Первичная статистическая обработка информации

Первичная статистическая обработка информации

ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЛУЖБА ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ РОССИИ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Кафедра Прикладной математики

Курсовая работа

защищена с оценкой

________________________

профессор Монсик В.Б.

_________________________

(подпись руководителя, дата)

Курсовая работа по дисциплине

“Теория вероятностей и математическая статистика”

Вариант №39

Тема: Первичная статистическая обработка информации.

Статистическая проверка гипотез

Выполнил студент группы ПМ 2-2

Митюшин М.С.

______________________________

(дата, подпись)

Москва - 2002

СОДЕРЖАНИЕ

Исходные данные

3

Задание

3

Выполнение первого задания

4

Выполнение второго задания

8

Литература

13

1. Исходные данные: исследуются трудозатраты на выполнение комплекса

доработок на объекте (в человеко-часах).

Результаты независимых измерений трудозатрат на 100 объектах приведены в

таблице 1.

Таблица 1

|Числа |2 |10 |36 |33 |14 |5 |

|попаданий| | | | | | |

|с.в. в | | | | | | |

|разряды | | | | | | |

|[pic] | | | | | | |

Рис.1.

2.5. Статистический ряд распределения строится на базе сгруппированного

ряда. Для этого вычисляются частоты попадания значений x в соответствующие

разряды по формуле:

[pic]

Статистический ряд распределения представлен в таблице 4.

Таблица 4

|Разряды |[280..320|(320..360|(360..400|(400..440|(440..480|(480..520|

|[pic] |] |] |] |] |] |] |

|Частоты |0.02 |0.10 |0.36 |0.33 |0.14 |0.05 |

|[pic] | | | | | | |

2.6. Графической иллюстрацией статистического ряда распределения является

“полигон частот”, представленный на рис.2.

Рис.2.

2.7. Статистический ряд распределения является основой для вычисления и

построения эмпирической плотности вероятности (рис.3). Гистограмма строится

в виде прямоугольников, основания которых равны длинам разрядов, а высоты

определяются из соотношения:

[pic]

где [pic] длина j-го разряда (j=1..m).

Результаты расчетов по оценке эмпирической плотности вероятности [pic]

приведены в таблице 5, а гистограмма на рис.3. (dx = 40)

Таблица 5

|Разряды |[280..32|(320..36|(360..40|(400..44|(440..48|(480..52|

|[pic] |0] |0] |0] |0] |0] |0] |

|Значения |0.050 |0.250 |0.900 |0.825 |0.350 |0.125 |

|[pic] | | | | | | |

Рис.3.

3. Выполнение второго задания.

3.1. Вычислим точечные и интервальные оценки математического ожидания

(выборочного среднего значения) и дисперсии (выборочной исправленной

дисперсии) по данным таблиц 1 и 2. сначала определим точечные оценки.

[pic]

[pic]

[pic]

Интервальную оценку математического ожидания (доверительный интервал) при

заданной доверительной вероятности (надежности) [pic] и числе наблюдений

(объеме выборки) n =100 определим по формуле:

[pic],

где [pic] - точность вычисления МО по результатам наблюдений при заданных

значениях n и [pic]. [pic] , где [pic] определяется по таблицам Стьюдента:

[pic]=[pic]=1,984

[pic]

Интервальная оценка (доверительный интервал) для МО равна:

[pic]

Этим отрезком с вероятностью 0,95 накрывается истинное (неизвестное)

значение МО.

Интервальная оценка среднего квадратического отклонения (доверительный

интервал) определяется по формуле:

[pic],

где q определяется по таблице [pic]

q = q(100;0,95)=0,143

Доверительный интервал для оценки с.к.о. равен

42,493(1-0,143)< [pic] <42,493(1+0,143)

36,42<[pic]<48,57

Этим отрезком с вероятностью 0,95 накрывается истинное (неизвестное)

значение с.к.о.

3.2. На основании изучения гистограммы (рис.3) выдвинем гипотезу [pic] о

нормальном распределении генеральной совокупности случайных величин X -

трудозатрат на доработки на объекте. Нулевую гипотезу подвергнем

статистической проверке на противоречивость данным, полученным из опыта

(табл.1) по критериям [pic]- Пирсона и [pic]- Колмогорова.

В соответствии с методом моментов положим параметры нормального

распределения равным оценкам:

3.3. На графиках гистограммы и эмпирической функции распределения (рис.1,3)

построим сглаживающие функции (теоретические кривые) плотности вероятности

и функции распределения в соответствии с их выражениями:

[pic]

Для построения сглаживающих кривых используем таблицы нормированной

нормальной плотности вероятности

[pic]

и нормированной нормальной функции распределения

[pic]

Для входа в таблицы нормируем случайную величину Х по формуле:

[pic]

Значения нормированных величин [pic] на границах разрядов, численные

значения сглаживающих кривых на границах разрядов приведены в таблице 6.

