Математика 1 часть

Математика 1 часть

ТЕМА 1. Скалярные и векторные величины

|ОСНОВНЫЕ |Величины называют скалярными (скалярами), если они после |

|ОПРЕДЕЛЕНИЯ |выбора единиц измерения полностью характеризуются одним |

|СКАЛЯРНЫХ И |числом. |

|ВЕКТОРНЫХ |Если некоторая скалярная величина полностью определяется |

|ВЕЛИЧИН. |одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то тогда|

| |говорят о чистой скалярной величине или об истинном |

| |скаляре. |

| |Если некоторая скалярная величина определяется одним |

| |числом, абсолютная величина которого не зависит от выбора |

| |осей отсчета, а ее знак зависит от выбора положительного |

|ВЕКТОР |направления на осях координат, то тогда говорят о |

| |псевдоскалярной величине |

| | |

| |Величина называется вектором (векторной), если она |

| |определяется двумя элементами различной природы: |

| |алгебраическим элементом - числом, показывающим длину |

| |вектора и являющимся скаляром, и геометрическим элементом,|

| |указывающим направление вектора. |

| |Геометрически принято изображать вектор направленным |

|СЛОЖЕНИЕ И |отрезком. Зная координаты начала и конца вектора [pic] и |

|ВЫЧИТАНИЕ |[pic], можно найти координаты вектора, определяемого этими |

|ВЕКТОРОВ |точками [pic], т.е. от координат конца вычитают координаты |

| |начала вектора. |

| |Сложение и вычитание |

| |[pic] Сложение и вычитание векторов производят |

| |геометрически (рис. 7). Этот способ называют правилом |

| |треугольника. |

| |Математически сложение записывают [pic] или [pic], если |

| |речь идет о вычитании векторов (рис. 7). |

| |Если в пространстве задано несколько векторов, число |

| |которых больше двух, то операцию сложения (вычитания) |

| |записывают как [pic]Геометрически этот способ называют |

| |правилом многоугольника. |

| |Умножение вектора на скалярную величину. При умножении |

| |вектора [pic] на скаляр ( получают новый вектор [pic], |

| |совпадающий по своему типу с исходным, длина (модуль) |

| |которого изменяется в ( раз, а направление совпадает с |

| |направлением исходного вектора [pic], если ( ( 0, или |

| |противоположно исходному вектору, если ( < 0. В |

| |координатной форме, если [pic], то [pic]. |

| |[pic]Два одинаково направленных и параллельных вектора |

| |называют коллинеарными. Коллинеарные векторы могут быть |

| |разной длины |

| |Два вектора [pic]и [pic]называют коллинеарными, если |

| |существуют такие два числа ( и (, не равные нулю |

| |одновременно, что выполняется равенство |

| |Три вектора [pic],[pic]и [pic]назовем компланарными, если |

|КОЛЛИНЕАРНЫЕ И |существуют такие три числа (, ( и (, не равные |

|КОМПЛАНАРНЫЕ |одновременно нулю, что выполняется равенство [pic] |

|ВЕКТОРЫ | |

| | |

ТЕМА 2. Действия над векторами

|СКАЛЯРНОЕ |Скалярным произведением двух векторов [pic]и[pic]называется |

|ПРОИЗВЕДЕНИЕ |число S =|[pic]| |[pic]| сos ([pic]). Эта операция обозначается|

|ВЕКТОРОВ |[pic].В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его|

| |длины, т.е. [pic]. Если один из перемножаемых векторов |

| |единичный, то: |

| |[pic] . |

| |В этом случае результат представляет собой проекцию вектора |

| |[pic] на направление единичного вектора [pic]. Следовательно, |

| |любой вектор можно представить как [pic], где [pic] - проекции |

| |вектора [pic] соответственно на оси 0х, 0у и 0z. |

| |Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти |

| |векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов |

| |не нулевой, то, по определению скалярного произведения, |

| |последнее может быть равно нулю только тогда, когда [pic], т.е.|

| |[pic]. |

| |[pic]Если вектор представлен через проекции на базисные |

| |векторы, то говорят о разложении вектора [pic] по |

| |ортогональному базису. Из рисунка видно, что в этом случае |

