Приложения производной

Приложения производной

Лицей информационных технологий

Реферат

Производная и ее приложения

Выполнил: ученик 11А класса

Новиков А.

Проверила: Шекера Г.В.

г.Хабаровск

2004

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………….…3

1. Понятие производной……………………………………………………....………………....4

2. Геометрический смысл производной…………………….………………….......……..4

3. Физический смысл производной……………………………………………………….…….5

4. Правила дифференцирования………………………………………………………….……..6

5. Производные высших порядков……………………………………………………….……..7

6. Изучение функции с помощью производной

6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции……………………………..8

6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции.

Достаточные условия экстремума функции………………..…………………...…….11

6.3 .Правило нахождения экстремума………………………………………………….....12

6.4.Точка перегиба графика функции………………………………………………...…...12

6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика……………………..15

6.5. Касательная и нормаль к плоской кривой…………………………..………………..15

7.Экономическое приложение производной.

7.1.Экономическая интерпретация производной………………………………...……….16

7.2. Применение производной в экономической теории...………………………..……..19

7.3. Использование производной для решения задач по экономической

теории….…...21

8. Применение производной в физике…………………………………………………….…..23

9. Применение производной в алгебре

9.1. Применение производной к доказательству неравенств…………………………....25

9.2. Применение производной в доказательстве тождеств………………………….…...28

9.3. Применение производной для упрощения алгебраических

и тригонометрических выражений……………………………………………….……29

9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной…………………...30

9.5. Применение производной в вопросах существования корней

уравнений………....31

Заключение……………………………………………………………………………………...32

Список литературы……………………………………………………………………………..33

Введение

Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не

возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие

фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического

развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой

математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от

изменения ее размеров. Однако древними греками идея функциональной

зависимости осознавалась интуитивно.

Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед

математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами

математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы,

отличные от методов элементарной математики.

Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий

математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он

не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией

изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким

образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В современных

терминах это определение связано с понятием множества и звучит так:

«Функция есть произвольный способ отображения множества А = {а} во

множество В = {в}, по которому каждому элементу а[pic]А поставлен в

соответствие определенный элемент в[pic]В. Уже в этом определении не

накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может

быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием). Главное в

этом определении: [pic]а[pic]А[pic]!b[pic]B. Под элементами множеств А и В

понимаются при этом элементы произвольной природы.

В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается

изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось

оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в

математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших

преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы

дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального

исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с

помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов:

определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов

функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений

квадратных корней.

Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в

1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых

излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала,

объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.

Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику,

превратив ее в математику переменных величин.

Исследование поведения различных систем (технические, экономические,

экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений,

включающих как параметры системы, так и скорости их изменения,

аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения,

содержащие производные, называются дифференциальными.

В своей же работе я хочу подробнее остановится на приложениях

производной.

1. Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей

знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического

процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют

производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и

обозначают символом

[pic]

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую

функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех

шагов:

1) даем аргументу x приращение ? x и определяем соответствующее

приращение функции ? y = f(x+? x) -f(x);

2) составляем отношение[pic]

3) считая x постоянным, а ? x (0, находим[pic], который обозначаем через

f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь

от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x

называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при

условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот

предел существует, т.е. конечен.

Таким образом, [pic], или [pic]

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение

[pic]при ? x(0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят,

что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не

дифференцируема в точке x=a.

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки

x0

[pic]

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции -

точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)).

Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x; ВС =?у;

tg?=?y/?x .

Так как АС || Ox, то (ALO = (BAC = ? (как соответственные при

параллельных). Но (ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному

направлению оси Ох. Значит, tg? = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х> 0. При этом точка В будет

приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться.

Предельным положением секущей АВ при ?х> 0 будет прямая (a), называемая

касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ?х > 0 в равенстве tg? =?y/?x, то получим[pic]

или tg( =f '(x0), так как [pic] (-угол наклона касательной к положительному

направлению оси Ох [pic], по определению производной. Но tg( = k - угловой

коэффициент касательной, значит, k = tg( = f '(x0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к

графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.

3. Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в

любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость

за промежуток времени [t0; t0+ ?t] равна отношению расстояния, пройденного

за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t > 0.

lim Vср (t) = ((t0) - мгновенная скорость в момент времени t0, ?t > 0.

а lim = ?x/?t = x'(t0) (по определению производной).

Итак, ((t) =x'(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции

y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной

функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от

времени.

