+e), называемый эпсилон-окрестностью точки а,

содержит все члены последовательности аN начиная с некоторого номера, или

что то же самое, вне любой эпсилон-окрестности точки а находится ко нечное

число членов последовательности аN.

Определение: Число а назывется пределом посл-ти аN если вне всякой

окрестности точки а содержится конечное число членов последова тельности.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство(от противного):

Пусть последовательность аN имеет предел а и предел с, причем а№с. Выберем

такой эпсилон, чтобы пересечение эпсилон-окрестностей точек а и с бы ло

пусто. Очевидно достаточно взять эпсилон меньше |а-с|/2. Вне окрестности

точки а содержится конечное число членов последовательности => в ок

рестности точки с содержится конечное число членов последовательности -

противоречие с условием того, что с - предел последовательности.

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон,

вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо

вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все

члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь

ность ограничена.

Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)N, ограничена но не сходится)

2) Если существует предел последовательности аN, то при

отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.

Порядковые свойства пределов:

Теорема о предельном переходе: Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хNЈyN,

тогда xЈy

Доказательство(от противного):

Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|<E(берем Е<|х-

у|/2): & $ n0”: "n>n0” |yN-y|<E. "n>max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-

у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-

Е,у+Е)З(х-Е,х+Е)=Ж. "n>max{n0’, n0”} хNО(х-Е,х+Е) & уNО(у-Е,у+Е) учитывая,

что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.

Теорема: Если $n0: "n>n0 aNЈbNЈcN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то

$ Lim bN=b => a=b=c.

Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN<(a+E) & $

n”: "n>n” => (a-E)<aN. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)<aNЈbNЈcN<(a+E), т.е. "

n>max{n0,n’,n”}=>bNО(a-E,a+E)

9. Предел монотонной последовательности

Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей

(убывающей) если " n1>n2 (n1<n2): xN1іxN2 (xN1ЈxN2).

Замечание: Если xN1 строго больше (меньше) xN2, тогда посл-ть называется

строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае нестрогости неравенства

последовательность называется нестрого возрастающей (убывающей).

Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Доказательство: Пусть хN ограниченная монотонно возрастающая

последовательность. Х={xN: nОN}

По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества

имеем: $ SupX=x, "Е>0 $xE: (х-Е)<хE => $ n0 xNo>(х-E). Из монотон ности

имеем: "n>n0 xNіxNo>(x-E), получили xNЈx=SupX, значит "n>n0 xNО(x-E,х]<(x-

E,x+E)

10.Лемма о вложенных промежутках

Определение: Пусть а,bОR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются

числовыми промежутками:

1) Mножество хОR: аЈхЈb (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хОR: аЈх<b (а<хЈb) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хОR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хОR: аЈх & хЈb - числовой луч

5) Mножество хОR - числовая прямая

Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым

концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a

Лемма: Пусть aN монотонно возрастает, bN монотонно убывает, "n aNЈbN и (bN-

aN)-бм, тогда $! с: "n cО[aN,bN] (с З[aN,bN])

Доказательство:

aNЈbNЈb1 aN монтонно возрастает & aNЈb1 => $ Lim aN=a

a1ЈaNЈbN bN монтонно убывает & a1ЈbN => $ Lim bN=b

aNЈa bЈbN aNЈbN => aЈb

Lim (bN-aN)=b-a=0(по условию)=>a=b

Пусть c=a=b, тогда aNЈcЈbN

Пусть с не единственное: aNЈc’ЈbN, с’№с

aNЈcЈbN=>-bNЈ-cЈ-aN => aN-bNЈc’-cЈbN-aN => (По теореме о предельном

переходе) => Lim(aN-bN)ЈLim(c’-c)ЈLim(bN-aN) => (a-b)ЈLim(c`-c)Ј(b-a) =>

0Јlim(c`-c)Ј0 => 0Ј(c`-c)Ј0 => c’=c => c - единственное.

Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в

друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки

промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так

что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих

промежутков стремятся к 0 при n®Ґ lim(bN-aN)=0, тогда концы промежутков aN

и bN стремятся к общему пределу с (с разных сторон).

42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению

наибольших и наименьших значений.

Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x0О(a;b). Точка x0,

называется точкой локалниого min(max), если для всех xО(a;b), выполняется

f(x0)<f(x) (f(x0)>f(x)).

Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0. Если эта

производная f‘(x0)>0(f‘(x0)<0), то для значений х, достаточно близких к x0

справа, будет f(x)>f(x0) (f(x)<f(x0)), а для значений x, достаточно близких

слева, будет f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0)).

Доказательство: По определению производной,[pic].

Если f‘(x0)>0, то найдется такая окрестность (x0-d,x0+d) точки x0, в

которой (при х№x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)>0. Пусть x0<x<x+d, так что х-х0>0 =>

из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x0)>0, т.е. f(x)>f(x0). Если

же x-d<x<x0 и х-х0<0, то очевидно и f(x)-f(x0)<0, т.е. f(x)<f(x0). Ч.т.д.

Теорема Ферма: Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b)

и во внутренней точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее)

значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то необходимо

f‘(x0)=0.

Доказательство: Пусть для определенности f(x) принимает наибольшее значение

в точке x0. Предположение, что f‘(x0)№0, приводит к противоречию: либо

f‘(x0)>0, и тогда (по лемме) f(x)>f(x0), если x>x0 и достаточно близко к

x0, либо f‘(x0)<0, и тогда f(x)>f(x0), если x<x0 и достаточно близко к x0.

В обоих случаях f(x0) не может быть наибольшим значением функции f(x) в

промежутке I=(a;b) => получили противоречие => теорема доказана.

Следствие: Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на

[a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где

производной нет, либо она равна нулю.

43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении).

Теорема Ролля

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в

отткрытом промежутке (a;b)

3) на концах промежутка функция принимает равные значения:

f(a)=f(b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b), что f’(с)=0.

Доказательство: f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и потому, по

второй теореме Вейерштрасса (Если f(x), определена и непрерывна в замкну

том промежутке [a;b], то она достигает в этом промежутке своих точных

верхней и нижней границ), принимает в этом промежутке как свое наибольшее

значение M, так и свое наименьшее значение m.

Рассмотрим два случая:

1) M=m. Тогда f(x) в промежутке [a;b] сохраняет постоянное значение:

неравенство mЈf(x)ЈM в этом случае "x дает f(x)=M => f’(x)=0 во всем

промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (a;b).

2) M>m. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией

достигаются, но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в

некоторой точ ке с между a и b. В таком случае из теоремы Ферма (Пусть

функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней

точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если

функция f(x) дифференцируема в точке x0, то необходимо f‘(x0)=0) следует,

что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль.

