О некоторых применениях алгебры матриц

О некоторых применениях алгебры матриц

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова

Математический факультет

Кафедра геометрии и высшей алгебры

Лакунова Залина

Дипломная работа

«О некоторых применениях алгебры матриц»

Научный руководитель:

д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А

/В.Н.Шокуев /

Рецензент:

к.ф.-м.н.,доцент

/В.М.Казиев/

Допущена к защите

2002г.

Заведующий кафедрой

к.ф.-м.н.,доцент

/А.Х.Журтов/

Нальчик 2002

Оглавление

стр.

Введение 3

§1. О правиле Крамера 4

§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9

§3. Матричный вывод формулы Кардано 17

Литература 21

Отзыв

О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».

Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.

В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в

теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических

уравнений малых степеней.

В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых

квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.

В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства

некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную

роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана

теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех

положительных чисел.

В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических

уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается

на свойства циркулянта (третьего порядка).

Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой

З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут

быть допущены к защите.

Предварительная оценка – «хорошо»

д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА

/В.Н.Шокуев/

§1. О правиле Крамера

В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы

линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит

в следующем.

Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система [pic] линейных

уравнений с неизвестными [pic]

[pic] (1)

Определитель которой отличен от нуля:

[pic] (2)

Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения

[pic] (3)

где [pic]- матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),

[pic] (4)

[pic]- столбец (Матрица-столбец) неизвестных

[pic]- столбец свободных членов системы (1)

Так как [pic], то матрица [pic] невырожденная и для нее существует обратная

матрица [pic]. Умножив равенство (3) на [pic] (слева), получим

(единственное) решение системы в следующей матричной форме (в

предположении, что она совместима и [pic]- ее решение)

[pic],

где обратная матрица [pic] имеет вид:

[pic]

([pic]-алгебраическое дополнение элемента [pic] в определителе [pic])

Другой известный способ можно назвать методом алгебраических

дополнений. Его использование предполагает владение понятием

алгебраического дополнения [pic] как и в матричном способе, теоремой о

разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об

аннулировании.

Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об

определителе произведения матриц.

Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай

[pic]. Очевидно, что при [pic] выполняются следующие матричные равенства

(если задана система (1)):

[pic]

[pic]

[pic]

Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых

частей соответственно через [pic] получим формулы Крамера:

[pic] [pic] [pic] ([pic])

[pic] [pic] (Правило Крамера)

Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка [pic] ничего по

существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица [pic] с

определителем [pic] получается из единичной матрицы заменой [pic]-го

столбца столбцом неизвестных:

[pic] (5)

Теперь из [pic] равенств

[pic] [pic],

где [pic]- матрица, получающаяся заменой [pic]- го столбца матрицы [pic]

столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв

определители от обеих частей в каждом равенстве:

[pic], откуда ввиду [pic] имеем

[pic] [pic].

(здесь [pic] получается из [pic], как и [pic] из [pic]).

Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1)

состоит в следующем (по-прежнему [pic]): пусть система (1) совместна и

числа [pic] (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при [pic]

имеем, используя два линейных свойства определителя:

[pic] [pic]

Можно начать и с определителя [pic], в котором вместо свободных

членов в [pic]-м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя

соответствующие свойства определителя, получим:

[pic] ([pic]),

откуда и получаются формулы Крамера.

Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по

формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы),

производится одним из известных способов.

§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.

Матрица вида:

[pic]

- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее

определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем

некоторые авторы называют также циркулянтом.

Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)

[pic].

Прибавив первые две строки к третьей, получим:

[pic].

Вынесем общий множитель [pic] из последней строки:

[pic].

Так как

[pic],

то

[pic].

С другой стороны, по определению детерминанта имеем:

[pic]

Следовательно, выполняется тождество

[pic](1)

Имеет место следующее предложение.

Предложение 1. Уравнение

[pic] (2)

не имеет решений в натуральных числах [pic]

Доказательство: Если [pic]- вещественные положительные числа, не все

равные между собой, то

[pic] (3)

Пусть [pic]- не все равные между собой положительные числа. Тогда

существуют положительные числа [pic] и [pic], не все равные между собой,

такие, что [pic]. К этим числам применим тождество (1). Так как не все

числа [pic] между собой равны, то последний сомножитель правой части

тождества (1) есть число положительное и, следовательно,

[pic],

[pic]. (4)

Так как [pic], то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3)

можно переписать в виде [pic]; получим известный факт о том, что среднее

арифметическое трех положительных, не равных между собой чисел больше их

среднего геометрического).