| |вектор [pic] является главной диагональю прямоугольного |

|РАЗЛОЖЕНИЕ |параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и |

|ВЕКТОРА ПО |равны длинам проекций вектора [pic] на эти оси. Из этого же |

|КООРДИНАТНЫМ |рисунка следует, что модуль вектора [pic] численно будет равен |

|ОРТАМ. |[pic]. |

| |Из определения скалярного произведения следует, что любой |

| |вектор, независимо от типа, можно представить в виде: |

| |[pic], |

| |где [pic], [pic] и [pic]есть скалярное произведение вектора |

| |[pic] с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства |

| |имеем |

| |[pic] |

| |где (, ( и ( - углы, которые составляет вектор |

| |[pic]соответственно с осями 0х, 0у и 0z. |

| | |

| |Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти |

| |векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов |

| |не нулевой, то, по определению скалярного произведения, |

| |последнее может быть равно нулю только тогда, когда [pic], т.е.|

| |[pic]. |

| |Скалярное произведение векторов в координатной форме |

| |[pic] |

| |[pic]. |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|СВОЙСТВА | |

|СКАЛЯРНОГО | |

|ПРОИЗВЕДЕНИЯ. | |

|СКАЛЯРНОЕ | |

|ПРОИЗВЕДЕНИЕ В | |

|КООРДИНАТНОЙ | |

|ФОРМЕ | |

ТЕМА 3. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех

векторов.

|ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ |Линейно независимые векторы [pic], [pic] и [pic]образуют |

|ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ |правую тройку векторов, если они имеют такую же ориентацию,|

| |как соответственно большой, указательный и средний палец |

| |правой руки, в противном случае говорят о левой тройке |

| |векторов |

| |Три единичных вектора i, j, k, попарно ортогональные друг|

| |другу и образующие правую тройку векторов, называют |

| |прямоугольной декартовой системой координат. |

| |Углом между векторами [pic]и [pic]называют такой угол (, не|

| |превосходящий (, на который нужно повернуть вектор [pic], |

| |чтобы совместить его с направлением вектора [pic], начало |

| |которого должно совпадать с началом [pic].Угол между |

| |векторами обозначается ([pic],[pic]) или ([pic]([pic]). |

|ВЕКТОРНОЕ | |

|ПРОИЗВЕДЕНИЕ | |

|ВЕКТОРОВ. |[pic]Под векторным произведением векторов [pic]и |

| |[pic]понимают вектор [pic], имеющий длину и направленный |

| |перпендикулярно к плоскости [pic],определяемой векторами |

| |[pic]и [pic], причем так, что векторы [pic],[pic]и[pic] |

| |образуют правую тройку векторов (длина вектора [pic] |

| |численно равна площади параллелограмма, построенного на |

| |векторах [pic] и [pic]как на сторонах (это геометрический |

| |смысл векторного произведения). |

| |Векторное произведение обозначают: [pic]или [pic]. |

| |Очевидно, что [pic] (из определения векторного |

| |произведения). [pic]. Векторное произведение подчиняется |

| |только распределительному закону: |

| |[pic]. |

| | |

| |. Смешанным произведением векторов [pic], [pic]и |

| |[pic]назовем число К, равное объему параллелепипеда, |

| |построенного на этих векторах (рис. 10) и вычисляемое как: |

| |[pic] |

|СМЕШАННОЕ |Очевидно, что если [pic], [pic]и [pic] компланарны, то К = |

|ПРОИЗВЕДЕНИЕ |[pic]=0. |

|ТРЕХ ВЕКТОРОВ |Из определения смешанного произведения следует интересный |

| |факт, что произведение не зависит от порядка следования |

| |векторов в смешанном произведении, так как объем |

| |параллелепипеда (положительный или отрицательный) зависит |

| |только от расположения этих векторов в пространстве (левая |

| |или правая тройка) потому, что является псевдоскаляром. |

| |Следовательно, можно записать |

| |[pic] или [pic]. |

| |Это свойство смешанного произведения служит обоснованием |

| |упрощения записи смешанного произведения: |

| |[pic]. |

ТЕМА 4. Прямая линия на плоскости.