Теорема Коши:

Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] & g(b)№g(a)

2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере

в отткрытом промежутке (a;b)

3) g’(x)№0 в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b), что [pic]

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию h(x)=[f(x) - f(a)

-[pic]*(g(x) - g(a))]

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) h(x) непрерывна на [a;b], как комбинация непрерывных функций

2) сущестует конечная производная h’(x) в (a;b), которая равна h’(x)=f’(x)

-[pic]*g’(x)

3) прямой подстановкой убеждаемся h(a)=h(b)=0

Вследствие этого в промежутке (a;b) существует такая точка с, что h’(x)=0

=> f’(c) -[pic]*g’(c) или f’(c) =[pic]*g’(c).

Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)№0) получаем требуемое

равенство.

Теорема Лагранжа:

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в

отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b), что [pic]

Доказательство: По теореме Коши, полагая g(x)=x, имеем: [pic]

Промежуточное значение с удобно записывать в виде с=а+q(b-a), где qО(0;1).

Тогда принимая x0=a, (b-a)=h, мы получаем следующее следствие:

Следствие: Пусть f(x) дифференцируема в интервале I=(a;b), x0ОI, x0+hОI,

тогда $ qО(0;1): f(x0+h)-f(x0)=f’(x0+qh)*h ([x0;x0+h] h>0, [x0+h;x0] h<0)

11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение: Пусть аN некоторая числовая посл-ть и kN-строго возрастающая

посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций n®aN и n®kN получа ем посл-

ть aKn-которая наз. подпосл-тью посл-ти aN=>подпосл-сть - это либо сама

посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim аN=а, то и Lim аKn=а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов

последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n0: "n>n0 |аN-а|<Е, ввиду

того что kN®Ґ существует и такое n’, что при всех n>n’ kN>n0 тогда при тех

же значениях n будет верно |аKn-а|<Е

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности

можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: хN - ограничена => "n: аЈхNЈb. Поделим промежуток [a,b]

пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество

членов посл-ти хN (в противном случае и во всем промежутке содержится

конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а1,b1] - та

половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично

выделим на промежутке [а1,b1] промежуток [а2,b2] также содержащий

бесконечное число членов посл-ти хN. Продолжая процесс до бесконечности на

к-том шаге выделим промежуток [аK,bK]-также содержащий содержащий бесконеч

ное число членов посл-ти хN. Длина к-того промежутка равна bK-аK = (b-

a)/2K, кроме того она стремится к 0 при ꮥ и аKіаK+1 & bKЈbK+1. Отсюда по

лемме о вложенных промежутках $! с: "n аNЈcЈbN.

Теперь построим подпоследовательность:

хN1 О[а1,b1]

хN2 О[а2,b2] n2>n1

. . .

хNKО[аK,bK] nK>nK-1

аЈхNkЈb. (Lim aK=LimbK=c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim хNk=c - ч.т.д.

12.Верхний и нижний пределы последовательности.

xN - ограниченная последовательность =>"n аNЈхNЈbN

хNK®х, так как хNK-подпоследовательность => "n аЈхNЈb =>аЈхЈb

х - частичный предел последовательности хN

Пусть М - множество всех частичных пределов.

Множество М ограничено (аЈМЈb) => $ SupM & $ InfM

Верхним пределом посл-ти xN называют SupM№Sup{xN}: пишут Lim xN

Нижним предел ом посл-ти xn называют InfM№Inf{xN}: пишут lim xN

Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.

Достижимость:

Теорема: Если хN ограничена сверху (снизу), то $ подпосл-ть хNK: предел

которой равен верхнему (нижнему) пределу хN.

Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел хN

$ х’ОМ: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’ОМ => $

подпоследовательность хNS®х’ => "Е>0 (в частности Е=1/к) $ s0: "s>s0 =>

х’-1/к<хNS<х’+1/к

х -1/к-1/к<х’-1/к<хNS<х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)

х-2/к<хNS<х+1/к

Берем к=1: х-2<хNS<х+1, т.е $ s0: "s>s0 это неравенство выполняется берем

член посл-ти хNS с номером больше s0 и нумеруем его хN1

k=1: х-2/1<хN1<х+1/1

k=2: х-2/2<хN2<х+1/2 n1<n2

...

k=k: х-2/к<хNK<х+1/к nK-1<nK

При ꮥ хNK®х

13.Фундаментальные последовательности.

Определение: Последовательность {аN} - называется фундаментальной, если

"Е>0 $ n0: "n>n0 и любого рОN выполнено неравенство |аN+р-аN|<Е.

Геометрически это означает что "Е>0 $ n0, такой что расстояние между любыми

двумя членами посл-ти, с большими чем n0 номерами, меньше Е.

Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть сходилась

необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Lim xN=x, тогда "Е>0 $ n0: "n>n0 |хN-х|<Е/2. n>n0,

n’>n0 |хN-хN’|=|хN-х+х-хN’|<|хN-х|+|х-хN’|<Е/2+Е/2<Е

Достаточность: Пусть хN - фундаментальная

1) Докажем что хN ограничена: Е1=1998 $ n0: |хN-хN’|<Е, n>n0, n’>n0

"n>n0 |хN-хN0|<Е1 х N0-1998<хN<х N0+1998 => хN - ограничена

2) По теореме Больцано-Вейерштрасса

$ подпосл-ть хNK®х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |хNK-х|<Е/2 и

одновременно nк>n0. Следовательно (из фунд-ти) |хN-хNK|<Е/2 =>

|хNK-х|<Е/2 => х-Е/2<хNK<х+Е/2 => |хN-хNK|<Е/2 => хNK-Е/2<хN<хNK+Е/2 => х-

Е<хN<х+Е => |хN-х|<Е

14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.

Формула Ньютона для бинома:

[pic]nОN[pic]

[pic]

[pic] Разложение Паскаля

[pic] (Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник

Паскаля)

...

[pic]

*: [pic]к=0,1,...,n

Доказательство(по индукции):

1) n=0 - верно (1+х)0=1 =>[pic](1+х)0 =[pic]

2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:

[pic]= [pic] Ч.т.д

[pic]

16.Последовательности [pic] (во всех пределах n®Ґ)

1) Lim[pic]= 0 (p>0)

[pic] - это означает что, мы нашли такое n0=[pic]: "n>n0 |[pic]|<E

2) Lim[pic]=1

xN=[pic] - 1

[pic]=1+xN

n=(1+xN)n

n=[pic]

xN2<2/(n-1)

[pic]При n®Ґ [pic]®0 => xN®0 (Лемма о зажатой

последовательности)=>Lim[pic]=Lim (1+xN)=1+0=1

16.Последовательность (1+1/n)n и ее предел.

xN=[pic]; yN=[pic]; zN=yN +[pic]

xN монотонно возрастает: докажем:

[pic]

xN=(1+1/n)n=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n2 +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! =

yN => yN<zN<3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)nі1+nx, x>-1) (доказывается по

индукции):

x=1/n => (1+1/n)nі1+n/n=2

Получили: 2 Ј xN<3 => xN - ограничена, учитывая что xN - монотонно

возрастает => xN - сходится и ее пределом является число е.

