Остроградский

Остроградский

Жизнь М. В. Остроградского.

Математическая жизнь в академии наук в середине десятых годов почти

замерла и возродилась в конце двадцатых с приходом в Академию

Остроградского и Буняковского, особенно первого из них.

Михаил Васильевич Остроградский родился 26 сентября 1801г. на

Украине, в деревне Пашенной Кобелякского уезда Полтавской губернии в семье

помещика. В 1816 г. он поступил в Харьковский университет. Остроградский

успешно сдал кандидатские экзамены, и перед ним, казалось, открывалась

прямая дорога к университетской профессуре. Однако острая идейная борьба,

которая в те годы велась в Харьковском университете, помешала спокойному

течению научной карьеры Остроградского.

Осиповский подверг критике идеалистическую немецкую философию,

сторонники которой имелись и среди работавших в Харьковском университете

иностранцев. В устных выступлениях Осиповский разоблачал и высмеивал

мистиков, стоявших во главе министерства просвещения и учебных округов.

Свое враждебное отношение к Осиповскому реакционная часть харьковской

профессуры перенесла и на его лучшего ученика, также не любившего ни

метафизики, ни мистики и бывшего, надо полагать, уже тогда “полным

материалистом и атеистом”.

Когда ректор университета Осиповский предложил присвоить

Остроградскому заслуженную им степень кандидата, в Совете университета

произошли резкие столкновения. Один из реакционных профессоров, А. И.

Дудрович, письменно донес попечителю округа З. Я. Корнееву, что по вине

Осиповского студенты-математики не занимаются богословием, а

Остроградского обвинил в том, что он, несмотря на предписание начальства,

не слушал богопознания и христианского учения. Дело дошло до министра

“духовных дел и народного просвещения” А. Н. Голицына, по указанию которого

Осиповский был уволен из университета, Остроградскаму отказали в

присуждении степени кандидата, издевательски предложив заново сдать

экзамены, якобы сданные им раньше в неправильном порядке.

Остроградский мужественно перенес эти испытания и решил, несмотря ни

на что, посвятить свою жизнь науке. Еще в Харьковском университете его

особенно увлекали вопросы прикладной математики и в 1922 г. он отправился в

Париж, где работали Лаплас и Фурье, Лежандр и Пуассон, Бине и Коши и другие

первоклассные ученые, пролагавшие новые пути в математике, математической

физике и механике. Курсы, читавшиеся в Политехнической школе, Сорбонне,

Коллеж де Франс были образцовыми и привлекали молодежь из многих стран.

Быстрые успехи Остроградского завоевали ему дружбу и уважение многих

французских математиков, как старших поколений, так и сверстников. Время

парижской жизни явилось для Остроградского не только “годами странствий и

учения”, но и интенсивного творчества. В 1824-1827 гг. он представил

Академии наук в Париже несколько замечательных мемуаров на французском

языке. В “Замечаниях об определенных интегралах” (1824) он дал вывод

незадолго перед тем опубликованной Коши формулы для вычета функции

относительно полюса п-го порядка, вывод, по сути дела совпадающий с

принятым ныне. В “Доказательстве одной теоремы интегрального исчисления”

(1826) он разработал весьма важную составную часть общего метода разделения

переменных для интегрирования уравнений математической физики. В том же

году Остроградский подготовил “Мемуар о распространении волн в

цилиндрическом бассейне”, где развил исследования Коши и Пуассона,

изучивших движение малых волн в бассейне бесконечной глубины и не

ограниченном стенками, а год спустя “Мемуар о распространении тепла внутри

твердых тел”, содержавший новое сжатое изложение метода разделения и

решения новой задачи о распространении тепла в некоторой треугольной

призме. Из них только работа по гидродинамике увидела свет в издании

Парижской Академии, другие же остались в ее архиве. Но и не опубликованные

тогда его открытия по математической физике оказали существенное влияние на

развитие математики. Основные результаты вошли в последующие печатные труды

самого Остроградского; кроме того, в рукописи или в устном изложении самого

Остроградского с ними ознакомились тогда же или вскоре Коши, Пуассон и

другие.

