Поверхности 2-го порядка

Поверхности 2-го порядка

Министерство высшего образования Российской Федерации

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РЕФЕРАТ

На тему:

“ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА”

Факультет: ФТиКМ

Группа: РТС-99

Студент: Коцурба А.В.

Преподаватель: Лебедева Г.А.

Иркутск

1999

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной

системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

1. Эллипсоид.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной

системе координат определяется уравнением: [pic]

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения

данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из

таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое число, а

линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

[pic] (2)

Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.

1) Если [pic]> c (c>0), то [pic] и уравнения (2) определяют мнимый эллипс,

т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует.

2) Если [pic], то [pic] и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0;

0; - c) (плоскости [pic] касаются эллипсоида).

3) Если [pic], то уравнения (2) можно представить в виде

[pic]

откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с

полуосями [pic] и [pic]. При уменьшении [pic] значения [pic]и

[pic]увеличиваются и достигают своих наибольших значений при [pic], т. е. в

сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается самый большой

эллипс с полуосями [pic] и [pic].

Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности

плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как

замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются

полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.

2. Однополосный гиперболоид.

Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в

некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

[pic] (3)

Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного

гиперболоида.

Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее

координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно

уравнения

[pic] и [pic]

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h,

параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении,

определяется уравнениями

[pic] или [pic] (4)

из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с

полуосями [pic] и [pic],

достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного

гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с

полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании [pic] величины a* и b*

возрастают бесконечно.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный

гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере

удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

3. Двуполостный гиперболоид.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой

прямоугольной системе координат определяется уравнением

[pic] (5)

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного

гиперболоида.

Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его

сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно

уравнения

[pic] и [pic]

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h,

параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении,

определяется уравнениями

[pic] или [pic] (6)

из которых следует, что при [pic]>c (c>0) плоскость z=h пересекает

гиперболоид по эллипсу с полуосями [pic] и [pic]. При увеличении [pic]

величины a* и b* тоже увеличиваются.

При [pic] уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек:

(0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости [pic] касаются данной поверхности).

При [pic] уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения

плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.

Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

4. Эллиптический параболоид.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой

прямоугольной системе координат определяется уравнением

[pic] (7)

где p>0 и q>0.

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического

параболоида.

Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и

Oyz. Получаем соответственно уравнения

[pic] и [pic]

из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные

относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.

Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h,

параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении,

определяется уравнениями

[pic] или [pic] (8)

из которых следует, что при [pic] плоскость z=h пересекает эллиптический

параболоид по эллипсу с полуосями [pic] и [pic]. При увеличении h величины

a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0

касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый

эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический

параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.

Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его

параметрами.

В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е.

эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную

вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).

5. Гиперболический параболоид.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в

некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением

[pic] (9) [pic]

где p>0, q>0.

Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического

параболоида.

Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем

уравнение

[pic] (10)

из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх,

симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях

поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так

же направленные вверх параболы.

[pic]

рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).

Получаем уравнение

[pic]

из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но

теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в

начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными

плоскости Oyz (x=h), получим уравнения

[pic]

из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола,

направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями

(10).

Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy

. получим уравнения

[pic] или [pic]

из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы,

пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости

Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых

[pic] и [pic]

точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его

параметрами.

6. Конус второго порядка.

Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой

прямоугольной системе координат определяется уравнением

[pic] (11)

Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности

плоскостью Oxy (y=0) получаем линию

[pic]

распадающуюся на две пересекающиеся прямые

[pic] и [pic]

Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две

пересекающиеся прямые

[pic] и [pic]

Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости

Oxy. Получим

[pic] или [pic]

из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с

полуосями [pic] . При увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b*

также увеличиваются.

При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку

(0;0;0).

Cписок использованной лит-ры:

1.Шипачёв

В.С.:”Высшая мат-ка”

Если сдал РЕФЕРАТ, то отправь свои данные в

коллекцию!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

?