17. Последовательности [pic](во всех пределах n®Ґ)

1) Lim[pic]=1, a>0

a) aі1:

xN=[pic]xN+1=[pic][pic]=> $ Lim xN=x

xN+1=xN *[pic]

xN=xN+1 *[pic]

xN=xN+1*xN*(n+1)

Lim xN=Lim (xN+1*xN*(n+1)) => x = x*x => x = 1

б) 0<a<1 b=1/a xN=[pic]

Lim[pic]=1 b=1/a =>[pic]= 1/[pic]=> Lim[pic]= 1/1 = 1

2) Lim [pic]= 0, a>1

xN=[pic]xN+1=[pic]

[pic]т.к. Lim[pic]= Lim[pic]=Lim[pic]=1

[pic]=> $ n0: "n>n0 xn+1/xn<1 => СТ x=limxn

xN+1=xN*[pic]

Lim xN+1 = Lim xN*[pic] => x = x*1/a => x=0

Докажем, что если xN®1 => (xN)a®1:

a) "n: xNі1 и aі0

(xN) [a]Ј(xN)a<(xN)[a]+1 => по лемме о зажатой посл-ти, учитывая что Lim

(xN)[a]=Lim (xN)[a]+1=1 (по теореме о Lim произведения) получаем Lim (xN)a

=1

б) "n: 0<xN<1 и aі0

yN=1/xN => yn>1 Lim yN=lim1/xN=1/1=1 => (по (а)) Lim (yN)a =1 => lim

1/(xN)a =1 => Lim (xN)a =1

Объединим (а) и (б):

xN®1 a>0

xN1,xN2,...>1 (1)

xM1,xM2,...<1 (2)

Вне любой окрестности точки 1 лежит конечное число точек (1) и конечное

число точек (2) => конечное число точек xN.

в) a<0

(xN)a =1/(xN)- a a<0 => -a>0 => по доказанному для a>0 получаем, Lim

1/(xN)- a = 1 => Lim (xN) a = 1

15. Доказательство формулы e=...

yN=[pic]; zN=yN +[pic]

1) yN монотонно растет

2) yN<zN

3) zN-yN®0

4) zN монотонно убывает

Доказателство:

zN-zN+1 = yN +[pic] - yN+1 -[pic]= [pic]+[pic]-[pic]=[pic]

2=y1<yN<zN<z1=3

e = Lim yN = Lim zN - по лемме о вложенных промежутках имеем: yN<e<zN = yN

+ 1/(n*n!)

Если через qN обозначить отношение разности e - yN к числу 1/(n*n!), то

можно записать e - yN = qN/(n*n!), заменяя yN его развернутым выражением

получаем e = yN + qN/(n*n!), qО(0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mОZ, nОN

m/n = e = yN + qN/(n*n!)

m*(n-1)!= yN*n! + qN/n, где (m*(n-1)! & yN*n!)ОZ, (qN/n)ПZ => противоречие

23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.

Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при х®х0 если "Е>0 $d>0: 0<|х-

х0|<d & хОDf => |f(x)-А|<Е

Определение по Гейне: f(x) сходится к числу А при х®х0 если "

последовательности хN®х0, хN№х0 f(xN)®А

Теорема: Два определения эквивалентны:

Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из

сходимости по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне

следует сходимость по Коши.

1) (К)=>(Г)

"Е>0 $d>0: 0<|х-х0|<d & хОDf => |f(x)-А|<Е - определение Коши

хN®х0, хN№х0, т.к. хN®х0 => $ n0: "n>n0 0<|xN-x0|<Е (Е=d) => 0<|xN-x0|<d =>

по определению Коши |f(xN)-А|<Е

2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует

отрицание А, то из А следует В:

Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)

Отрицание (К): $ Е>0: "d >0 $ x: 0<|x-x0|<d => |f(x)-A|іE

Отрицание (Г): $ хN®х0, хN№х0: |f(xN)-A|іE

$ хN®х0, хN№х0 => $ n0: "n>n0 0<|xN-x0|<Е (Е=d) => по отрицанию определения

Коши |f(xN)-А|іЕ

Для ф-ции х®f(х) определенной на интервале (а,+Ґ), определяется предел при

хN®Ґ следующим образом: limf(х) при хN®Ґ = Limf(1/t) t®+0

(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при хN®-

Ґ = Lim f(1/t) t®-0 и хN®Ґ = lim f(1/t) t®0

24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение

непрерывности.

Lim(х0±|h|) при h®0 - называется односторонним правым (левым пределом) ф-

ции f(x) в точке х0

Теорема: Пусть интервал (x0-d,x0+d)\{x0} принадлежит области определения ф-

ции для некоторго d>0. Тогда Lim f(x) в точке х0 существует <=> когда

cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х0 и они равны между собой.

Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => "Е>0 $ d >0: -d<х-

х0<d => |f(х)-А|<Е, т.е. $ такое d, что как только х попадает в d-

окрестность точки x0 сразу f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А). Если х

попадает в интервал (0, x0+d) => x попадает в интервал (x0-d,x0+d) => f(х)

попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен

А. Если х попадает в интервал (x0-d,0) => x попадает в интервал (x0-d,x0+d)

=> f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и

он равен А.

Достаточность: Lim (х0±|h|) при h®0: Lim(х0+|h|) = Lim(х0-|h|)=А

"Е>0 $ d’ >0: 0<х-х0<d’ => |f(х)-А|<Е

"Е>0 $ d” >0: -d”<х-х0<0 => |f(х)-А|<Е

Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d <х-хо<d => |f(х)-А|<Е

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 если при х®х0

Lim f(х)=f(х0). Заменяя в определениях предела фнкции по Коши и по Гейне А

на f(х0) получаем определения по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в

точке х0. Поскольку в опр-нии по Коши нер-во |f(х)-f(х0)|<Е выполнено и при

х=х0 => в определении можно снять ограничение х№х0 => получим второе

равносильное определение:

Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если "Е>0

$d>0: -d <х-хо<d => |f(х)-f(а)|<Е

Аналогично сняв ограничение х№х0 - получим определение по Гейне:

Определение 3: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если " посл-

ти хN®х0, f(xN)®f(a)

Если при х®х0 limf(х)№f(х0), то говорят что функция f(x) имеет разрыв в

точке х0. Это происходит если:

а) f(х) неопределена в точке х0

б) Предел f(х) в точке х0 не существует

в) f(х) определена в х0 и limf(х) в точке х0 существует но равенство Дшь

f(х)=f(а) не выполняется

Различают:

1) точки разрыва I рода, для которых существуют конечные односторонние

пределы (либо они неравны друг другу либо равны, но неравны f(х0)

2) точки разрыва II рода - не существует хотя бы один односторонний предел.

Если правый и левый предел в х0 совпадают, то х0 называют устранимой точкой

разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то х0 -

точка бесконечного разрыва.