Перечисленные работы показывают, что Остроградский в первые же годы

парижской жизни не только полностью овладел новейшим аппаратом анализа и

механики, но существенно развил его и мастерски применил к решению как

весьма общих актуальных проблем, так и частных трудных задач. Коши с

высокой похвалой отзывался о работах своего молодого ученика и сотрудника.

Например, в основоположном мемуаре по теории интегралов в комплексной

области 1825 г., Коши, рассказывая о своих предыдущих результатах

писал:”Наконец, один молодой русский, одаренный большой проницательностью и

весьма искусный в анализе бесконечно малых, г. Остроградский, также

прибегнув к употреблению этих интегралов и их преобразованию в

обыкновенные, дал новое доказательство формул, мною выше упомянутых, и

обобщил другие формулы, которые я представил в 19-й тетради “Журнала

Политехнической школы”. Г. Остроградский любезно сообщил нам главные

результаты своей работы”. Столь же уважительны отзывы Коши об Остроградском

в статьях по теории вычетов. Много позднее, в работе, в которой установлен

ряд общих свойств интегралов линейных уравнений с частными производными,

Коши вспоминал о парижских открытиях Остроградского:”Я хотел бы иметь

возможность сравнить полученные мною здесь результаты с результатами,

полученными г. Остроградским в мемуаре, в котором он установил несколько

общих предложений относительно интегрирования линейных уравнений в частных

производных. Но я только смутно помню этот мемуар и, так как не знаю, был

ли он где-либо опубликован, я лишен возможности произвести это сравнение”.

Весной 1828 г. Остроградский приехал в Петербург и здесь на

протяжении нескольких месяцев представил Академии наук три работы. Первая

содержала оригинальный, основанный на новой концепции интеграла (Коши),

вывод уравнения Пуассона, которому удовлетворяет объемный потенциал поля

тяготения в точке, лежащей внутри притягиваемой массы или на ее границе.

Следующая посвящена вопросу о перестановке порядка интегрирования в

двойном интеграле в случае бесконечного разрыва подынтегральной функции и

примыкает к аналогичным исследованиям Коши. Третьей был уже упомянутый

мемуар “Доказательство одной теоремы интегрального исчисления”, который

автор вскоре взял обратно для переработки и затем опубликовал для

переработки и затем опубликовал под названием “Заметки по теории теплоты”.

Коллинс представил о трудах Остроградского блестящий отзыв и 29 декабря

1828 г. молодой ученый был избран адъюнктом по прикладной математике. Два

года спустя он был выбран экстраординарным академиком и в 1831 г. –

ординарным.

Деятельность Остроградского в Академии была весьма разносторонней. Он

сделал более 85 научных сообщений, частью неопубликованных; читал публичные

лекции; писал подробные отзывы на поступавшие в Академию работы, участвовал

в комиссиях по введению григорианского календаря и десятичных мер (что

было сделано лишь после великой Октябрьской социалистической революции), по

водоснабжению Петербурга и т. д., занимался по поручению правительства

изысканиями по внешней баллистике, и т. д. Вместе с тем Остроградский много

времени уделял преподаванию. С 1828 г. он начал читать лекции в Морском

корпусе (впоследствии Морской академии), где преемниками его

последовательно были В.Я. Буняковский, А.Н. Коркин, А.Н. Крылов. С годами

педагогическая деятельность Остроградского становилась все более

интенсивной. Он вел занятия по математике и механике в Институте инженеров

путей сообщения, Главном инженерном и Главном артиллерийском училищах,

Главном педагогическом институте. С 1847 г. и до своей смерти он работал на

посту главного наблюдателя по преподаванию математических наук во всех

военных заведениях страны. Ему принадлежат несколько руководств по

элементарной и высшей математике.