|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные,|

|НА ПЛОСКОСТИ |или плоские преобразования. |

| |Уравнение [pic], связывающее две переменные x и y |

| |называется уравнением линии L в выбранной плоской системе |

| |координат, если координаты любой точки этой линии L |

| |удовлетворяют уравнению, а любые другие координаты точек, |

| |не принадлежащих лини L, не удовлетворяют указанному |

| |уравнению. |

| |По определению линия — это есть соотношение, связывающее |

| |координаты точек некоторой области пространства, и, причем |

| |только эти координаты. Уравнение представляет собой |

| |аналитическую запись уравнения любой плоской линии. |

| | |

| |[pic]. |

|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|Если вместо [pic]подставить его численное значение, от |

|С ЗАДАННОЙ |получим известное уравнение прямой |

|ТОЧКОЙ И |[pic]. |

|НАПРАВЛЯЮЩИМ |Известно, что уравнение прямой имеет вид: |

|ВЕКТОРОМ |[pic]. |

| |По условию задачи k задан. Точка M (x0 ,y0) должна также |

| |принадлежать искомой прямой и, по определению линии, |

| |обращать уравнение прямой в тождество. Воспользуемся этим и|

| |подставим значения x0 и y0 в уравнение, получим : |

| |[pic]. |

| |В последнем уравнении неизвестно b. Элементарным |

| |преобразованием из последнего уравнения получим |

| |[pic]. |

| |Найденное b подставим в уравнение и окончательно |

|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|[pic]. |

|ПО ДВУМ ТОЧКАМ |Уравнение является уравнением прямой, проходящей через |

| |данную точку в заданном направлении. |

| | |

| |Неизвестен k - угловой коэффициент наклона линии по |

| |отношению к положительному направлению 0X. Однако, зная |

| |общий вид уравнения прямой ([pic] ) и учитывая, что обе |

| |точки расположены на искомой линии, можно составить |

| |следующую систему: |

| |[pic] , |

| |где [pic] – координаты точек M1 и M2 соответственно, |

| |(известны), а k и b – искомые неизвестные. Вычитая из |

| |первого уравнения второе, выразим k, |

| |[pic]. |

| |Подставим найденное k в любое из уравнений и определим b |

| |[pic] . |

| |Подставим найденные k и b в уравнение прямой |

| |[pic]. |

| |Преобразуем последнее уравнение |

| |[pic] |

| |и окончательно |

| |[pic]. |

| |Данное уравнение называется уравнением прямой, проходящей |

| |через две точки. |

ТЕМА 5. Прямая и плоскость в пространстве.

|УРАВНЕНИЕ | Любая |

|ПЛОСКОСТИ. |поверхность есть геометрическое место точек, ее |

| |составляющих, определенное уравнением |

| |[pic] |

| |Иными словами, все точки, которые |

| |удовлетворяют этому уравнению, будут |

| |принадлежать поверхности. |

| |Пусть в пространстве XYZ задана |

| |плоскость ( и к ней в точке K проведем |

| |вектор нормали [pic]. Так как плоскость ( |

| |ориентирована произвольно в пространстве, |

| |то вектор [pic] будет составлять с осями x, y, z углы (, |

| |( и ( соответственно. |

| |Выберем на плоскости ( точку M, не совпадающую с K и |

| |свяжем с этой точкой вектор [pic]. Очевидно, что [pic], где|

| |( – модуль вектора [pic], из уравнения получаем [pic]. |

| |Получаем нормальное уравнение плоскости: [pic]. |

| |Однако, если представим вектор [pic] как [pic], а вектор |

| |[pic] [pic], тогда подставив полученные выражения, получаем|

| |[pic] |

| |Зная, что для любой точки, принадлежащей плоскости, с |

| |координатами (A,B.C) можно вычислить направляющие косинусы |

| |[pic] |

| |с учетом которых можно уравнение преобразовать |

| |[pic], |

| | |

| |которое известно, как уравнение плоскости. |

| | |

| |Прямой линией назовем пересечение двух плоскостей в |

| |пространстве. Определение можно записать математически как |

| |[pic]. |

| |Пусть плоскости ( и ( (рис. 6) заданы уравнениями: |

| |[pic] |

| |и |

| |[pic], |

| |где [pic]; [pic], [pic] |

| |система из этих уравнений: |

| |[pic] Уравнения называются общими уравнениями прямой |

| |в |

| |пространстве, записанными в векторной форме. |

| | |

|ПРЯМАЯ КАК | |

|ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ| |

|ПЛОСКОСТЕЙ | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|ВЕКТОРНОЕ | |

|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ| |

| | |

ТЕМА 6Матрицы и определители.

