Приближенное вычисление определенных интегралов

Приближенное вычисление определенных интегралов

Магнитогорский Государственный технический университет

Приближенное вычисление определенных интегралов.

ФОРМУЛА ПАРАБОЛ (ФОРМУЛА СИМПСОНА)

Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.

Магнитогорск –1999

Н

е для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через

элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по

формуле Ньютона-Лейбница затруднительно, и применяются различные способы

вычисления определенных интегралов. Один из них приведен ниже.

Формула парабол (формула Симпсона)

Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь

криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1] и

[x1,x2] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью

криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени,

проходящей через три точки M(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2) и имеющей ось,

параллельную оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем называть

параболической трапецией.

Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид

y = Ax2 + Bx + C.

Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола

проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других

пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное

значение интеграла.

Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.

Если криволинейная трапеция ограничена параболой

y = Ax2 + Bx + C,

осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее

площадь равна

S = h/3 (y0 + 4y1 + y2), (?)

где у0 и у2 – крайние ординаты, а у1 – ордината кривой в середине

отрезка

Пользуясь формулой (?), мы можем написать следующие приближенные

равенства (h=?x):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа

его приближенное значение:

Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления n = 2m

произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части

равенства дает значение интеграла.

Примеры

Было дано задания вычислить приблизительно следующие определенные

интегралы:

И

Для вычисления данных интегралов мною были написаны специальные

программы на языке Visual Basic for Application. (тексты программ приведены

в приложении).

Программы осуществляют запрос количества отрезков, на которые следует

разбить заданный отрезок. Структура программ универсальна и применима для

вычисления любых определенных интегралов. Для этого необходимо изменить

границы определенного интеграла в строках (*) и (**), а также

подынтегральную функцию в строке (***).

Были получены следующие ответы:

При n = 20.

Приложение

'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол

'(формула Симпсона)

Option Explicit

Sub integral_1()

Dim i As Integer, n As Integer

Dim t As Boolean

Dim b As Double, a As Double

Dim chet As Double, nechet As Double

Dim delta As Double, result As Double

a = 0

'(*)

b = 1

'(**)

t = True

Do

n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")

If n Mod 2 = 0 Then t = False

Loop While t

delta = (b - a) / n

chet = 0

nechet = 0

For i = 1 To n - 1

If (i Mod 2) = 0 Then

chet = chet + (f(a + (delta * i)))

Else

nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))

End If

Next i

result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))

MsgBox result, vbInformation, "Результат"

End Sub

Function f(x) As Double

f = Sqr(1 + (x ^ 4))

'(***)

End Function

'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол

'(формула Симпсона)

Option Explicit

Sub integral_1()

Dim i As Integer, n As Integer

Dim t As Boolean

Dim b As Double, a As Double

Dim chet As Double, nechet As Double

Dim delta As Double, result As Double

a = 2

'(*)

b = 5

'(**)

t = True

Do

n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")

If n Mod 2 = 0 Then t = False

Loop While t

delta = (b - a) / n

chet = 0

nechet = 0

For i = 1 To n - 1

If (i Mod 2) = 0 Then

chet = chet + (f(a + (delta * i)))

Else

nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))

End If

Next i

result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))

MsgBox result, vbInformation, "Результат"

End Sub

Function f(x) As Double

f = 1 / (Log(x))

'(***)

End Function

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]