Таблица 6

|Границы разрядов |280 |320 |360 |400 |440 |480 |520 |

|[pic] | | | | | | | |

|[pic] |-2,92 |-1,98 |-1,04 |-0,10 |0,84 |1,78 |2,73 |

|[pic] |0,0056|0,0562|0,2341 |0,3970|0,2803 |0,0818 |0,0096 |

|[pic] |0,013 |0,132 |0,55 |0,93 |0,66 |0,19 |0,023 |

|[pic] |0 |0,024 |0,14917|0,4602|0,79955|0,96246|0,99683|

3.4. Статистическую проверку гипотезы [pic] о нормальном распределении

случайной величины Х по выборке из 100 значений осуществим по двум

различным критериям.

1) Критерий [pic] - Пирсона.

Суммарная выборочная статистика [pic]- Пирсона рассчитывается по

результатам наблюдений по формуле:

[pic],

где [pic] - числа попаданий значений х в j – й разряд (табл.3);

n – число наблюдений (объем выборки);

m – число разрядов;

[pic] - вероятность попадания случайной величины Х в j – й интервал,

вычисляемая по формуле:

[pic],

где [pic], [pic] - границы разрядов;

Ф(u) – функция Лапласа.

Результаты расчетов выборочной статистики [pic] приведены в таблице 7.

Таблица 7

|№ | |[280..32|(320..36|(360..40|(400..44|(440..48|(480..52|

| | |0] |0] |0] |0] |0] |0] |

|1 |[pic] |2 |10 |36 |33 |14 |5 |

|2 |[pic] |0,0221 |0,1276 |0,3087 |0,3393 |0,1602 |0,0421 |

|3 |[pic] |2,21 |12,76 |30,87 |33,93 |16,02 |4,21 |

|4 |[pic] - |-0,21 |-2,76 |5,13 |-0,93 |-2,02 |0,79 |

| |[pic] | | | | | | |

|5 |[pic] |0,0441 |7,6176 |26,3169 |0,8649 |4,0804 |0,6241 |

|6 |<5>:<3> |0,02 |0,597 |0,853 |0,025 |0,2547 |0,1482 |

|7 |[pic] |[pic] |

Проверяем гипотезу [pic] о нормальном распределении генеральной

совокупности значений Х:

1). По таблице [pic]- распределения по заданному уровню значимости

[pic]=0,10 и числу степеней свободы k=m-2-1=3 (m=6 – число разрядов, 2 –

число параметров нормального распределения [pic]) определим критическое

значение [pic], удовлетворяющее условию:

[pic].

В нашем случае [pic]

2). Сравнивая выборочную статистику [pic], вычисленную по результатам

наблюдений, с критическим значением [pic], получаем:

[pic], [pic]

[pic]<[pic][pic][pic]- согласуется с данными опыта (принимается).

Вывод: статистическая проверка по критерию [pic]- Пирсона нулевой гипотезы

о нормальном распределении значений х генеральной совокупности, выдвинутой

на основании выборочных данных, не противоречит опытным данным.

2). Критерий [pic]- Колмогорова.

Выборочная статистика [pic]- Колмогорова рассчитывается по формуле:

[pic]

где [pic]

модуль максимальной разности между эмпирической [pic] и сглаживающей

функциями распределения.

При заданном уровне значимости [pic]=0,10 критическое значение

распределения Колмогорова [pic] Полученной на основании выражения:

[pic]

функции распределения статистики [pic]- Колмогорова.

Для проверки нулевой гипотезы проведем следующую процедуру:

1). Найдем максимальное значение модуля разности между эмпирической [pic] и

сглаживающей F(x) функциями распределения:

[pic]=0,063.

2). Вычислим значение выборочной статистики [pic] по формуле:

[pic]=0,063[pic]=0,63.

3). Сравнивая выборочную статистику [pic] и критическое значение [pic]

получаем:

[pic]=0,63<1,224=[pic].

Следовательно, гипотеза [pic] о нормальном распределении случайной величины

Х согласуется с опытными данными.

3.5. Вероятность попадания значений случайной величины Х на интервал [МО -

с.к.о.; МО + 2*с.к.о.] вычислим по формуле:

P=(X[pic][404,180-42,493;404,180+2*42,493])=P(X[pic][361,7;489,17])=

=[pic]=Ф(2)+ Ф (1)=

=0,477+0,341=0,818.

ЛИТЕРАТУРА

Монсик В.Б. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: Пособие к

выполнению курсовой работы. – М.: МГТУ ГА, 2002. – 24 с..

-----------------------

[pic]