|МАТРИЦЫ И |Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, |

|ОПЕРАЦИИ НАД |составленная из чисел [pic], которые называют элементами |

|НИМИ |матрицы и обозначается |

| |[pic] Если в выражении (1) [pic], то говорят о |

| |квадратной матрице, а если [pic], то о прямоугольной. |

| |Суммой двух матриц [pic] и [pic] называется матрица C, у |

| |которой [pic], и записывают [pic]. |

| |Произведением матрицы [pic]на число [pic] называется такая |

| | |

| |матрица C = (cij), у которой (cij) = (kaij). |

| |Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один |

| |[pic] элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда |

| |можно указать натуральное число [pic] такое, что 1) у |

| |матрицы A имеется минор [pic]го порядка [pic]; 2) всякий |

| |минор матрицы A порядка [pic] и выше равен нулю, тогда |

| |число [pic], обладающее указанными свойствами называется |

| |рангом матрицы A и обозначается [pic]. Из определения |

| |вытекает, что 1) ранг любой прямоугольной матрицы не должен|

| |быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица |

| |квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер |

| |матрицы. Математически это можно выразить так [pic] 2) если|

| |все элементы матрицы A равны нулю, т. е. [pic] ,то ранг |

| |этой матрицы тоже будет равен нулю [pic]. |

| | |

| |Определителем n-го порядка называется число [pic] равное |

| |алгебраической сумме [pic], где [pic] есть алгебраические |

| |дополнения элемента [pic], а [pic]- есть соответствующие |

|ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИХ |миноры, т.е. определители (n-1)-го порядка, получающиеся из|

|СВОЙСТВА |исходного определителя вычеркиванием первой строки и n-го |

| |столбца, на пересечение которых находится элемент [pic]. |

| |Количество строк (или столбцов) в определителе называется |

| |порядком определителя |

| |Решением системы называется совокупность из n чисел (с1, |

| |с2, ..., сn), которые, будучи подставленными в систему на |

| |место неизвестных x1, x2, ..., xn, обращают все уравнения |

| |системы в истинные равенства |

| |Систему уравнений, имеющую хотя бы одно решение, называют |

|СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ|совместной, систему, не имеющую решений, - несовместной. |

|УРАВНЕНИЙ. |Решения [pic] и [pic] считают различными, если хотя бы одно|

| |из чисел [pic] не совпадает с соответствующим числом [pic] |

| |Если совместная система имеет единственное решение, то она |

| |называется определнной; если совместная система имеет по |

| |крайней мере два различных решения, то она называется |

| |неопределенной. |

| |Формулы Крамера [pic]. |

| |Метод Гаусса. |

| |Пусть А - невырожденная матрица, то есть det A? 0, и, |

| |следовательно, она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе |

| |части на А-1 слева, получаем: |

| |А-1 (А Х) = А-1 В ? (А-1 А)Х = А-1 В ? Е Х = А-1 В, то |

| |есть Х = А-1 В и есть искомое решение системы (14). |

| |Действительно, подставив (16) в (14), получим А (А-1 В) = |

| |(А-1 А)В = Е В = В. |

ТЕМА 7. Предел функции.

|ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.|Если некоторому множеству значений [pic] поставлено по |

| |определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие |

| |некоторое множество [pic], то тогда говорят, что на |

| |множестве [pic]определена функция [pic]. Множество |

| |[pic]называется областью изменения функции, множество |

| |[pic]– областью определения функции. Такая функция |

| |называется однозначной. |

| |Если некоторому множеству значений [pic] поставлено по |

| |определенному правилу F несколько значений из множества |

| |[pic], то тогда говорят, что на множестве [pic]задана |

| |многозначная функция. |

| |Для того чтобы обозначить, что [pic]есть функция от[pic], |

| |используют следующие виды записи: [pic]; [pic]; [pic] и |

| |т.д. |

| |Если невозможно выразить [pic], тогда говорят, что задана |

| |неявная функция и записывают: [pic]; [pic]; [pic] и |

| |т.д. |

| |Если надо выделить некоторое частное значение функции, |

|ЧИСЛОВАЯ |соответствующее какому-либо конкретному значению [pic], |

|ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОС|тогда записывают: [pic]. |