Пусть x0 - точка разрыва, x0 называется изолированной, если в некоторой

окрестности этой точки других точек разрыва нет.

Если значение правого (левого) предела в точке х0 совпадает со значением

f(x0), то f(x) называется непрерывной справа (слева).

Если предел f(x) справа (слева) в точке х0 не существует, а предел слева

(справа) существует и равен значению f(х0), то говорят что функция f(x)

имеет в точке х0 разрыв справа (слева). Такие разрывы называют

односторонними разрывами f(x) в точке х0.

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в

каждой точке х этого множества.

26. Арифметика пределов функций. Порядковые свойства пределов.

Теорема: Все пределы в точке х0: Пусть ф-ции f:Х®R и g:Х®R (ХНR) таковы,

что Lim f(x)=F, Lim g(x)=G, тогда

1) Lim f(x) ± Lim g(x) = F±G

2) Lim f(x)*Lim g(x) = F*G

3) Если G№0 и g(x)№0 Limf (x) / Lim g(x) = F/G

Доказательство:

1) "Е>0(в частности Е/2) $d’>0: -d’<х-х0<d’ => |f(х)-F|<Е & $d”>0: -d”<х-

х0<d” => |g(х)-G|<Е

Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d<х-х0<d =>-Е/2 - Е/2<f(х)-F+g(х)-G<Е/2 +

Е/2 => |(f(х)+g(х))-(F+G)|<Е

2) Пусть посл-ть хN®х0 (хN№х0, xNОX), тогда в силу определения предела по

Гейне имеем: при n®Ґ Lim f(xN)=F & Lim g(xN)=G по теореме об арифметике

пределов посл-тей получаем: при n®Ґ Lim f(xN)*g(xN)=Lim f(xN)*Lim g(xN)=

F*G => по определению предела по Гейне при х®х0 Lim f(x)*Lim g(x)=F*G

3) Пусть посл-ть хN®х0 (хN№х0, xNОX), тогда в силу определения предела по

Гейне имеем: при n®Ґ Lim f(xN)=F & Lim g(xN)=G по теореме об арифметике

пределов посл-тей получаем: при n®Ґ Lim f(xN)/g(xN)=Lim f(xN)/Lim g(xN)=F/G

=> по определению предела по Гейне при х®х0 Lim f(x)/Lim g(x)=F/G, G№0 и

g(x)№0.

Порядковые свойства пределов:

Теорема: Если " хОX: f(x)Јg(x), при х®х0 A=Lim f(x), B=Lim g(x), то AЈB

Доказательство(от противного):

Пусть A>B => из определения предела следует (берем 0<Е<|A-B|/2): $d’>0: |х-

х0|<d’ => |f(x)-A|<E & $d”>0: |х-х0|<d” => |g(х)-B|<Е.

Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х0|<d => |f(x)-A|<|A-B|/2 & |g(х)-B|<|A-

B|/2, учитывая что А>В и что (А-Е,А+Е)З(В-Е,В+Е)=Ж, получаем что для

хО(х0-d, х0+d) f(x)>g(x) - противоречие с условием.

Теорема: Если " хОX: f(x)Јg(x)Јh(x) и при х®х0 Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim

g(x)=А

Доказательство:

"Е>0 $d’>0: |х-х0|<d’ => A-E<f(x) & $d”>0: |х-х0|<d” => h(х)<A+Е.

Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х0|<d => A-E<f(x) & h(x)<A+E, так как "

хОX: f(x)Јg(x)Јh(x) => A-E<f(x)Јg(x)Јh(x)<A+E => A-E<g(x)<A+E

27. Непрерывность тригонометрических функций. Предел (Sin x)/x при х®0.

1) Sin x:

Lim Sin x = Sin x0 (при х®х0)

|Sin x-Sin x0|=2*|Sin((x-x0)/2)|*|Cos((x+x0)/2)| < 2*|(x-x0)/2|=|x-x0| =>

-|x-x0|<Sin x-Sin x0<|x-x0| при х®х0 => -|x-x0|®0 & |x-x0|®0 => (по теореме

о порядковых св-вах предела) (Sin x-Sin x0)®0

2) Cos x:

Lim Cos x = Cos x0 (при х®х0)

Cos x = Sin (П/2 - x) = Sin y; Cos x0 = Sin (П/2 - x0) = Sin y0

|Sin y-Sin y0|=2*|Sin((y-y0)/2)|*|Cos((y+y0)/2)| < 2*|(y-y0)/2|=|y-y0| =>

-|y-y0|<Sin y-Sin y0<|y-y0| при y®y0 -|y-yo|®0 & |y-yo|®0 => (Sin y-Sin

y0)®0 => производим обратную замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x0)]®0 =>

(Cos x-Cos x0)®0

3) Tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кОZ

4) Ctg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кОZ

Теорема: Lim (Sin x)/x=1 (при х®0), 0<x<П/2

Доказательство:

[pic]

Составляем нер-во для площадей двух треугольников и одного сектора

(Sсект=х*R2) откуда и получаем Sinx<x<Tgx, 0<x<П/2. => Cos x < (Sin x)/x <

1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos xЈLim (Sin

x)/xЈ1 при x®0, 0<x<П/2. Испльзуем непрерывность Сos1ЈLim (Sin x)/xЈ1 =>

Lim (Sin x)/x =1, 0<x<П/2

28.Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

Определение: Пусть а,bОR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются

числовыми промежутками:

1) Mножество хОR: аЈхЈb (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хОR: аЈх<b (а<хЈb) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хОR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хОR: аЈх & хЈb - числовой луч

5) Mножество хОR - числовая прямая

Теорема: Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и с - произвольное число лежащее

между f(а) и f(b), тогда существует х0О[a,b]: f(х0)=c.

Доказательство: g(х)=f(х)-с (g(x) - непрерывна). g(а)*g(b)<0

Поделим промежуток [a,b] пополам, если в точке деления g((а+b)/2)=0, то

полагая х0=(а+b)/2 видим что теорема доказана (g(х0)=f(х0)-с=0 => f(х0)=с).

Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из

двух полученных промежутков тот, для которого g(а1)*g(b1)<0, делим его

пополам если в точке деления функция g(x) обращается в ноль => теорема

доказана. Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда

выбираем из двух полученных промежутков тот для которого g(а2)*g(b2)<0...

продолжая процесс до бесконечности мы либо получим на каком-либо шаге что ф-

ция g(x) обращается в ноль, что означает что теорема доказана, либо получим

бесконечное число вложенных друг в друга промежутков. Для n-го промежутка

[aN,bN] будем иметь: g(aN)<0, g(bN)>0, причем длина его равна bN-aN=(b-

a)/2n®0 при n®Ґ. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию

Леммы о вложенных промежутках => $ точка x0 из промежутка [a,b], для

которой Lim aN=Lim bN= x0. Покажем, что x0-удовлетворяет требованию

теоремы: g(aN)<0, g(bN)>0 => переходим к пределам: Lim g(aN)Ј0, Lim

g(bN)і0, используем условие непрерывности: g(x0)Ј0 g(x0)і0 => g(x0)=0 =>

f(х0)-c=0 => f(х0)=c

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество

У=f(Х)={f(х):хОХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево дит

промежуток в промежуток.)

