Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

Магнитогорский государственный технический университет

Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

Подготовил: Григоренко М.В.

Студент группы ФГК-98

Магнитогорск –1999

Ведение

Для решения были предложены следующие уравнения:

x3 – 4x – 2 = 0 и 4x = cosx

При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция

(((x) = x3 – 4x – 2 и ((x) = 4x – cosx), а решениями уравнения являются

нули соответствующей функции.

Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы

на всей области определения (–( ; ().

Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью

(0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от

однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную

точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована ЭВМ и

программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные специально для решения

данных задач.

Способ хорд

Теоретическая часть

Данный способ можно свести к следующему алгоритму:

1. Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри

каждого отрезка [x1;x2] функция монотонная, а на его концах значения

функции ((x1) и ((x2) разных знаков. Так как функция ((x) непрерывна

на отрезке [x1;x2], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной

точке между x1 и x2.

2. Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y = ((x),

соответствующие абсциссам x1 и x2. Абсцисса a1 точки пересечения

этой хорды с осью ОХ и будет приближенным значением корня. Для

разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ,

проходящей через две данные точки A(x1;((x1)) и B(x2; ((x2)), в

каноническом виде:

[pic];

Учитывая, что y = 0 при x = a1, выразим из данного уравнения a1:

[pic]

3. Чтобы получить более точное значение корня, определяем ((а1). Если

на данном отрезке мы имеем ((x1)<0, ((x2)>0 и ((a1)<0, то повторяем

тот же прием, применяя формулу (1) к отрезку [a1;x2]. Если ((x1)>0,

((x2)<0 и ((a1)>0, то применяем эту формулу к отрезку [x1;a1].

Повторяя этот прием несколько раз, мы будем получать все более

точные значения корня а2, а3 и т.д.

Пример 1. x3 – 4x – 2 = 0

((x) = x3 – 4x – 2,

(((x) = 3x2 – 4,

производная меняет знак в точках [pic]

(((x) + – +

((x) [pic] [pic] х

функция ((x) монотонно возрастает при x((–(;[pic]] и при х([[pic];(), и

монотонно убывает при x([[pic];[pic]].

Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых

находится по одному корню.

Для удобств дальнейших вычислений сузим эти участки монотонности. Для

этого подставляем наугад в выражение ((х) наугад те или иные значения х,

выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки,

на концах которых функция имеет разные знаки:

((–2)= –2,

((–1)= 1,

((0)= –2,

((1)= –5,

((2)= –2,

((3)= 13.

Таким образом, корни находятся в интервалах

(–2;–1), (–1;0), (2;3).

Пункты 2 и 3 алгоритма выполняются при помощи ЭВМ (текст

соответствующей программы приводится в Приложении 1) Программа выводит

последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью для

каждого из участков:

Для (–2;–1): Для (–1;0):

a1=-1.33333 при х1=-2.00000 и x2=-1.00000

a2=-1.55000 при х1=-2.00000 и x2=-1.33333

a3=-1.63653 при х1=-2.00000 и x2=-1.55000

a4=-1.66394 при х1=-2.00000 и x2=-1.63653

a5=-1.67195 при х1=-2.00000 и x2=-1.66394

a6=-1.67423 при х1=-2.00000 и x2=-1.67195

a7=-1.67488 при х1=-2.00000 и x2=-1.67423

a8=-1.67506 при х1=-2.00000 и x2=-1.67488

a9=-1.67511 при х1=-2.00000 и x2=-1.67506

a10=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67511

a11=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67513

для (2;3)

a1=2.13333 при х1=2.00000 и x2=3.00000

a2=2.18501 при х1=2.13333 и x2=3.00000

a3=2.20388 при х1=2.18501 и x2=3.00000

a4=2.21063 при х1=2.20388 и x2=3.00000

a5=2.21302 при х1=2.21063 и x2=3.00000

a6=2.21386 при х1=2.21302 и x2=3.00000

a7=2.21416 при х1=2.21386 и x2=3.00000

a8=2.21426 при х1=2.21416 и x2=3.00000

a9=2.21430 при х1=2.21426 и x2=3.00000

a10=2.21431 при х1=2.21430 и x2=3.00000

Приближенным значением корня уравнения на отрезке

(–2;–1) является x = –1,6751

-----------------------

a1=-0.66667 при х1=-1.00000 и x2=0.00000

a2=-0.56250 при х1=-0.66667 и x2=0.00000

a3=-0.54295 при х1=-0.56250 и x2=0.00000

a4=-0.53978 при х1=-0.54295 и x2=0.00000

a5=-0.53928 при х1=-0.53978 и x2=0.00000

a6=-0.53920 при х1=-0.53928 и x2=0.00000

a7=-0.53919 при х1=-0.53920 и x2=0.00000

a8=-0.53919 при х1=-0.53919 и x2=0.00000