|ТЬ. ПРЕДЕЛ |Если каждому натуральному n по какому-либо известному |

|ЧИСЛОВОЙ |правилу поставлено в соответствие некоторое число [pic], |

|ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОС|тогда говорят, что задана последовательность [pic], которая|

|ТИ. |обозначается как [pic] Правило, по которому формируется |

| |последовательность [pic], обозначается как [pic] и |

| |называется общим числом последовательности. Число [pic] |

| |назовем пределом последовательности[pic] при |

| |[pic]стремящимся к [pic], если для любого положительного, |

| |наперед заданного числа (, определяющего окрестность точки |

| |A, можно указать такую (, что для любого [pic], отличного |

| |от[pic] из отрезка [pic] значений функции [pic] принадлежит|

| |[pic] и это записывают как [pic]. |

| |Последовательность[pic]называется бесконечно большой, если |

| |для любого числа [pic] найдется номер N, такой что для всех|

| |[pic] выполняется неравенство [pic]. Геометрически это |

| |обозначает, что какой бы большой номер числа |

| |последовательности мы ни взяли, то всегда найдется число, |

| |принадлежащее этой последовательности, и лежащее правее |

| |выбранного, если последовательность составлена из |

| |положительных чисел, или левее, если последовательность |

| |составлена из отрицательных. Это записывают [pic], или |

| |[pic]. |

| |Последовательность [pic]называется бесконечно малой, если |

| |[pic] |

| |ТЕОРЕМА: Для того чтобы последовательность[pic]сходилась к |

| |числу A необходимо и достаточно, чтобы выполнилось |

| |равенство [pic], где [pic]. |

|ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ |Эта теорема дает связь между пределом сходящейся |

| |последовательности и бесконечно малыми. |

| |Функции [pic]называется непрерывной при [pic]или в точке |

| |[pic], если выполняется [pic].А так как функция при этом |

| |должна быть непрерывной в точке [pic], то должно быть |

| |справедливо [pic]. |

| |Функция [pic] называется непрерывной в точке [pic], если |

| |для всех положительных, сколь угодно малых ( можно указать |

| |такое положительное число [pic], для которого выполняется |

| |неравенство [pic] для всех [pic] из отрезка [pic]. |

ТЕМА 8. Производная.

|ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЁ | |

|СВОЙСТВА И |Если отношение [pic] имеет предел при |

|ГЕОМЕТРИЧЕС-КИЙ |[pic] этот предел называют |

|СМЫСЛ. |производной функции [pic] при заданном |

| |значении [pic]и записывают |

| |[pic]. |

| |Производная функции [pic] в точке [pic] численно равна |

| |тангенсу угла, который составляет касательная к графику |

| |этой функции построенной в точке [pic] с положительным |

| |направлением с осью [pic] |

| |Из определения ясно - в случае убывающей функции |

| |производная отрицательна. Это объясняется тем, что [pic], |

| |если[pic]будет отрицательным. На этом свойстве производной |

| |основано исследование поведения функции на возрастание |

| |(убывание) на заданном отрезке. |

| | |

| |Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме|

| |производных. [pic]. |

| |Производная произведения равна [pic]. |

| |Если функция [pic] имеет в точке [pic] производную [pic] и |

|ДИФФЕРЕНЦИАЛ. |функция [pic] имеет в точке [pic] производную [pic], тогда |

| |сложная функция [pic] имеет в точке [pic] производную, |

| |равную [pic] |

| |Если [pic] имеет в точке [pic] производную, отличную от |

| |нуля, тогда в этой точке обратная функция [pic] также имеет|

| |производную и имеет место соотношение [pic]. |

| |Дифференцируя производную первого порядка, можно получить |

| |производную второго порядка, а, дифференцируя полученную |

| |функцию, получаем производную третьего порядка и т.д. |

| |Пример 1. [pic]; [pic]; [pic]; ...; [pic]; [pic]. |

| |Пример 2. [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. Так как |

| |[pic], то можно предположить, что в данном случае функцию |

| |можно дифференцировать бесконечное количество раз. |

| |Пример 3. [pic]. [pic]. Как и во втором примере, эта |

| |функция дифференцируема бесконечное количество раз. |

|ПРОИЗВОДНАЯ |Пример 4. [pic]. [pic]; [pic]; [pic]; … |

|ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ |[pic]; ...Как следует из приведенных примеров, разные |

