Площадь поверхности тел вращения

Площадь поверхности тел вращения

МПС РФ

Омский Государственный Университет Путей Сообщения

Р Е Ф Е Р А Т

[pic]

«Определение площади тела вращения с помощью определенного интеграла.»

выполнила:

студентка

группы 29 Г

Митрохина Анна

Проверил :

Гателюк О.В.

Омск

2000г.

ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий

математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать

функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь,

пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой -

измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток

времени и т. п.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

Символ [pic]введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением

латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл

придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от

латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние,

восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает”

функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.)

Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я.

Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики

- интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Самое важное из истории интегрального исчисления!

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением

площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней

Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в

значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль

при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом

Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок.

287 - 212 до н. э.).

Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и

понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального

исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и

переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но

существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь

в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой

Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи

на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и

определение центров тяжести .

[pic]

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом

языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из

важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед

предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более

полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были

доведены до уровня исчисления.

[pic]

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на

трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых,

который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию

они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) ,

которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине

f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной

сумме

S = [pic] бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже

подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули

особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне

определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер

(1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и

“Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей

(например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось

на бесконечно тонкие пластинки).

Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери

(1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному

исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры

любой кривой y =[pic], где N - целое (т. е. вывел формулу [pic][pic]), и

на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И.

Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически

опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года),

учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и

дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в

виде степенных рядов.

[pic]

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII

столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи,

лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь

операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный

алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга

факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым

окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить

первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т.

п. Но главное уже было сделано:

дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии

(в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего

систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И.

Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские

математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский

(1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное

значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что

существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке,

Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших

математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского

математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов

фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.

[pic]

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были

предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А.

Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)

ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг

оси Ох.

Определим площадь этой поверхности на участке а ? х ? b. Функцию f(x)

предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках

отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2,….Мn-1B длины которых обозначим

через ?S1, ?S2… ?Sn (рис. 1). Каждая хорда длины ?Si (i=1,2,….n) при

вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ?Pi равна:

Применяя теорему Лагранжа получим:

,где

Следовательно

Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме

, или сумме

, (1)

распространенной на все звенья ломаной.

Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ?Si стремится к нулю,

называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не

является интегральной суммой для функции

(2)

, так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi ], фигурирует

несколько точек этого отрезка xi-1, xi ,?i.. Но можно доказать, что предел

суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.

или

(3)

Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения

возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке

а ? x ? b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f(x).

Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=?(t), y=?(t) (t0 ? t ?

t1) то формула (3) имеет вид,

(3/)

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]