Практическое применение производной

Практическое применение производной

Южно-Сахалинский Государственный Университет

Кафедра математики

Курсовая работа

Тема: Практическое применение производной

Автор: Меркулов М. Ю.

Курс: 3

Преподаватель: Лихачева О. Н.

Оценка:

Южно-Сахалинск

2002г

Введение

В данной работе я рассмотрю применения производной в различных науках и

отраслях. Работа разбита на главы, в каждой из которых рассматривается одна

из сторон дифференциального исчисления (геометрический, физический смысл и

т. д.)

1. Понятие производной

1-1. Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17

столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского

математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в

ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается

наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась

кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться

в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого

Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли

Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

1-2. Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в

промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит приращение

?y = f(x + ?x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ?y / ?x при

?x > 0, называется производной от функции f(x).

y'(x)=[pic]

1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

|C' = 0 |(xn) = nxn-1 |(sin x)' = cos x |

|x' = 1 |(1 / x)' = -1 / x2|(cos x)' = -sin x |

|(Cu)'=Cu' |(?x)' = 1 / 2?x |(tg x)' = 1 / cos2 x |

|(uv)' = u'v + uv' |(ax)' = ax ln x |(ctg x)' = 1 / sin2 x |

|(u / v)'=(u'v - uv') |(ex)' = ex |(arcsin x)' = 1 / ? (1-|

|/ v2 | |x2) |

| |(logax)' = (logae)|(arccos x)' = -1 / ? |

| |/ x |(1- x2) |

| |(ln x)' = 1 / x |(arctg x)' = 1 / ? (1+ |

| | |x2) |

| | |(arcctg x)' = -1 / ? |

| | |(1+ x2) |

2. Геометрический смысл производной

2-1. Касательная к кривой

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к

точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN,

если точку N неограниченно приближать по кривой к M.

Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При

некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на

кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ?x, его

значению соответствует значение функции y0 + ?y = f(x0 + ?x).

Соответствующая точка - N(x0 + ?x, y0 + ?y). Проведем секущую MN и

обозначим ? угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox.

Из рисунка видно, что ?y / ?x = tg ?. Если теперь ?x будет приближаться к

0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться

вокруг точки M, а угол ? - меняться. Если при ?x > 0 угол ? стремится к

некоторому ?, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным

направлением оси абсцисс угол ?, будет искомой касательной. При этом, ее

угловой коэффициент:

[pic]

То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно

тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox

касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).

Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное

определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция

задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут

равны частным производным f по x и y.

2-2. Касательная плоскость к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость,

содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности,

проходящим через M - точку касания.

Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо

обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности

некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями

x = ?(t); y = ?(t); z = ?(t).

Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в

тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство

инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение

по t:

[pic]

Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид:

[pic]

Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим

дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:

F'x(x - x0) + F'y(y - y0) + F'z(z - z0)=0

и для частного случая z = f(x, y):

Z - z0 = F'x(x - x0) + F'y(y - y0)

Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a)

гиперболического параболоида

[pic]

Решение:

Z'x = x / a = 2; Z'y = -y / a = -1

Уравнение искомой плоскости:

Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a

3. Использование производной в физике

3-1. Скорость материальной точки

Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении

материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t0 -некоторый момент

времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ?t = t - t0 и

вычислим приращение пути: ?s = f(t0 + ?t) - f(t0). Отношение ?s / ?t

называют средней скоростью движения за время ?t, протекшее от исходного

момента t0. Скоростью называют предел этого отношения при ?t > 0.

Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ?t) - это

величина <a>=?v / ?t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент

времени t будет предел среднего ускорения:

[pic]

То есть первая производная по времени (v'(t)).

Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s

= A + Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2). Определить время после

начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2.

Решение:

v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t =

2;

1,8 = 0,18t; t = 10 c

3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре

Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T1 -

T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q1 - Q,

причем отношение

[pic]

для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного

вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q =

f(T). Тогда ?Q = f(t + ?T) - f(T). Отношение

[pic]

называется средней теплоемкостью на отрезке [T; T + ?T], а предел этого

выражения при ?T > 0 называется теплоемкостью данного вещества при

температуре T.

3-3. Мощность

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на

него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс

обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится

понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы,

вводят понятие мощности:[pic].

4. Дифференциальное исчисление в экономике

4-1. Исследование функций

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа

математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является

изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком

направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при

введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при

повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное

оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных

задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных,

которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В

экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение

показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль,

максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель

представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким

образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению

экстремума функции.

По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в

ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по

одному из достаточных условий экстремума:

1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0.

Если производная f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на -,

то x0 - точка максимума, если с - на +, то x0 - точка минимума, если не

меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки

x0, причем f '(x0) = 0, f ''(x0) ? 0, то в точке x0 функция f(x0) имеет

максимум, если f ''(x0) < 0 и минимум, если f ''(x0) > 0.

Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график

функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на

этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).

Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли

которой может быть смоделирована зависимостью:

?(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10

Решение:

?'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 > qextr = 4

При q < qextr = 4 > ?'(q) < 0 и прибыль убывает

При q > qextr = 4 > ?'(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может

производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) =

p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить,

а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же

фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет

выпуск на пределе своих производственных мощностей.