Педагогические взгляды Остроградского были весьма прогрессивными. Он

считал, что в гимназиях и кадетских корпусах нужны лаборатории и

мастерские, где учащиеся приобретали бы трудовые навыки, производили опыты

и наблюдения. Он выступал за наглядность обучения математике, особенно в

раннем возрасте, и критиковал сухое и формальное изложение этого предмета в

современной ему школе. Он был сторонником введения в специальных старших

классах средних военных учебных заведений идеи функции и начал анализа;

курс математики, с его точки зрения, должен быть связан с другими

предметами, как физика, в которых применяются математические методы. Как

видно, в ряде пунктов Остроградский предвосхитил идеи так называемого

движения за реформу преподавания, возникшего в начале XX века. Кое-чего

Остроградский достиг в этом направлении в кадетских корпусах. Однако более

широкая реализация педагогических установок Остроградского стала возможной

лишь много позднее. Свое общее педагогическое credo Остроградский изложил

в написанной совместно с парижским математиком и инженером И.-О. Блюмом

(1812-1877) брошюре “Размышления о преподавании”, вышедшей на французском

языке. Чтение этого блестящего по изложению и глубокого по содержанию

сочинения интересно и в наши дни. Школьное преподавание арифметики, алгебры

и геометрии, - писали авторы, - ничем “не напоминает о насущной

необходимости изучения этих предметов для насущной жизни” и на деле дает

“только тот результат, что их усваивает очень небольшое число учеников”.

Этому в брошюре ярко противопоставлены принципы обучения, воспитывающего

наблюдательность и любознательность, техническую сноровку и научное

мышление. Для повышения интереса и привлечения внимания учеников Блюм и

Остроградский рекомендовали использовать историю наук и биографии

выдающихся людей, “принесших пользу наукам и искусству”:”Это в одно и то же

время отличная разрядка и средство с помощью живого рассказа запечатлеть то

или иное основное положение, либо удачное приложение теоретических

принципов”.

Школьная математика должна учитывать особенности детского восприятия,

но следует избегать общепринятой недооценки возможностей детей уже с

семилетнего возраста. В брошюре разобран вопрос об обучении ребят до 12

лет, причем только в гимназиях или специальных учебных заведениях; более

массовые школы, где учат началам чтения, письма и счета оставлены были в

стороне.

Остроградский оказал значительное влияние на развитие математики и

механики. Он, в частности, подготовлял условия для создания математической

школы, организованной Чебышевым, и сам основал русскую школу механики. К

его исследованиям примыкают многие последующие работы по математической

физике, по теории интегрирования иррациональных функций, по теории кратных

интегралов и даже по теории вероятностей, которыми он сам занимался

немного. Прямыми учениками Остроградского были создатель теории

автоматического регулирования И. А. Вышнеградский (1831-1895), автор

классических исследований по теории трения и влияния на него смазки и по

теории механизмов Н. П. Петров (1822-1889) и другие. Все перечисленные

математики вышли из Главного педагогического института, где Остроградский

преподавал с 1832 по 1859 г..

Научные заслуги Остроградского были высоко оценены и за рубежом. Он

был избран членом-корреспондентом французской Академии наук в 1856 г., а

еще ранее членом Американской академии наук и академий в Турине и в Риме.

Скончался он 1 января 1862 г.

Кратные интегралы.

Остановимся несколько подробнее на работах Остроградского по кратным

интегралам.

Формула Остроградского для преобразования тройного интеграла в

двойной, которую мы пишем обычно в виде

[pic] (1)

или

[pic],

где div A – дивергенция поля вектора А, Аn – скалярное произведение

вектора А на единичный вектор внешней нормали n граничной поверхности, в

математической литературе нередко связывалась ранее с именами Гаусса и

Грина. На самом деле в работе Гаусса о притяжении сфероидов можно усмотреть

только весьма частные случаи формулы (1), например при P=x, Q=R=0 и т. п.

Что касается Дж. Грина, то в его труде по теории электричества и магнетизма

формулы (1) вовсе нет; в нем выведено другое соотношение между тройным и

двойным интегралами, именно, формула Грина для оператора Лапласа, которую

можно записать в виде

[pic] (2)

Конечно, можно вывести формулу (1) и из (2), полагая

[pic] [pic] [pic]

и точно так же можно получить формулу (2) из формулы (1), но

Грин этого и не думал делать.

Все же вопрос об авторе интегральной формулы (1) оставался не вполне

ясным. Дело в том, что, как было недавно замечено, в мемуаре Пуассона по

теории упругости, выводится формула

[pic]

где слева стоит интеграл по объему, а справа интеграл по граничной

поверхности, причем [pic] суть направляющие косинусы внешней нормали.

