Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Введение 3

1.Постановка задачи 3

2. Оценочный анализ решения задачи. 4

2.1. Оценка решения сверху. 4

2.2. Оценка решения в виде интеграла 5

2.3. Выбор интервала ([pic] ) и оценка погрешности 8

3. Формулировка результата в виде теоремы 10

4. Примеры 11

Заключение 12

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 13

Введение

В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение

аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и

положений анализа позволяет получить качественную картину поведения

функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения.

Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение

результата необходимо с заданной точностью.

1.Постановка задачи

В дипломной работе рассматривается задача:

[pic](З)

0[pic][pic][pic].

t

[pic] x

Требуется привести пример оценки решения задачи (З) в области [pic]

, и исследовать полученную оценку при [pic]

2. Оценочный анализ решения задачи.

Оценка решения задачи (З) основывается на принципе максимума для

уравнения теплопроводности : «Всякое решение уравнения [pic] в

прямоугольнике [pic] , непрерывное вплоть до границы, принимает свои

наибольшее и наименьшее значения на нижних или на боковых его границах»

[2].

2.1. Оценка решения сверху.

В области t=t , x=[pic] рассмотрим решение задачи :

[pic], V(0,x) = [pic]( x ), x[pic] , (1)

это решение имеет вид [1]:

v (t, x) = [pic]. (2)

Зафиксируем некоторое [pic]и перейдем к исходной системе координат, тогда

(2) в системе t=t, x=[pic] будет выглядеть так:

V(t, x) = [pic] (2’)

Из принципа максимума [2] заключаем, что:

U( t, x ) [pic] V( t, x ). (3)

Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).

2.2. Оценка решения в виде интеграла

Разобьем интервал [pic]< x [pic] [pic] на две части [pic]и [pic],

тогда интеграл (2’) запишется в виде:

V( t, x ) = [pic]. (*)

Исследуем знак подинтегрального выражения, принимая во внимание, то

что [pic]:

[pic] ; (а)

[pic] ;

[pic] ;

где [pic] .

После проведенного исследования видно, что

[pic]

Использовав известное разложение [pic],

где Z [pic]0, [pic] , заменим экспоненты во втором интеграле рядами:

(а) [pic];

(б) [pic].

В результате получим :

[pic]

Здесь:

[pic], [pic] , (4.1)

[pic], [pic]. (4.2)

Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое

суммы ряда:

m=1,

[pic]

U(t, x) [pic] . (5)

Выше приведенная оценка не отражает качественной картины и может быть

использована при дальнейших исследованиях задач подобного вида. ( т .к

.[pic]фиксированно)

Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).

[pic]

пусть [pic]

(т.е. [pic]финитна), в соответствии с принципом максимума:

[pic] , (3’)

при [pic]

где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:

[pic]

[pic]

Аналогично, как и выше

[pic]

здесь:

[pic]

Таким образом,

[pic]

(используем разложение в ряд Тейлора)

В итоге,

[pic] (5.1)

Рассмотрим два случая:

а) Пусть [pic]

[pic],

тогда в правой части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые

стремятся к нулю быстрее любой степени [pic],

поэтому (5.1) можно переписать как:

[pic] (5.2)

б) Пусть [pic]тогда:

[pic]

где [pic]

В результате получаем:

[pic] (5.3)

2.3. Выбор интервала ([pic] ) и оценка погрешности

Зададим произвольно некоторую константу [pic]>0, потребовав чтобы в

(5)

[pic]<[pic].

[pic] при [pic].

Неравенство (5) можно только усилить, если

[pic]< [pic] (6)

Рассмотрим общий вид [pic]:

[pic] ; (7)

[pic][pic] , (7.1)

b=x ( k=1 ) , b=2[pic](k=2) [pic] оценка (7.1) эквивалентна системе

неравенств:

[pic] ,

откуда:

[pic]. (8)

Т. к. в работе исследуется поведение неравенства (3) при [pic] то

принимаем что для некоторого [pic]:

[pic]. (9)

3. Формулировка результата в виде теоремы

Обобщая результаты всей работы в целом можно сформулировать следующие

теоремы:

1. Пусть для уравнения теплопроводности имеет место задача

[pic](З)

[pic]- гладкая, непрерывно - дифференцируемая функция на [pic],а функция

[pic]ограничена на R : [pic].

Тогда для любого сколь малого числа [pic] можно указать число

[pic],

такое что имеет место следующая оценка «сверху» решения задачи (З):

[pic]

Раскрыв квадратные скобки, получим:

[pic].

2. Пусть в имеет место задача (З), [pic]- монотонная, неограниченная,

возрастающая функция, [pic]тогда:

3) если [pic], то

[pic]

2) если [pic] то

[pic]

Замечанние:видно, что оценку полученную в теореме 2 можно получить и при

более слабых ограничениях [pic]

4. Примеры

Пусть [pic], [pic]

a) [pic]

b) [pic] .

Заключение

В дипломной работе произведена оценка решения «сверху» для уравнения

теплопроводности с движущей границей по заданному закону. Аналогично, можно

получить оценку решения «снизу». Для этого нужно рассмотреть ступенчатую

область, в которой для каждой ступеньки решение может быть получено

согласно 2.1 (2) . Число таких ступенчатых областей необходимо выбрать

таким образом, чтобы оценка полученная снизу была сравнима с полученной

выше оценкой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики. Изд.

«Наука», М. 1966 (с. 230 -233);

2. С. К. Годунов, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М. 1973 .

33-34);

3. Л. Д. Кудрявцев, Краткий курс математического анализа. Изд. «Наука», М.

1989.