Доказательство: Пусть у1,у2ОУ; у1ЈуЈу2, тогда существуют х1,х2ОХ: у1=f(х1),

у2=f(х2). Применяя теорему к отрезку [х1,х2]НХ (если х1<х2) и к отрезку

[х2,х1]НХ (если х2<х1) получаем, что у=f(с) при некотором с => У -

удовлетворяет определению промежутка.

29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных

функций

Определение: Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется

функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области опреде

ления ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-

ции f.

Теорема: Если Lim g(x)=b (при x®a) и f - непрерывна в точке b, то Lim

f(g(x))=f(b) (при x®a)

Доказательство:

Пусть xN: xN№a - произвольная посл-ть из области определения ф-ции

х®f(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность yN: yN=g(xN) сходится к

b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim f(yN)=f(b) (n®Ґ) в силу опр.

непрерывности ф-ции f по Гейне. Т.о. Lim f(g(xN))=Lim f(yN)=f(b) (n®Ґ).

Заметим что в посл-ти yN - некоторые (и даже все члены) могут оказаться

равными b. Тем не менее в силу нашего замечания о снятии ограничения yN№b

в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(yN)®f(b)

Следствие: Пусть функция g непрерывна в точке x0, а функция f непрерывна в

точке у0=g(x0), тогда ф-ция f(g(x)) непрерывна в точке х0.

30. Обращение непрерывной монотонной функции.

Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у

однозначно разрешимо относительно уОf(Х).

Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция однозначно

сопоставляющая каждому уо такое х0 что f(х0)=у0 - называется обратной к

функции f.

Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена и

непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,

определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго

убывающая) и непрерывная на Y.

Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по

следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что значения

непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для

каждого значения у0 из этого промежутка найдется хоть одно такое

значение х0ОХ, что f(х0)=у0. Из строгой монотонности следует что такое

заначение может найтись только одно: если х1> или <х0, то соответственно и

f(х1)> или <f(х0). Сопоставля именно это значение х0 произвольно взятому у0

из Y мы получим однозначную функцию: х=f’(у) - обратную функции f. Функция

f`(y) подобно f(x) также строго монотонно возрастает. Пусть y’<y” и

х’=f`(у’), х”=f`(у”), так как f` - обратная f => у’=f(х’) и у”=f(х”) Если

бы

было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с

условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.

Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у0) при

у®у0. Пусть f`(у0)=х0. Возьмем произвольно Е>0. Имеем "уОУ: |f`(у)-

f`(у0)|<Е <=> х0-Е<f`(у)<х0+Е <=> f(х0-Е)<у<f(х0+Е) <=> f(х0-Е)-у0<у-

у0<f(х0+Е)-у0 <=> -d’<у-у0<d”, где d’=у0-f(х0-Е)>у0-f(х0)=0, d”=f(х0+Е)-

у0>f(х0)-у0=0,

полагая d=min{d’,d”} имеем: как только |у-у0|<d => -d’<у-у0<d” <=> |f`(у)-

f`(у0)|<Е

Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:

Определение: Степенной функцией с Q показателем называется функция хM/N -

где mОZ, nОN. Очевидно степенная функция явл-ся cуперпозицией непре рывных

строго монотонно возрастающих ф-ций хM и х1/M => ф-ция хM/N - непрерывна

при х>0. Если х=0, то хM/N = 1, а следовательно непрерывна.

Рассмотрим ф-цию хN, nОN: она непрерывна так как равна произведению

непрерывных функций у=х.

n=0: хN тождественно равно константе => хN - непрерывна х-N=1/хN, учитывая

что:

1) 1/х - непрерывная функция при х№0

2) хN (nОN) - тоже непрерывная функция

3) х-N=1/хN - суперпозиция ф-ий 1/х и хN при х№0

По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х-N - непрерывная

при х№0, т.о. получили что хMmОZ - непрерывная ф-ция при х№0. При х>0 ф-ция

хN nОN строго монотонно возрастает и ф-ция хNнепрерывна=>$ функция обратная

данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0), очевидно этой

функцией будет функция х1/N

Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках

обратимы и строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции =>

обратные тригонометрические функции - непрерывны

31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция

вида аX, а>0, а№1 xОQ.

Свойства: для mОZ nОN

1) (аM)1/N = (а1/N)M

(аM)1/N=(((а1/N)N)M)1/N = ((а1/N)N*M)1/N = (((а1/N)M)N)1/N = (а1/N)M

2) (аM)1/N=b <=> аM=bN

3) (аM*K)1/N*K=(аM)1/N

(аM*K)1/N*K=b <=> аM*K=bN*K <=> аM=bN <=> (аM)1/N=b

Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если

обозначить: aM/N=(аM)1/N=(а1/N)M, a-M/N=1/aM/N, а0=1

Св-ва: x,yОQ

1) aX * aY = aX+Y

aX * aY =b; x=m/n, y=-k/n => aM/N * 1/aK/N = b => aM/N = b * aK/N => aM =

bN * aK => aM-K = bN => a(M-K)/N = b => aX+Y = b

2) aX/aY = aX-Y

3) (aX)Y=aX*Y

(aX)Y=b; x=m/n, y=k/s => (aM/N)K/S=b => (aM/N)K=bS => (a1/N)M*K=bS =>

(aM*K)1/N=bS => aM*K=bS*N => a(M*K)/(S*N)=b => aX*Y=b

4) x<y => aX<aY (a>1) - монотонность

z=y-x>0; aY=aZ+X => aY-aX=aZ+X-aX=aX*aZ-aX=aX*(aZ-1) => если aZ>1 при z>0,

то aX<aY.

z=m/n => aZ=(a1/N)M => a1/N>1 => (a1/N)M>1 => aX*(aZ-1)>1, (a>1 n>0)

5) при x®0 aX®1 (xОR)

Т.к. Lim a1/N=1 (n®Ґ), очевидно, что и Lim a-1/N=Lim1/a1/N=1 (n®Ґ). Поэтому

"Е>0 $n0: "n>n0 1-E<a-1/N<a1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n0, то

a-1/N<aX<a1/N => 1-E<aX<1+E. => Lim aX=1 (при x®0)

32.Определение и свойства показательной функции на множестве действительных

чисел.

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел:

Функция вида аX, а>0, а№1 xОR.

Свойства: x,yОR.