Парижские рукописи Остроградского свидетельствуют, с полной

несомненностью, что ему принадлежит и открытие, и первое сообщение

интегральной теоремы (1). Впервые она была высказана и доказана, точно так,

как это делают теперь в “Доказательстве одной теоремы интегрального

исчисления”, представленном Парижской Академии наук 13 февраля 1826 г.,

после чего еще раз была сформулирована в той части “Мемуара о

распространении тепла внутри твердых тел ”, которую Остроградский

представил 6 августа 1827 г. “Мемуар” был дан на отзыв Фурье и Пуассону,

причем последний его, безусловно читал, как свидетельствует запись на

первых страницах обеих частей рукописи. Разумеется, Пуассону и не

приходила мысль приписывать себе теорему, с которой он познакомился в

сочинении Остроградского за два года до представления своей работы на

теории упругости.

Что касается взаимоотношения работ по кратным интегралам

Остроградского и Грина, напомним, что в “Заметке по теории теплоты”

выведена формула, обнимающая собственную формулу Грина, как весьма частный

случай. Непривычная теперь символика Коши, употребленная Остроградским в

“Заметке”, до недавнего времени скрывала от исследователей это важное

открытие. Разумеется, за Грином остается честь открытия и первой

публикации в 1828 г. носящей его имя формулы для операторов Лапласа.

Открытие формулы преобразования тройного интеграла в двойной помогло

Остроградскому решить проблему варьирования п-кратного интеграла, именно,

вывести понадобившуюся там общую формулу преобразования интеграла от

выражения типа дивергенции по п- мерной области и интеграл по

ограничивающей ее сверхповерхности S с уравнением L(x,y,z,…)=0. Если

придерживаться прежних обозначений, то формула имеет вид

[pic]

[pic] (3)

Впрочем, Остроградский не применял геометрических образов и терминов,

которыми пользуемся мы: геометрия многомерных пространств в то время еще не

существовала.

В “Мемуаре об исчислении вариаций кратных интегралов” рассмотрены

еще два важных вопроса теории таких интегралов. Во-первых, Остроградский

выводит формулу замены переменных в многомерном интеграле; во-вторых,

впервые дает полное и точное описание приема вычисления п- кратного

интеграла с помощью п последовательных интеграций по каждой из переменных в

соответствующих пределах. Наконец, из формул, содержащихся в этом мемуаре,

легко выводится общее правило дифференцирования по параметру многомерного

интеграла, когда от этого параметра зависит не только подынтегральная

функция, но и граница области интегрирования. Названное правило вытекает из

наличных в мемуаре формул настолько естественным образом, что позднейшие

математики даже отождествляли его с одною из формул этого мемуара.

Замене переменных в кратных интегралах Остроградский посвятил

специальную работу. Для двойного интеграла соответствующее правило вывел с

помощью формальных преобразований Эйлер, для тройного – Лагранж. Однако,

хотя результат Лагранжа верен, рассуждения его были не точными: он как бы

исходил из того, что элементы объемов в старых и новых переменных –

координатах – между собою равны. Аналогичную ошибку допустил вначале в

только что упомянутом выводе правила замены переменных Остроградский. В

статье “О преобразовании переменных в кратных интегралах” Остроградский

раскрыл ошибку Лагранжа, а также впервые изложил тот наглядный

геометрический метод преобразования переменных в двойном интеграле,

который, в несколько более строгом оформлении, излагается и в наших

руководствах. Именно, при замене переменных в интеграле [pic] по формулам

[pic], [pic], область интегрирования разбивается координатными линиями двух

систем u=const, v=const на бесконечно малые криволинейные

четырехугольники. Тогда интеграл можно получить, складывая сначала те его

элементы, которые отвечают бесконечно узкой криволинейной полосе, а затем,

продолжая суммировать элементы полосами, пока они все не будут исчерпаны.

Несложный подсчет дает для площади, которая с точностью до малых высшего

порядка может рассматриваться как параллелограмм, выражение [pic] , где

[pic], выбирается так, чтобы площадь была положительной. В итоге получается

известная формула

[pic].

