Математика

Математика

Т.Сумма смежных углов = 180(

Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение

сторон друг.)

Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не

пересекаются.

Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно

провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.

Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.

2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.

Признаки параллельности прямых. Е

А В В А А В

С Д Д

Д С С

(ВАС (ДСА внутр. одностор. (1рис)

(ВАС (ДСА внутр. накрест лежащ. (2)

(ЕАВ (АСД соответств. (3)

Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. ( =, то

прямые параллельны.

Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,(прямые|

|.

Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. (1=(2

Но (1=(3 (вертикальные)((3=(2.Но (2 и (3-накрестлежщие.(По Т 1 a | | b(

Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност.

(=180(, то прямые | |(

Для ТТ 1-3 есть обратыные.

Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й

прямой, то внутр.накрестлеащие (=, со-

ответств.(=, сумма внутр.одност(=180(.

Перпедикулярные пр-е пересек-ся (90(.

1.Через кажд.тчку прямой можно провести ( ей прямую, и только 1.

2. Из любой тчки (( данной прямой) можно опустить перпендикуляр( на данную

прямцю и только 1.

3. две прямые ( 3-й параллельны.

4. Если прямая ( 1-й из | | прямых, то она ( и другой.

Многоугольник (n-угольник)

Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать

около окружности. (R- опис., r- впис.)

R = a / 2sin(180(/n); r = a / 2 tg (180()

Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждого( пересек. в 1 тчке (ортоцентр).

2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в

отн 2:1 (счит. От вершины).

3. Все 3 биссектр. ( пересек. в 1 тчке -

центр впис. Круга.

4. Все 3 (, восстановленные из середин сторон (, пересе. в 1 тчке - центр

опис. круга.

5. Средняя линия | | и = ( основания

H(опущ. на стор. a) = 2(p(p-a)(p-b)(p-c)

a

M(опущ на стор a) = ( ( 2b2+2c2 -a2

B (-‘’-)= 2( bcp(p-a) / b+c

p - полупериметр

a(=b(+c(-2bx, х-проекция 1-й из сторон

Признаки равенства (: 2(=, если = сотв.

1. 2 стороны и ( между ними.

2. 2 ( и сторона между ними.

3. 2 ( и сторона, противолеж. 1-му из (

4. три стороны

5. 2 стороны и ( , лежащий против большей из них.

Прямоугольный ( C=90( a(+b(=c(

NB! TgA= a/b; tgB =b/a;

sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c

Равносторонний ( H= (3 * a/2

S (= ( h a =( a b sin C

Параллелограмм

d(+d`(=2a(+ 2b(

S =h a=a b sinA(между а и b)

= ( d d` sinB (между d d`)

Трапеция S= (a+b) h/2 =(uvsinZ= Mh

Ромб S=a h =a(sinA= ( d d`

Окружность L= (Rn( / 180(,n(-центр(

Т.Впис.(= ( L , L-дуга,на ктрую опир(

S(cектора)= ( R((= (R(n( / 360(

Векторы.. Скалярное произведение

(а(b=|(a| |(b| cos ((a ((b),

|(a| |(b| - длина векторов

Скалярное произведение |(a|(x`; y`( и |(b|(x``; y``(, заданных своими

коорди-натами, =

|(a| |(b| = x` ( y` + x`` ( y``

Преобразование фигур

1. Центр. Симметрия

2. Осевая симметрия (()

3. Симм. Отн-но плоскости (()

4. Гомотетия (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k(0 -

это гомотетия отн-но О с коэфф. К .

5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)

6. Поворот

7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда:

- все точки оси переходят сами в себя

- любая точка А( оси р А(А` так, что

А и А` ( (, ((р, (АОА` = (= const, О- точка пересеч. ( и р.

Результвт 2-х движений= композиции.

8. Паралeн.перенос (x,y,z)((x+a,y=b,x=c)

9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз

К=1 - движение.

Св-ва подобия.

1. АВС((а); A`B`C` ((a`)

2. (p) ( (p`); [p)([p`); (((`; (A((A`

3. Не всякое подобие- гомотетия

NB! S` = k( S``; V ` = k 3 V ``

Плоскости.

Т. Если прямая, ( к.-л. плоскости ( , | | к.-л. прямой, ( (, то она | | (

Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| |

(а)и (b)

T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й ( | | двум

пересек. прямым другой (, то ( | | (.

Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.

Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1.

Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.

Т. Признак ( прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, (каждой из 2-х

перек-ся прямых, то прямая и пл-сть (.

Т. 2 ( к пл-сти | |.

Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых (, то и другая ( плоскости.

Т. Признак ( 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ( к др. п-сти, то он

( этой л-сти.

Дано [a)( (,[a) ((,( ((= (p).Д-ть: ( ( (

Док-во. [a)( (=(М. Проведем (b) через М, (b)((p). (a)((b) - линейный (

двугранного угла между ( и (. Так как [a)( (((a)((b)( (a)((b)=90((( ( ((

Т. Если 2 пл-сти взаимно (, то прямая

1-й пл-сти ( линии пересеч. пл-стей, ( 2-й пл-сти.

Т. О 3-х (.. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ( наклонной,

необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ( проекции наклонной.

Многогранники

Призма. V = S осн ( a - прямая призма

a - боковое ребро , S пс- S (-го сечения

V = S пс ( а - наклонная призма

V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.

Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед.

V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc

S=2(ab+ac+bc)

Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех (.

Фигуры вращения

Цилиндр V=(R(H; S= 2(R (R+H)

Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * (R(H

S= Sосн+ Sбок= (R (r + L); L-образующая

Сфера «оболочка» S= 4(R(

Шар М= 4/3 (R3