1) aX * aY = aX+Y

xN®x, yN®y => aXn * aYn = aXn+Yn => Lim aXn * aYn = Lim aXn+Yn => Lim aXn *

lim aYn = Lim aXn+Yn => aX * aY = aX+Y

2) aX / aY = aX-Y

3) (aX)Y=aX*Y

xN®x, yK®y => (aXn)Yk = aXn*Yk => (n®Ґ) (aX)Yk=aX*Yk =>(k®Ґ) (aX)Y=aX*Y

4) x<y => aX<aY (a>1) - монотонность.

x<x’ x,x’ОR; xN®x x’N®x’ xN,x’NОQ => xN<x’N => aXn < aX’n => (n®Ґ) aXЈaX’-

монотонна

x-x`>q>0 => aX-X’ і aQ>1 => aX-X’№1 => aX<aX’ - строго монотонна

5) при x n®0 aX ®1

Т.к. Lim a1/N=1 (n®Ґ), очевидно, что и Lim a-1/N=Lim1/a1/N=1 (n®Ґ). Поэтому

"Е>0 $n0: "n>n0 1-E<a-1/N<a1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n0, то

a-1/N<aX<a1/N => 1-E<aX<1+E. => Lim aX=1 (при x®0)

6) aX - непрерывна

Lim aX=1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность aX в точке 0 => aX-aXo=

aXo(aX-Xo - 1) при х®x0 x-x0 n®0 => aX-x0 n®1 => при х®x0 lim(aX - aXo)=

Lim aXo*Lim(aX-Xo - 1) = x0 * 0 = 0 => aX - непрерывна

33.Предел функции (1+x)1/X при x®0 и связанные с ним пределы.

1) Lim (1+x)1/X = e при x®0

У нас есть Lim (1+1/n)n = e при n®Ґ

Лемма: Пусть nK®Ґ nKОN Тогда (1+1/nK)Nk®e

Доказательство:

"E>0 $k0: "n>n0 0<e-(1+1/n)n<E => nK®Ґ $ k0: "k>k0 => nK>n0 => 0<e-

(1+1/nk)Nk<E

Lim (1+xK)1/Xk при x®0+:

1/xK=zK+yK, zKОN => 0ЈyK<1 => (1+1/zK+1)Zk<(1+xK)1/Xk <

(1+1/zK)Zk+1=(1+1/zK)Zk*(1+1/zK)=>(1+1/zK+1)Zk=(1+1/zK+1)Zk+1)/(1+1/zK+1)

=> (1+1/zK+1)Zk+1/(1+1/zK+1) < (1+xK)1/Xk < (1+1/zK)Zk*(1+1/zK) k®Ґ

учитывая, что: (1+1/zK)®1 (1+1/zK+1)®1 => получаем:

eЈLim (1+xK)1/XkЈe => Lim (1+xK)1/Xk=e => Lim (1+x)1/X=e при x®0+

Lim (1+xK)1/Xk при x®0-:

yK=-xK®0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)1/X=e

при x®0-

Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)1/X=e при x®0

2) n®Ґ lim (1+x/n)N = (lim (1+x/n)N/X)X = eX

3) x®xa aОR - непрерывна

xa=(eLn x) a=ea*Ln x

непр непр непр непр

x®Ln x®a*Ln®a*Ln x => x®ea*Ln x

4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X = Ln e = 1

4’) x®0 Lim LogA(1+x)1/X = 1/Ln a

5) x®0 Lim (eX-1)/x = {eX-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1

5’) x®0 Lim (aX-1)/x = Ln a

6) x®0 Lim ((1+x)a-1)/x = Lim ([e a*Ln (1+x) -1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x

= 1*a*1= a

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в

каждой точке х этого множества.

Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на

этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень

шее значение (2 теорема Вейрштрасса).

Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):xО[a,b]}. Если f не ограничена сверху на

[a,b], то m=Ґ, иначе mОR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (сN),

такую что Lim cN=m. Т.к. "nОN: cN<m то $ xNО[a,b]: cN<f(xN)Јm. xN -

ограничена => $ xKn®a. Т.к. aЈxКnЈb => aО[a,b].

Для mОR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен

пределу посл-ти получаем cKn®m.

Для m=+Ґ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл-

тью получаем cKn®m. Переходя к пределу в нер-вах cKn<f(xKn)Јm, получим

Lim f(xKn)=b n®Ґ, но в силу непрерывности ф-ции f имеем Lim f(xKn)=f(a) =>

f(a)=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней

граница в точке a. Существование точки b=Inf{f(x):xО[a,b]} доказывается

аналогично.

35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.

Определение: "Е>0 $ d>0: "х’,х”: |х’-х”|<d => |f(x’)-f(x”)|<Е => функция

называется равномерно непрерывной

Отличие от непрерывности состоит в том, что там d зависит от Е и от х”, то

здесь d не зависит от х”.

Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если $ Е>0 "d >0: $ х’,х”:

|х’-х”|<d => |f(x’)-f(x”)|іЕ>0

Рассмотрим множество <d, x’,x”ОI, IНDf.

Верхняя точная граница этого множества обозначаемое Wf(d) называется

колебанием функции f на множестве I вызванное колебаниями аргумента:

1/х - Wf(d) = +Ґ; Sin x - Wf(d) = 1

Таким образом равномерно непрерывную функцию можно определить по другому:

"Е>0 $ d>0: Wf(d)ЈЕ Lim Wf(d)=0 d®0

36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на

отрезке.

Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство(от противного):

Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>$Е>0 "d>0 $х’,х”: |х’-

х”|<d=>|f(x’)-f(x”)|іЕ. Возьмем d =1/к, кОN $хK, х’KО[a,b]: |хK-х’K|<1/к

|f(xK)-f(x’K)|іE

Т.к хK - ограничена => из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно

выделить подпосл-ть xKs сходящуюся к х0. Получаем: |хKs-х’Ks|<1/к

хKs-1/k<х’Ks<хKs-1/k по Лемме о зажатой посл-ти х’Ks®х0 kS®Ґ |f(xKs)-

f(x’Ks)|іE кS®Ґ => 0іE - противоречие с условием.

37.Определение производной и дифференциала.

Касательная в точке x0 к функции x®f(x): возьмем еще одну точку х соединим

x0 и х - получим секущую. Касательной назовем предельное положение

секущей при х®x0, если это предельное положение существует. Т.к.

касательная должна пройти ч/з точку (x0,f(x0) => уравнение этой касательной

(если она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x0)+f(x0). Необходимо только

опр-ть наклон k касательной. Возьмем произвольное число Dх№0 так, чтобы

x0+DхОХ. Рассмотрим секущую МОМ, МО(x0,f(x0)), М(x0+Dх,f(x0+Dх)). Уравнение

секущей имеет вид: у=к(Dх)(х-x0)+f(x0), где k=f((x0+Dх)-f(x0))/Dх - наклон

секущей. Если существует Lim к(Dх) при Dх®0, то в качестве искомого наклона

k возьмем это предел. Если Lim к(Dх)=Ґ при Dх®0, то перепишем уравнение

секу щей в виде x=(1/k(Dх))*(y-f(x0))+x0 перейдя к пределам при Dх®0,

получим x=x0 (Lim x=Lim x0 Dх®0 => x = Lim x0)

Определение: Производным значением функции f в точке х0 называется число

f’(х0)=Lim (f(x0+Dх)-f(x0))/ Dх x®x0, если этот предел существует.