Так дифференциальное выражение [pic], которое Эйлер формально

подставлял вместо dydx, а следуя рассуждениям Лагранжа для трехмерного

случая, нужно было бы считать равным dydx, приобрело у Остроградского

простой и ясный геометрический смысл.

Дифференциальные уравнения.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений заслуживают внимания

два результата Остроградского. В «Заметке о методе последовательных

приближений», предложен метод решения нелинейных уравнений с помощью

разложения в ряд по малому параметру, позволяющей избегать так называемых

вековых членов, содержащих аргумент вне тригонометрических функций. Такие

члены нередко появляются при употреблении обыкновенных приемов

интегрирования с помощью степенных рядов; неограниченно возрастая вместе с

аргументом, они порождают ошибочные приближения, а содержащее их решение

оказывается неподходящим. С этим явлением встречались еще астрономы XVIII

в. и задачей уничтожения вековых членов занимались Лаплас, Лагранж и

другие. Свой метод, основанный на одновременном разложении по параметру как

самого решения, так и периода входящих в него периодических функций,

Остроградский кратко пояснил на примере:

[pic], [pic] [pic],

который записал в несколько иной форме:

[pic],

совпадающей с данным уравнением при [pic]. Решение с точностью до

величин первого порядка относительно [pic], найденное обычным способом,

содержит вековой член:

[pic];

решение по способу Остроградского от него свободно:

[pic], [pic].

Найденное приближение Остроградский сопоставил с точным решением

уравнения в эллиптических функциях Якоби. Остроградский ограничился

получением первого приближения; в конце статьи он высказал намерение

приложить этот метод к движению планет вокруг Солнца. Намерение это,

видимо, не осуществилось, но как раз в работах по определению орбит

небесных тел идея Остроградского получила дальнейшее развитие. Одним из

первых таких трудов явилось исследование по теории возмущений шведского

ученого А. Линдстедта, работавшего в 1879 – 1886 гг. в Дерптском

университете. За этим последовали глубокие исследования А. Пуанкаре и А.

М. Ляпунова и, уже в советский период, Н. М. Крылова, который применил к

нему и другим, более общим классам линейных неоднородных уравнений второго

порядка, содержащих малый параметр, несколько модифицированный им метод

Ляпунова. В настоящее время метод малого параметра широко применяется к

исследованию нелинейных задач механики, физики и техники.

Небольшая “Заметка о линейных дифференциальных уравнениях”

Остроградского (1839) содержит классическую теорему, которая излагается

теперь в любом курсе дифференциальных уравнений. Дано уравнение

[pic].

и п его решений [pic], которые предполагаются линейно независимыми.

Согласно теореме Остроградского определитель

[pic]

выражается через коэффициент при (п-1)-й производной:

[pic],

где а – постоянная. Мы называем определитель [pic] по имени впервые

рассмотревшего его (в другой связи и более общей форме) польского

математика Г. Вронского (1812). Та же теорема была одновременно получена из

несколько иных соображений Ж. Лиувиллем (1838).

Некоторые работы Остроградского были связаны с конкретными задачами

современной ему военной техники. Так, например, в 1839-1842 гг. он по

поручению артиллерийского ведомства занимался изучением стрельбы

эксцентрическими сферическими снарядами, у которых центр фигуры отличен от

центра инерции. Этому вопросу Остроградский посвятил три небольшие статьи,

из которых одна содержала таблицы интегралов, нужных для решения задачи о

движении снаряда в воздухе при квадратичном законе сопротивления. К работам

по баллистике в свою очередь примыкали исследования Остроградского по

приближенным вычислениям, в том числе и упоминавшаяся работа 1839 г.,

содержащая вывод остаточного члена формулы суммирования Эйлера-Маклорена.

План:

1. Жизненный путь М. В. Остроградского.

2. Кратные интегралы.

3. Дифференциальные уравнения.

4. Заключение.

МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. А. А. КУЛЕШОВА

Реферат

на тему:

М. В. Остроградский

Выполнила

студентка

физико-математического

факультета

V курса, группы “B”

Семерикова Юлия

МОГИЛЕВ

2002.