Пусть [pic] и [pic]- натуральные числа, удовлетворяющие уравнению

(2). Представляются две возможности: либо числа [pic] все равны между

собой, либо не все эти числа равны друг другу.

В первом случае все они должны быть равны 1, так как она

положительные и [pic], и мы имели бы:

[pic]- противоречие.

Значит, не все три числа [pic] равны между собой; поэтому в силу

неравенства (3) имеем

[pic],

откуда

[pic].

Таким образом, доказано что уравнение

[pic]

не имеет решений в натуральных числах [pic].

Предложение 2. Уравнение

[pic]

разрешимо в натуральных числах [pic].

Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа

[pic] между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения

(1), выполняется неравенство

[pic]

- противоречие. Таким образом, должно быть [pic], и из нашего уравнения

следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что [pic].

Поэтому получаем

[pic].

Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много

решений в натуральных числах [pic].

Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой

двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических

матриц (второго порядка)

[pic]

где [pic]- мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство

[pic]. (5)

Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов,

делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное

также является суммой двух квадратов.

Доказательство: Пусть число [pic] делится на простое число [pic] вида

[pic]:

[pic].

Требуется доказать, что частное [pic] имеет вид [pic].

Предположим, что задача уже решена, т.е.

[pic], (6)

и с помощью анализа попробуем найти искомые числа [pic] и [pic].

Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения

матричных равенств.

[pic]

и

[pic]

перемножив правые части этих равенств, получим:

[pic]

[pic]

отсюда имеем:

[pic]

[pic]

[pic] (7)

[pic] (8)

[pic]. (9)

Так как [pic]- простое число и [pic] делит [pic], то равенство (9)

показывает, что [pic] или [pic] делится на [pic].

Пусть [pic]. Тогда из тождества

[pic],

верного в силу (5) следует, что на [pic] делится и число [pic], а поскольку

[pic]- простое, [pic], так что в силу (7) [pic]- целое число. Таким

образом, в рассматриваемом случае имеем:

[pic]

и Предложение 4 доказано.

Если же [pic], т.е. в силу (8) [pic]- целое, то, рассуждая как и выше,

можем написать:

[pic];

отсюда следует, что [pic], т.е. [pic]- целое. В этом случае

[pic].

§3. Матричный вывод формулы Кардано

В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для

корней кубического произведения уравнения.

Пусть дано любое кубическое уравнение

[pic] [pic]. (1)

Если [pic]- его корень, то [pic], поэтому

[pic], т.е. [pic] есть корень уравнения, получающегося из (1) делением всех

коэффициентов т правой части на [pic], и обратно. Поэтому (1) эквивалентно

уравнению.

[pic]. (2)

Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения

сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом, равным

1, т.е. уравнения вида

[pic], (3)

которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое

уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку

[pic], (4)

получим:

[pic]

[pic]

[pic], т.е.

[pic], (5)

где [pic] и [pic] определяются по заданным коэффициентам [pic] уравнения

(3). Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно научиться

решать уравнения типа (5). В силу этого, обозначив через [pic] неизвестное,

мы видим, что решение любого кубического уравнения вида

[pic], (6)

называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем

теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что в

силу тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта третьего

порядка имеет место тождество

[pic] , (7)

где [pic]- любые числа, [pic]- один из корней третьей степени из единицы,

так что [pic] (проверка тождества опирается на равенство [pic]). Попробуем

теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением

[pic], (8)

т.е. положим

[pic]

где [pic]и [pic] пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему

[pic]

которая показывает (в силу теоремы Виета), что [pic] и [pic] являются

корнями квадратного уравнения

[pic]

т.е.

[pic] [pic]

и поэтому

[pic] [pic] (9)

Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором [pic] и

[pic] определяются по формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу

(7) равносильно уравнению

[pic]

и теперь получаем:

[pic] [pic] [pic] (10)

где [pic] и [pic] определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что

кубические корни из (9) имеют по три значения и их необходимо комбинировать

с учетом равенства [pic]; если одна пара значений [pic] и [pic] выбрана

указанным образом, то все три корня определяются по формулам (10).

Сказанное можно представить и по другому; можно сказать, что значения

неизвестного [pic] определяются из равенства

[pic]

т.е.

[pic] (11)

причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих

кубических радикалов.

Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.

2. Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления

бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.

3. В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г.

4. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М., 1967

г.

5. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г.

6. Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию

чисел. «Мир», М., 1980 г.