Геометрически f’(х0) - это наклон невертикальной касательной в точке

(x0,f(x0)). Уравнение касательной y=f’(x0)*(x-x0)+f(x0). Если Lim (f(x0+Dх)-

f(x0))/Dх=Ґ Dх®0, то пишут f`(x0)=Ґ касательная в этом случае вертикальна и

задается уравнением х=x0. f`(x0)=lim(f(x0+Dх)-f(x0))/Dх x®x0=>(f(x0+Dх)-

f(x0))/Dх=f’(x0)+a(x), a(x)®0 при x®x0. f(x0+Dх)-f(x0)=f`(x0)*Dх+a(x)*Dх

учитывая, что x0+Dх=x и обозначая a(x)*Dх через o(x-x0) получим

f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0). Необхо димо заметить, что o(x-x0)

уменьшается быстрее чем (x-x0) при x®x0 (т.к. o(x-x0)/(x-x0)®0 при x®x0)

Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x0 если $сОR: в

некоторой окрестности точки x0 f(x)=С(x-x0)+f(x0)+o(x-x0)

Теорема: Функция диффференцируема в точке x0 <=> $ f’(x0)

Доказательство:

<=: f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => f`(x0)=C

=>: f(x)=C(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+o(x-x0)/(x-

x0)=C+a(x), a(x)®0 при x®x0.

Переходим к пределу при x®x0 => Lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+0=C => Слева

записано производное значение ф-ции f => по определению C=f`(x0)

Определение: Если функция х®f(x) дифференцируема в точке x0, то линейная

функция Dх®f’(x0)*Dх называется дифференциалом функции f в точке x0 и

обозначается df(x0). (диф-ал ф-ции х®х обозначают dx). Т.о.

df(x0):Dх®f`(x0)*Dх и dх:Dх®Dх. Отсюда df(x0)=f’(x0)*dх => df(x0)/dх:

Dх®f`(x0)*Dх/Dх=f’(x0) при Dх№0. В силу этого пишут также f’(x0)=df(x0)/dх

- обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной

переносом начала коор динат в точку касания.

Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x0, то f непрерывна в точке x0.

Докозательство: f(x)=f(x0)+f’(x0)*(x-x0)+o(x-x0)®f(x0) при x®x0 => f

непрерывна в точке x0.

Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x0: это прямая перпендикулярная

касательной к ф-ции f в точке x0. Учитывая что тангенс угла наклона нормали

равен tg(90+угол наклона касательной)= -Ctg(наклона касательной), получаем

уравнение нормали: y=-1/f’(x0)*(x-x0)+f(x0)

38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.

Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x0, тогда ф-ции f+g, f*g

и f/g (при g(x0)№0) дифференцируемы в точке x0 и:

1) (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0)

2) (f*g)’(x0)=f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0)

3) (f/g)’(x0)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2

Доказательство:

1) Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)

Dg(x0)=g(x0+Dx)-g(x0)

D(f+g)(x0)=Df(x0)+Dg(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0)

D(f+g)(x0)/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0))/Dx=(f(x0+Dx)-

f(x0))/Dx+(g(x0+Dx)-g(x0))/Dx®f’(x0)+g’(x0) при Dx®0

2) D(f*g)(x0)=f(x0+Dx)*g(x0+Dx)-f(x0)*g(x0)=(f(x0)+Df(x0))*(g(x0)+D(x0))-

f(x0)*g(x0)=g(x0)*Df(x0)+f(x0)*Dg(x0)+Df(x0)*Dg(x0)

D(f*g)(x0)/Dx=g(x0)*(Df(x0)/Dx)+f(x0)*(Dg(x0)/Dx)+(Df(x0)/Dx)*(Dg(x0)/Dx)*Dx

®f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0) при Dx®0

3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x0 => Ф-ция g - непрерывна в точке x0

=> "Е>0 (Е=|g(x0)|/2) $d>0: |Dx|< d => |g(x0+Dx)-g(x0)|<|g(x0)|/2.

g(x0)-|g(x0)|/2<g(x0+Dx)<g(x0)+|g(x0)|/2. Рассматривая функцию g при таких

x (|Dx|<d) видим что g(x0+Dx)№0.

Рассмотрим разность (1/g(x0+Dx)-1/g(x0))/ Dx = -(g(x0+Dx)-

g(x0))/Dx*g(x0+Dx)*g(x0) ® -g’(x0)/g(x0)2 при Dx®0

(f/g)’(x0)=(f*1/g)’(x0) => (2) =

f’(x0)*1/g(x0)+f(x0)*(1/g)’(x0)=f`(x0)*1/g(x0)+f(x0)*(-

g’(x0)/g(x0)2)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2

Теорема: Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)

1) Sin’(x0) = Cos (x0)

2) Cos’(x0) = -Sin (x0)

Доказательство:

1) Df/Dx=(Sin(x0+Dx)-Sin(x0))/Dx = Sin(Dx/2)/(Dx/2) * Cos(x0+Dx/2) ® Сos x0

при Dx®0

2) Dg/Dx=(Cos(x0+Dx)-cos(x0))/Dx=Sin(Dx/2)/(Dx/2)*-Sin(x0+Dx/2) ® -Sin x0

при Dx®0

Производные Tg и Ctg выводятся непосредственно из производных для Sin и

Cos по формулам дифференцирования.

39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и

логарифмической функции.

Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x0, а ф-ция f диф-ма в точке

y0=g(x0), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x0 и h’(x0)=f`(y0)*g’(x0)

Доказательство:

Dy=y-y0, Dx=x-x0, Df(y0)=f’(y0)*Dy+o(Dy), Dg(xo)=g’(xo)*Dx+o(Dx),

y=g(x0+Dx)

Dh(x0)=f(g(x0+Dx))-f(g(x0))=f(y)-f(y0)=f’(y0)*Dy+o(Dy)=f’(y0)*(g(x0+Dx)-

g(x0))+o(Dg)==f’(y0)*(g’(x0)*Dx+o(Dx))+o(Dy)=

f’(y0)*g’(x0)*Dx+f’(y0)*o(Dx)+o(Dy)

Dh(x0)/Dx=f’(y0)*g’(x0)+r, r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx

r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx=f`(y0)*(a(x)*Dx)/Dx+(a’(x)*Dy)/Dx=f’(y0)*a(x)+a’(

x)*Dy/Dx®f’(y0)*0 + 0*g’(y0) при Dx®0 (a(x)®0 a’(x)®0)

Производная:

