Построение линии пересечения 2-х конусов и цилиндра

Построение линии пересечения 2-х конусов и цилиндра

Министерство общего и

профессионального образования РФ

Брянский Государственный

Технический Университет

кафедра

«Высшая математика»

Расчетно-графическая работа №1

Вариант №103

Студент группы 97ДПМ-1

Копачев Д.В.

Преподаватель

Салихов В.Х.

Брянск 1997

1. Описание изделия

На рисунке 1 изображено в трех проекциях изделие - поверхность,

состоящая из одного куска цилиндрической и двух кусков конической

поверхностей (КоКоЦ).

Дополнительные сведения:

раствор конуса ( = 300

радиус цилиндра R = 5 см

расстояние от оси конуса до оси цилиндра l =2 см

расстояние между осью цилиндра и вершиной каждого из конусов L = 6 см

2. Выбор системы координат

В качестве начала координат возьмем точку пересечения осей конусов.

Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси

второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы

система координат была правой.

Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью

Теоремы Пифагора:2

[pic]+ l = [pic]+ 2 = 7.7 (см)

таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением:

[pic][pic]

Вершина первого конуса имеет следующие координаты - (-7.7; 0; 0), вершина

второго конуса - (0; -7.7; 0).

3. Аналитическое описание несущих поверхностей

Уравнение цилиндрической поверхности:

(х+2)2+(y+2)2 = R2 ( I )

Параметризация цилиндрической поверхности:

[pic] (II)

Определение положения шва на цилиндрической детали:

потребуем, чтобы параметр u([pic][pic][pic][pic]. При этих значениях

u шов наиболее удален от конусов и описывается двойным уравнением x = y = -

l -[pic].

Уравнение первой конической поверхности:

(x + 7.7)2 tg2( = y 2+ z2 (III)

Параметризация первой конической поверхности:

[pic] (IV)

Определение положения шва на первой конической детали:

потребуем, чтобы (([-(sin(;(sin(]

Тогда шов будет наиболее удален от второго конуса.

Уравнение второй конической поверхности:

(y+7.7)2 tg2(=x2+z2 (V)

Параметризация второй конической поверхности аналогично первой (IV):

[pic] (VI)

(Также можно обойтись и без нее за счет использования симметрии).

4. Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке

цилиндра

Подставим параметризацию цилиндра (II) в уравнение первого конуса (III),

получаем уравнение:

(-2+Rcos[pic]+7.7)2tg2(=(-2+Rsin[pic])2+v2, которое в дальнейшем

преобразуется к виду:

v = v(u) = ([pic] (VII)

Знак «+» соответствует «верхней» половине линий отреза, Z ( 0 , знак «-» -

«нижней» половине этой линии. При некоторых значениях параметра u

подкоренное выражение отрицательно, что соответствует отсутствию

пересечения образующей цилиндра с первым конусом.

5. Описание линии пересечения цилиндра и второго конуса на выкройке

цилиндра

Линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить только при

u[pic]. Отражая эту линию симметрично относительно прямой u = [pic],

получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом.

6. Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке конуса

Подставляя параметризацию первого конуса (IV) в уравнение цилиндра (I),

получаем уравнение:

(-7.7+(cos(+2)2 + ((sin(cos[pic]+2)2 = R2

преобразуем:

((cos(-5.7)2 + ((sin(cos[pic]+2)2 = R2

(2cos2(-2*5.7*(cos(+32.49+(2sin2(cos2[pic]+4(sin(cos[pic]+4-R2 = 0

(2(cos2(+sin2(cos2[pic])+2((-5.7cos(+2 sin(cos[pic])+36.49-R2 = 0

Отсюда

(=((()=[pic] (IX)

a(()=1- sin2(sin2[pic] ;

b(()=2(2sin(cos[pic]-5.7cos();

c=36.49-R2 .

Линия пересечения симметрична относительно луча (=0; ветвь, соответствующая

знаку «-» в формуле (IX), посторонняя.

7. Описание линии пересечения конусов на выкройке первого конуса

Подставляя параметризацию первого конуса (IX), в уравнение второго

конуса(V), получаем уравнение:

((sin(cos[pic]+7.7)2tg2(=(-7.7+(cos()2+(2sin2(sin2[pic]

квадратное уравнение относительно переменной (.

После упрощения получим:

(2(sin2(cos2[pic]tg2(- cos2(-sin2(sin2[pic])+((2d(sin(cos[pic]

tg2(+cos())+d2 (tg2(-1)=0

(=[pic], (X)

где а = sin2(cos2[pic]tg2(- cos2(- sin2(sin2[pic];

b = d(sin(cos[pic] tg2(+cos();

c = d2(tg2(-1).

8. Выкройка второго конуса

Она идентична выкройке первого конуса.

9. Расчет выкройки цилиндрической детали

Подставляем в формулу (VII) конкретные числовые данные и рассчитываем

несколько точек (u, v). Результаты отчета заносим в таблицу 1.

Строим выкройку цилиндрической детали, учитывая, что линию пересечения

цилиндра с первым конусом следует строить симметрично относительно прямой

u([pic]; отражая эту линию пересечения относительно прямой u=[pic],

получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом. Полувысоту цилиндра

примем равной 8 см.

10. Расчет выкройки конических деталей

Произведем расчет по формулам ((; () по формулам (IX, X). Результаты

расчетов заносим в таблицы 2 и 3.

Возьмем сектор [pic] радиуса (0=26см., и, учитывая симметричность

относительно луча (=0, построим выкройку конической детали.

11. Изготовление выкроек деталей, сборка изделия

Изготовим выкройки деталей с припусками на соединение их в изделие,

учитывая предыдущее описание. Вырежем и склеим.