| |функции ведут себя по-разному при многократном |

| |дифференцировании. Одни имеют конечное количество |

| |производных высших порядков, другие – переходят сами в |

| |себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное |

| |количество раз, но порождают новые функции, отличные от |

| |исходной. Однако все сформулированные теоремы о производных|

| |первых порядков выполняются для производных высших |

| |порядков. |

ТЕМА 9. Экстремум функции.

|ВОЗРАСТАНИЕ |Функция называется возрастающей на некотором промежутке |

|(УБЫВАНИЕ) |[pic], если на этом промежутке большему значению |

|ФУНКЦИЙ |независимой переменной соответствует большее значение |

| |функции, т.е. если [pic] и [pic] [pic], то выполняется |

| |[pic]. |

| |Функция называется убывающей на некотором промежутке [pic],|

| |если на этом промежутке большему значению независимой |

| |переменной соответствует меньшее значение функции, т.е. |

| |если [pic] и [pic], [pic], то [pic]. |

| |Если функция определима и непрерывна на некотором отрезке |

| |[pic] и на концах отрезка имеет знак, то на указанном |

| |отрезке эта функция имеет по крайне мере хотя бы одну |

| |точку, в которой [pic]. |

| | |

| |Функция [pic] достигает своего максимума в точке [pic], |

| |если ее значение в окрестности этой точки меньше, чем |

|ЭКСТРЕМУМ |значение функции в этой же точке [pic]. |

|ФУНКЦИИ |Функция [pic] достигает своего минимума в точке [pic], если|

| |ее значение в окрестности этой точки больше, чем значение |

| |функции в этой же точке [pic]. |

| |Правило поиска экстремальных точек |

| |1. Находим область определения функции [pic]. |

| |2. Находим производную функции [pic]. |

| |3. Определяем критические точки [pic] по ее первой |

| |производной. |

| |4. Исследуем [pic] на знак слева и справа от найденных |

| |точек. |

| |5. Если слева от точки [pic], а справа [pic], то тогда |

| |говорят, что точка [pic] является точкой максимума. |

| |6. Если слева от точки [pic], а справа [pic], то тогда |

| |говорят, что точка [pic] является точкой минимума. |

| |7. Если [pic] слева и справа от критической точки не меняет|

| |знак, то говорят, что [pic] является точкой перегиба |

| |функции. |

| |Если функции [pic] и [pic] непрерывны при [pic], где [pic]–|

| |некоторое положительное число, отличное от нуля и |

| |достаточно маленькое, и имеют непрерывные производные в |

| |указанной точке, а также [pic] не обращается в нуль при |

| |вычитании указанных условий, тогда можно сформулировать |

| |следующую теорему. |

|ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ|Теорема Коши. Если при соблюдении предположений |

| |относительно функций [pic] и [pic] отношение [pic] |

| |стремится к некоторому числу при [pic], то тогда к такому |

| |же числу будет стремиться отношение функций [pic]. |

| |Эта теорема позволяет формулировать правило Лопиталя. При |

| |раскрытии неопределенности вида [pic] можно функцию |

| |числителя [pic] и знаменателя [pic] заменить их |

| |производными [pic] и [pic], соответственно, и |

| |рассматривать предел [pic] вместо [pic] в указанной точке. |

ТЕМА 10

| | |

ТЕМА 11

| | |

ТЕМА 12

| | |

ТЕМА 13

| | |

ТЕМА 14

| | |

ТЕМА 15

| | |

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

M

(

K

n

(

(

(

0

z

y

x

x+(x

x

????????????????????????????????????????????x

y

C

(

B

A

(f

(x

[pic]

[pic]