1) xa=a*xa-1

Lim (Dy/Dx)=lim((x+Dx)a-xa)/Dx = Lim xa-1* ((1+Dx/x)a-1)/Dx/x. Используя

замечательный предел x®0 Lim ((1+x)a-1)/x=a, получим Dx®0

Lim xa-1*Lim((1+Dx/x)a-1)/Dx/x = a*xa-1

2) (aX)’=aX*Ln a (x®aX)’=(x®eX*Ln a)’

x®eX*Ln a - композиция функций x®еX и x®x*Ln a обе непрерывны на R =>

(x®aX)’=(x®е X*Ln a)’=(x®еX*Ln a)’*(x®x*Ln a)’=aX*Ln a

Д-во : (eX)’=eX

Lim(Dy/Dx)=Lim(eX+DX-eX)/Dx=LimeX*(eDX-1)/Dx, используя зам-ный предел при

x®0 Lim(eX-1)/x=1, получим при Dx®0 Lim(Dy/Dx)=eX

3) (LogA(x))’=1/x*Ln a

Lim(Dy/Dx) = Lim (LogA(x+Dx) - LogA(x))/Dx = Lim 1/x*LogA(1+Dx/x)/Dx/x,

используя замечательный предел при x®0 Lim LogA(1+x)/x=1/Ln a, получим

Lim (Dy/Dx) = Lim 1/x*Lim LogA(1+Dx/x)/Dx/x=1/x*Ln a

40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических

функций.

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в

точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0=f(x0)

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в

(а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно

отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0О(a,b) и f’(x0)№0, то g

диф-ма в точке y0=f(x0) и g’(y0)=1/f’(x0)

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN®y0, yN№y0 => $

посл-ть xN: xN=g(yN), f(xN)=yN

g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-xO/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO)/xN-xO ® 1/f’(xo) при

n®Ґ, получили при xN®xO g(yN)-g(yO)/yN-yO®1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)

Производные:

1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии,

что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y,

т.к. Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos yі0 и, значит

Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2)1/2

2) x®Arccos’x = -1/(1-x2)1/2

3) x®Arctg’x = 1/1+x2

4) x®Arcctg’x= -1/1+x2

41.Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO, то ф-ция

f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO или даже в

некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй

производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и обознача ется

f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее.

Для единообразия обозначаем через fN(xO) - производную порядка n функции f

в точке xO и при n=0 считаем f0(xO)=f(xO).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы

существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO

(следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция

x®fN-1(x) непрерывна в точке xO, а при nі2 все производные порядка не выше

(n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO.

Определение: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке xO называют функцию

dх®fN(x)*dх и обозначают dNf(x). Таким образом dNf(x):dх®fN(x)dxN.

Так как fN(x)dхN:dх®fN(x)dxN, то dNf(x)=fN(x)dхN. В силу этого соотношения

производную fN(x) обозначают также dNf(x)/dхN

Инвариантность:

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить

сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то

cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой

переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx. Перейдем к независимой переменной t,

учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t): dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх =>

dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой

независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это

свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить

сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то

существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал

по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй

диф-ал по t: d2y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь

инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х2)dx => d2y=у”(х2)dx2x+y’(x)*d2x,

в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид

д2y=у’(х2)*dx2x => неинвариантность формы второго диф-ла.

Формула Лейбница:

f(x)=u(x)*v(x) [pic]

Доказательство по индукции.

1) n=0 верно

2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)

Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по

х - получим:

[pic]

Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые

произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком

произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u0*vN+1

входит только во вторую сумму с коэффициентом С0N=1. Произведение uN+1*v0

входит только в первую сумму с коэффициентом СNN=1. Все остальные

произведения входящие в эти суммы имеют вид uK*vN+1-K. Каждое такое

произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k.

Сумма соотв. коэффициентов будет [pic]=>

получаем fN+1(x)=u0*vN+1+[pic]+ uN+1*v0=[pic]

44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее

экстремумов.

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в

открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].

Докозательство:

Пусть xЈb, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем:

f(x)-f(a)=f’(a+q(x-a))(x-a) 0<q<1 => т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b), то

f’(a+q(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все хО(a;b).

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в

открытом промежутке (a;b), тогда:

1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) <=>

f’(x)і0(f’(x)Ј0) в (a;b).

2) Если f’(x)>0(f’(x)<0) в (a;b) и f непрерывна в [a;b], то f строго

возрастает(убывает) в [a;b].

Доказательство:

1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”О(a;b), тогда по теореме Лагранжа

(f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), сО(x’,x”). По условию имеем f’(x)і0(f’(x)Ј 0)

в (a;b) => f’(c)і0(f’(c)Ј 0) => f(x”)іf(x’)( f(x”)Јf(x’)) => f(x)

возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).

2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие

получим (2).

Следствие: Если xO-критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в

достаточно малой d-окр-ти точки xO имеет разные знаки, то xO-экстремальная

точка.

Достаточное условие экстремума: (+)®xO®(-) => локальный min, (-)®xO®(+) =>

локальный max

46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство

Йенсена.

Определение: Множество М выпукло <=> если " А,ВОМ [А,В]ММ

[А,В]ММ => [А,В]={А+t(В-А):tО[0,1]} => А(1-t)+tВОМ

[А,В]ММ => А,ВОМ; l1=1-t, l2=t => l1+l2=1 l1,l2і0 => l1А+l2ВОМ

Рассмотрим точки: А1,А2,...АNОМ l1,l2і0 S(i=1,n): lI = 1

Докажем что S(i=1,n): lI*АI ОМ

Д-во: По индукции:

1) n=1, n=2 - верно

2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:

а) lN=1 => приравниваем l1=...=l N-1=0 => верно

б) lN<1 l1*А1 +...+ lN-1*А N-1 + l N*А N= (1-l N)((l1/1-l N)*А1+...+(lN-1/1-

l N)*А N-1) + l N*А N = (1-l N)*B + l N*А N

BОМ - по индуктивному предположению А NОМ - по условию=>(1-l N)*B + l N*А N

ОМ Ч.т.д

График Гf = {(x,f(x)):хОDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}

Определение: Функция f выпукла <=> UPf - множество выпукло.

Условие Йенсена: АIОМ lIі0 S(i=1,n): lI =1 => S(i=1,n): lI*АI ОМ, xIі0,

f(xI)ЈyI => S(i=1,n): lI*АI = (SlI*xI;SlI*yI) => f(SlI*xI)ЈSlI*yI

Неравенство Йенсена: АIОМ lIі0 SlI =1f(SlI*xI)ЈSlI*f(xI)

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия

эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) "x’,xO,x”О(a;b) x’<xO<x” =>

(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)Ј(f(x”)-f(xO))/(x”-xO). Геометрический смысл: при

сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.

Доказательство:

“=>” AB: k=(y-f(x’))/(xO-x’)і(f(xO)-f(x’))/(xO-x’) => yіf(xO); AB: k=(f(x”)-

y)/(x”-xO)Ј(f(x”)-f(xO))/(x”-xO) =>yЈf(xO)

(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)Ј(f(x”)-f(xO))/(x”-xO)

“<=”