4-2. Эластичность спроса

Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел

[pic]

Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая

эластичность спроса ED - это величина, характеризующая то, как спрос

реагирует на изменение цены. Если |ED|>1, то спрос называется эластичным,

если |ED|<1, то неэластичным. В случае ED=0 спрос называется совершенно

неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению

спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя

увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос

является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности

спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на

продукцию.

4-3. Предельный анализ

Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в

экономике - методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов

исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях

объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных

значений. Предельный показатель (показатели) функции - это ее производная

(в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае

функции нескольких переменных)

В экономике часто используются средние величины: средняя производительность

труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто

требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут

увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если

затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить

невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения

приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект.

Следовательно, для их решения необходимо применение методов

дифференциального исчисление.

5. Производная в приближенных вычислениях

5-1. Интерполяция

Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по

нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в

картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом

интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и

интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна

которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бульшую

точность.

Пусть Kn - система узловых точек a = x0 < x1 <…< xn = b. Функция Sk(x)

называется сплайн-функцией Sk(x) степени k?0 на Kn, если

а) Sk(x) є Ck-1([a, b])

б) Sk(x) - многочлен степени не большей k

Сплайн-функция ?k(x) є Sk(Kn) называется интерполирующей сплайн-функцией,

если ?k(xj) = f(xj) для j = 0,1,…,n

В приложениях часто бывает достаточно выбрать k=3 и применить т. н.

кубическую интерполяцию.

[pic]

Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то

для x є [xj-1 ,xj]

[pic]

[pic]

Здесь s2j, cj1, cj0 неизвестны для j = 1, 2, …, n

Последние исключаются в силу требования s(xj) = yj:

[pic][pic]Дифференцируя эту функцию и учитывая, что s'(x) на всем интервале

и, следовательно, в частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно

получаем систему уравнений:

[pic]

относительно n+1 неизвестных s20, s21,…, s2n. Для однозначного их

определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения:

Нормальный случай(N):

[pic]

Периодический случай(P) (т. е. f(x+(xn-x0))=f(x)):

[pic]

Заданное сглаживание на границах:

[pic]

Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.

Функция периодическая, поэтому используем случай P.

|j |xj |yj |hj |yj-yj-1 |

|0 |0 |0 |?/2 |1 |

|1 |?/2 |1 |?/2 |-1 |

|2 |? |0 |?/2 |-1 |

|3 |3?/2 |-1 |?/2 |1 |

|4 |2? |0 | | |

[pic]

Сплайн-функция получается такая:

[pic]

5-2. Формула Тейлора

Разложение функций в бесконечные ряды позволяет получить значение функции в

данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в

программировании и других дисциплинах

Говорят, что функция разлагается на данном промежутке в степенной ряд,

если существует такой степенной ряд a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 + … + an(x

- a)n + …, который на этом промежутке сходится к данной функции. Можно

доказать, что это разложение единственно:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд вида

[pic]

называется рядом Тейлора для функции f(x), записанным по степеням разности

(x - a). Вообще, чтобы ряд Тейлора сходился к f(x) необходимо и достаточно,

чтобы остаточный член ряда стремился к 0. При a = 0 ряд Тейлора обычно

называют рядом Маклорена.

С помощью ряда Маклорена можно получить простые разложения элементарных

функций:

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] | |

5-3. Приближенные вычисления

Часто бывает, что функцию f(x) и ее производную легко вычислить при x = a,

а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции

затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с

помощью формулы Тейлора:

[pic]

Пример: Извлечь квадратный корень из 3654

Решение: [pic], x0=3654. Легко вычисляются значения f(x) и [pic] при x =

3600. Формула при a = 3600, b=54 дает:

[pic]

С помощью этой формулы можно получить несколько удобных формул для

приближенных вычислений:

|[pic] |[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |[pic] |

Заключение

Применение производной довольно широко и его сложно полностью охватить в

работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные, базовые моменты.

В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с

быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление

становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных

задач.

Литература

|М. Я. Выгодский |Справочник по высшей математике |

|И. Н. Бронштейн, |Справочник по математике для инженеров и |

|К. А. Семендяев |учащихся ВТУЗов |

|И. М. Уваренков, |Курс математического анализа,т.1 |

|М. З. Маллер | |

|В. А. Дударенко, |Математический анализ |

|А.А. Дадаян | |

|Н. С. Пискунов |Дифференциальное и интегральное исчисления|

|Т. И. Трофимова |Курс физики |

|О. О. Замков |Математические методы в экономике |

|А. В. Толстопятенко | |

|Ю. Н. Черемных | |

|А. С. Солодовников |Математика в экономике |

|В. А. Бабайцев | |

|А. В. Браилов | |

|И .Г. Шандра | |

Содержание:

Введение

1. Понятие производной

1-1. Исторические сведения

1-2. Понятие производной

1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

2. Геометрический смысл производной

2-1. Касательная к кривой

2-2. Касательная плоскость к поверхности

3. Использование производной в физике

3-1. Скорость материальной точки

3-2. Теплоемкость при данной температуре

3-3. Мощность

4. Дифференциальное исчисление в экономике

4-1. Исследование функций

4-2. Эластичность спроса

4-3. Предельный анализ

5. Производная в приближенных вычислениях

5-1. Интерполяция

5-2. Формула Тейлора

5-3. Приближенные вычисления

Заключение

Список использованной литературы

-----------------------

x

x+?x

?x

?y

M

?

?

N