((t) = x'(t) - скорость,

a(f) = ('(t) - ускорение, или

a(t) = x"(t).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно

найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

? = ?(t) - изменение угла от времени,

? = ?'(t) - угловая скорость,

? = ?'(t) - угловое ускорение, или ? = ?"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно

найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса,

x ( [0; l], l - длина стержня,

р = m'(х) - линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических

колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины.

Положив ?2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника

х"(t) + ?2x(t) = 0,

где ? = ?k/?m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + ?2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний

(механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений

является функция

у = Asin(?t + ?0) или у = Acos(?t + ?0), где

А - амплитуда колебаний, ? - циклическая частота,

?0 - начальная фаза.

4. Правила дифференцирования

|(C)’= 0 С=const |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|(cos x)'=-sin x |[pic] |

|(sin x)'=cos x |[pic] |

|(tg x)'=[pic] |(ах)'=аx ln a |

|(ctg x)'=-[pic] |(ех)'=ex |

|[pic] | |

[pic] [pic]

[pic] [pic]

Производная степенно-показательной функции

[pic], где [pic].

[pic].

Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция [pic]. При этом

предполагается, что функция [pic] не обращается в нуль в точке [pic].

Покажем один из способов нахождения производной функции [pic], если [pic]

очень сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти

производную затруднительно.

Так как по первоначальному предположению [pic] не равна нулю в точке, где

ищется ее производная, то найдем новую функцию [pic] и вычислим ее

производную

[pic] (1)

Отношение [pic] называется логарифмической производной функции [pic]. Из

формулы (1) получаем

[pic]. Или [pic]

Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции [pic].

5. Производные высших порядков

Ясно, что производная[pic]функции y =f (x) есть также функция от x: [pic]

Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается

символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или

производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением [pic]можем

написать [pic]

Очень удобно пользоваться также обозначением [pic], указывающим, что

функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.

Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется

третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего

порядка и обозначается символами [pic].

Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x)

обозначается символами [pic]

Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную

второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную

третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших

порядков можно получить в случае произвольной функции.

Например:

1) [pic]; [pic]; [pic]; ...;

[pic]; [pic].

Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании.

Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие –

переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное

количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.

Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков

выполняются для производных высших порядков.

6. Изучение функции с помощью производной

6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.

Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b),

если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения

функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.

|[pic] |

|Рис.1 (а) |

|[pic] |

|Рис.1 (б) |

Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b)

функции f(x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют

одинаковые знаки.

График возрастающей функции показан на рисунке1(а).

Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) ?

f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ). Пример

такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она

сохраняет постоянное значение C

Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b )

если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения

функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.

Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b )

функции f (x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют разные

знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б).

Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2) ? f(x1),

то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ). Пример

такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x0 , x1 ] она

сохраняет постоянное значение C.

Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале

( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого

интервала неотрицательную производную.

Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале

( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого

интервала неположительную производную.

Пусть данная непрерывная функция убывает при

возрастании x от x0 до x1, затем при возрастании x от x1

до x2 - возрастает, при дальнейшем возрастании x от x2

до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую

функцию колеблющейся.

График колеблющейся функции показан на рисунке 3.

Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к

убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция

переходит от убывания к возрастанию, называются точками

поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их

абциссы - критическими значениями аргумента x

В той точке, где функция переходит от возрастания к

убыванию, ордината больше соседних с ней по ту и другую

сторону ординат. Так, ордината точки A больше ординат,

соседних с ней справа и слева и достаточно к ней

близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса

которой равна x0, больше значений функции в точках,

абсциссы которых достаточно близки к x0 : f (x0) > f

(x0+?x).

На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная

в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она

возрастает, на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет

постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале

[ x1 , b ) - убывает. Во всех точках, достаточно близких

к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют

нестрогому неравенству f (x0)?f (x).

Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное

неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто

максимумом.

Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x0)

этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x,

достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x,

принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .

Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0) и f (x2) .

В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината

меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и

слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и

достаточно близких к точке x1 справа и слева. Значение функции в точке,

абсцисса которой равна x1 , меньше значений функции в точках, абсциссы

которых достаточно мало отличаются от x1 : f (x1) < f (x1+?x).

На рисунке 4(б) изображена функция f (x), непрерывная в интервале

( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она убывает, на интервале [ x0 , x1 ] -

сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b )

- возрастает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения

функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)?f (x).

Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное

неравенство, называется минимальным значением функции f (x) или просто

минимумом.

Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (x0)

этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x,

достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой

достаточно малой окрестности точки x0 .

Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x1) и f (x3) .

По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ]

является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала

[ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f (x), а наименьшим значением

функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для

которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f

(x).

Из этих определений следует, что функция может достигать своего

наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так и

на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были

определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой

окрестности точки x0 .

Если в точке x0 функция f (x) достигает максимума или минимума, то

говорят, что функция f (x) в точке x0 достигает экстремума (или

экстремального значения).

Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала

[ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше

какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x)

на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого

интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.

Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это

наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из

значений функции на концах интервала.

Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего

значения f (x) в точке x2 , наименьшего - в точке x1 интервала [ x0, x3 ].

На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и

максимумов.

Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в

точке x0 экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не

существует.

Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x0, в которых ее

производная не существует. Например функция y = | x | в точке x0 = 0 не

дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют

угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.

|[pic] |

|Рис. 6 |

На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x0 производной

[f' (x0) = ?] и достигающая в этой точке максимума. При x > x0 и x < x0

f' (x) > +?, при x > x0 и x > x0 f' (x) > -?. Значит касательная

кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие точки

называются точками возврата кривой y=f(x).

Таким образом, необходимым признаком существования в точке x0 экстремума

функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x0

производная f' (x) или равна нулю, или не существует.

Этот признак не является достаточным условием существования экстремума

функции f (x) в точке x0 : можно привести много примеров функций,

удовлетворяющих этому условию при x = x0 , но, однако, не достигающих

экстремума при x = x0.

Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю, однако эта

функция при x0 = 0 не достигает экстремального значения.

6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия

экстремума функции.

Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b)

неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом

интервале.

Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет

неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом

интервале.

Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если производная

f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или не существует и при

переходе через x0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке

экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак

меняется с "-" на "+").

Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума

функции). Если в точке x0 первая производная f '(x) функции f(x) обращается

в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0

функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума,

если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x0 и ее

окрестности.

6.3 .Правило нахождения экстремума

1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:

1) найти производную данной функции;

2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из

полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства)

по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни

оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;

3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных

стационарными точками ( стационарными точками называют точки в которых

производная равна 0);

4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной

стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то

данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна

слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка

есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как

слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни

максимума, ни минимума, функции;

5) заменить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает

максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или

минимума функции.

Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в

число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых

определяется знак производной.

6.4.Точка перегиба графика функции.

Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью

вверх, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой,

соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой,

проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1а).

|Рисунок 1 |

Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью

вниз, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой,

соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой,

проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1б).

Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x0

следует, что для любой точки x из интервала (x0 - h, x0 + h), не

совпадающей с точкой x0, имеет место неравенство f(x) - y < 0 ( f(x) -

y > 0) где f(x) - ордината точки M кривой y = f(x), y - ордината точки N

касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к

данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).

Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x0 - h, x0 + h),

не совпадающей с x0, выполняется неравенство f(x) - y < 0 (f(x) -

y > 0),

то кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх (вниз).

Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале (a, b),

если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b), то с

увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в

точке с абсциссой x будет уменьшаться.

|[pic] |

|Рисунок 2. |

В самом деле, пусть абсцисса x1 точки A меньше абсциссы x2 точки B (рис.

2). Проведем касательные t1 и t2 соответствено в точках A и B к кривой

y = f(x). Пусть a и j - углы наклона касательных t1 и t2. Тогда из рис. 2

видим, что j - внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a.

Следовательно tg? > tg? или f '(x1 ) > f '(x2 ).

Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x)

обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x)

убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная

убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале

(a, b): f ''(x)?0.

|[pic] |

|Рисунок 3. |

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2

непосредственно видно, что tg? > tg? т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а поэтому в

интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная

f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b)

функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)?0.

Докажем, что и наоборот, если f ''(x)?0 в некотором интервале (a, b), то

в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если

f ''(x)?0 в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена

выпуклостью вниз.

Запишем уравнение касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к кривой

y = f (x) в точке x0, где a < x0 b, в виде y = y0 + f '(x0 )(x - x0 ).

Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому последнее уравнение можно записать в виде

y = f(x0 ) + f '(x0 )(x - x0 ). (1)

Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:

[pic] (2)

Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение

(1), получим:[pic] (3)

Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, где 0 < ? < 1, то имеем f(x) - y ? 0

откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.

Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, то имеем f(x) - y ? 0 откуда следует, что

кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.

Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то

высказанное выше утверждение доказано.

|[pic] |

|Рисунок 4. |

Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит

от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой

перегиба кривой (рис.4). (В этом определении предполагается, что в точке

перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот)

имеется единственная касательная).

Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную

f ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда

f ''(x0 ) = 0 или не существует.

Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая

y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит от выпуклости вверх в

выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 -

h, x0 ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале

(x0, x0 +h) - больше нуля.

Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных

значений к положительным, она при x = x0 обращается в нуль: f ''(x0 ) = 0.

|[pic] |

|Рисунок 5. |

На рис.5 изображен график функции [pic]. Хотя при x0 = 0 имеется

касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна

нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем [pic]

Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой

перегиба, так как при x < 0 f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при

x > 0 f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.

Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x)

обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой

y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако

это условие не является достаточным.

Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет знак при

x = x0, то точка A[x0 ; f(x0 )] является точкой перегиба кривой y = f(x)

при условии, конечно, что в точке A существует касательная.

Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x0 - h < x < x0 и

f ''(x) > 0 при x0 < x < x0 + h. Тогда в интервале (x0 - h; x0 ) кривая

y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x0 ; x0 + h) -

выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x0 ; f(x0 )] есть точка

перегиба кривой, что и требовалось доказать.

6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

1. Находим область определения функции f(x)

2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим

их на чертеж.

3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей

координат и начала координат.

4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в

точке x0 разрыв, то отмечаем ее на чертеже.

5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.

6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой

с максимальной и минимальной ординатами.

7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки

перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.

8. Вычерчиваем кривую y = f(x).

6.6. Касательная и нормаль к плоской кривой.

Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется

составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).

Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в

точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при

x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде

уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е.

в виде y - y1 = f '(x1)(x - x1)

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания

перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен [pic], а

уравнение записывается в виде [pic]

7.Экономическое приложение производной.

7.1.Экономическая интерпретация производной

В экономической теории активно используется понятие «маржинальный»,

что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX

веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания

экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно

ставить и решать новый класс научных проблем.

Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела

дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда

и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности

оказалось можно обнаружить в области предельных величин.

Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как

суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического

объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения

некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно

другого исследуемого фактора.

Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать

предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических

показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В

то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно

использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х -

количество продукции, тогда (x- прирост продукции, а (y - приращение

издержек производства.

В этом случае производная [pic] выражает предельные издержки

производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на

производство дополнительной единицы продукции [pic],где MC – предельные

издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q -

количество.

Геометрическая интерпретация предельных издержек - это тангенс угла

наклона касательной к кривой в данной точке (см. рис.).

Аналогичным образом могут быть определены и многие другие

экономические величины, имеющие предельный характер.

Другой пример - категория предельной выручки (MR— marginal revenue) —

это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к

(n+1)-ой единице продукта.

Она представляет собой первую производную от выручки: [pic].

При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price).

Таким образом [pic], ( MR= P.

Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции,

когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния

на цену.

Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.

Кардиналистский (количественный) подход к теории цен предполагает

равное влияние величин полезности товара и затрат на его производства на

формирование цены. В основе рассматриваемого подхода - исследования А.

Маршалла.

Ординалистский (Порядковый) подход к теории цен разрабатывался И.

Фишером, В. Парето. Суть данного подхода состоит в том, что потребители,

имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и

полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение тем

наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную

полезность для конкретного потребителя.

В соответствии с первой, суммарную полезность U для любого субъекта,

если в экономике существует n потребительских благ в объемах х1, x2,… хn,

можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:

U= U(х1, x2,… xn).

Предельные полезности MU товаров выступают в качестве ее частных

производных: [pic]. Они показывают, на сколько изменяется полезность всей

массы благ, достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении

количества блага i (i=1,2…n)

В ординалистской теории полагается, что потребитель оценивает

полезность не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен

сопоставить полезности наборов товаров.

Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный

вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось

прогрессирующее вытеснение понятия "предельная полезность" категорией

предельной нормы замещения (MRS – marginal rate of substitution).

Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении

сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y

товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того, чтобы

компенсировать потребительскую утрату единицы товара y.

Они определяются так: [pic].

Т.к. dy отрицательно, знак "-" вводится, чтобы MRS была больше нуля.

Итак, предельная норма замещения геометрически есть касательная к кривой

безразличия в данной точке. Значение предельной нормы замещения по

абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой

безразличия.

Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который

имеет аналог и на макроуровне.

Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на

потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как

правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения

равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и

больше сберегает. Как установлено теорией и подтверждено эмпирическими

исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

Y= C(Y) + S(Y).

Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией

склонности к потреблению или функцией потребления.

Использование производной позволяет определить такую категорию, как

предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume),

показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода: [pic].

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно определяя

сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности к

сбережению или функцию сбережения. Долю прироста сбережений в приросте

дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS(marginal

propensity to save): [pic].

С увеличением доходов MPS увеличивается.

Еще одним примером использования производной в экономике является

анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов

принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от

факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент

исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда

увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию -

предельный продукт труда MPL(marginal product of labor) – это

дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений

труда (L – labor) при неизменной величине капитала:[pic].

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то [pic], т.к. dY

- результат, dL - затраты, то MPL – предельная производительность труда.

Аналогично, MPk - предельный продукт капитала - дополнительный

продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при

неизменной величине труда:[pic].

Если вложения осуществляются малыми порциями, то [pic].

MPk - характеризует предельную производительность капитала.

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных

задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение: Эластичностью функции Еx(y) называется предел отношения

относительного приращения функции y к относительному приращению переменной

x при (x(0:

[pic].

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится

функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.

Приведем несколько конкретных иллюстраций такой зависимости. Прямой

коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на сколько процентов

увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при уменьшении (увеличении)

его цены P на 1%: [pic].

Перекрестный коэффициент эластичности спроса по цене [pic] показывает,

на сколько процентов изменится спрос на товар i при однопроцентных

колебаниях цены товара j (j = 1,2,…n): [pic].

Количественную сторону взаимодействия дохода и спроса отражает

коэффициент эластичности спроса по доходу, который указывает, на сколько

процентов изменится спрос на i-тый товар Qi если доход, предназначенный на

текущее потребление, изменится на 1%: [pic].

Можно привести и другие примеры использования производной при фокусировке

различных категорий и закономерностей. Дальнейшее раскрытие экономического

смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение экономической

интерпретации математических теорем.

7.2. Применение производной в экономической теории.

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что

многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления,

спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если

дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или

наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то

производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x0) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для

производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных

издержек и предельного дохода".

То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если

MC(Qo)=MR(Qo), где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R –

прибыль, а C – общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором

прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция

П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0.

Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Qo) = C’(Qo), откуда следует, что MR(Qo)

= MC(Qo).

Другое важное понятие теории производства - это уровень наиболее

экономичного производства, при котором средние издержки по производству

товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный

объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.

Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы. Средние

издержки AC(Q) определяются как [pic], т.е. издержки по производству всего

товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины

достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии [pic],

откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или [pic], т.е. MC(Q)=AC(Q).

Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в

экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей

доходности - звучит следующим образом: "с увеличением производства

дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса

(трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает".

Иными словами, величина [pic], где (y - приращение выпуска продукции, а

(x - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон

убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая

зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией,

выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности

U= U(x), где х - товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень

субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная

для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом:

с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его

единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно

переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой

вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной

точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

7.3. Использование производной для решения задач по экономической теории.

Задача 1.

Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен

ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента.

Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может

превышать 90 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут

наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции

У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на

концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки

максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день

минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной

мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как

дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции

нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2.

Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции

в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от

объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать

потенциал предприятия.

Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100

функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема

производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем

накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства

приводит к сокращению финансовых накоплений.

Задача 3.

Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара,

которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за

определенный период времени и при прочих равных условиях.

Зависимость спроса от цены описывается функцией [pic],

Данная функция исследуется с помощью производной: [pic]

Производная меньше нуля, если P>=0.

Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6),

т.е. при P<1/2 спрос убывает медленнее, а при P>1/2 спрос убывает все

быстрее.

[pic]

Задача 4.

Выручка от реализации товара по цене p составляет: [pic]

(Денежных единиц), где [pic]. Исследуем эту функцию с помощью производной.

Производная этой функции: [pic] положительна, если p<1/2 и отрицательна для

p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается (

несмотря на падение спроса) и p=1/2 достигает максимального значения

[pic], дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к

сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.

[pic]

[pic] темп положительный [pic]темп отрицательный

На промежутке (0,1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее

повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом

для [pic], а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9

выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном

увеличении цены.

Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим

график.

|p |(0, 1/2) |1/2 |[pic] |[pic] |[pic] |

|U'(p) |+ |0 |- |-0,47 |- |

|U''(p) |- | |- |0 |+ |

|U (p) |возрастает |0,3 |убывает |0,2 точка |убывает |

| |выпукла |max |выпукла |перегиба |вогнута |

Вывод:

На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.

Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее

повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным

темпом[pic], а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р >

0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном

увеличении цены. На промежутке [pic]функция U(p) вогнута. В точке

[pic] график перегибается (см. на рисунке):

[pic]

8. Применение производной в физике

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или

наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1.

Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец

находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает

падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с

постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены

нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте

2м?

[pic]

Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)=

4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.

Высота y(t) описывается формулой: [pic],так как движение равноускоренное.

В момент t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 - t2, из которого [pic];

В этот момент [pic] по т. Пифагора, т.е. [pic]

Скорость его изменения [pic]

Ответ:[pic]

Задача 2

Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь так,

что ее масса m изменяется по закону m(t) = 1 - 2/3t. (m изменяется в

граммах, t - в секундах). Через сколько времени после начала падения

кинематическая энергия капли будет наибольшей?

Скорость капли [pic] , её кинетическая энергия в момент t равна [pic]

Исследуем функцию [pic] на наибольшее с помощью поизводной: [pic]

[pic]=0 t1=0 t2=1 (t>0)

При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно

кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек.

Задача 3

Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним сопротивлением

r = 50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно

сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была

наибольшей?

По закону Ома сила тока в цепи есть [pic] [pic]

выделяемая в потребителе мощность P=I2R, то есть [pic]

Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной: [pic] P’(R) =

0 : r - R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P(R) принимает наибольшее

значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при

сопротивлении R =50 Ом.

Ответ: 50 Ом

9. Применение производной в алгебре

9.1. Применение производной к доказательству неравенств.

Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств

основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и

знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:

Теорема 1. Если функция [pic]на некотором интервале [pic]имеет

производную [pic]всюду на [pic], то [pic]на [pic]монотонно возрастает; если

же [pic] всюду на [pic], то [pic]на [pic]монотонно убывает.

Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:

Теорема 2. Если на промежутке [pic] выполняется неравенство [pic],

функция [pic]и [pic]непрерывны в точке [pic] и [pic], то на [pic]

выполняется неравенство [pic].

Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств с использованием

этих теорем.

Задача 1. Пусть [pic].Докажите истинность неравенства [pic]. (1)[pic]

Решение: Рассмотрим на [pic] функцию [pic]. Найдем ее производную: [pic].

Видим, что [pic]при [pic]. Следовательно, [pic] на [pic] убывает так, что

при [pic] [pic]. Но [pic] [pic] Следовательно неравенство (1) [pic]

верно.

Задача 2. Пусть [pic] и [pic]положительные числа, [pic] Тогда очевидно,

что [pic], [pic]. Можно ли гарантировать, что неравенство [pic] (2)

верно а) при [pic]; б) при [pic]?

Решение: а) Рассмотрим функцию [pic]. Имеем: [pic]

Отсюда видно, что при [pic]функция [pic]возрастает. В частности, она

возрастает на интервале [pic] Поэтому при [pic] неравенство (2)

справедливо.

б) на интервале [pic] [pic], т.е. [pic] убывает. Поэтому при любых [pic] и

[pic], для которых [pic], неравенство (2) неверно, а верно неравенство

противоположного смысла: [pic]

Задача 3. Доказать неравенство: [pic] при [pic] (3).

Воспользуемся теоремой 2. [pic] и [pic], верно неравенство [pic]: [pic]

на промежутке [pic]и выполнимо условие [pic] где [pic], в данном случае

равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.

Задача 4. Доказать неравенство: [pic] [pic] (4).

Решение: [pic], [pic]; [pic]

Неравенство [pic] при любых [pic] верно. Значит неравенство (4) верно.

Задача 5. Доказать, что если [pic], то [pic] (5).

Решение: Пусть [pic] Тогда

[pic]

Чтобы найти, при каких значениях [pic] функция [pic]положительная,

исследуем ее производную [pic]. Так как при [pic] [pic] то [pic]

Следовательно, функция [pic]возрастает при [pic]. Учитывая, что [pic] и

[pic] непрерывна, получаем [pic], при [pic].

Поэтому [pic] возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку [pic]

непрерывна и [pic] то [pic] при [pic]. Неравенство (5) верно.

Задача 6. Выясним, что больше при [pic]: [pic] или [pic].

Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь [pic].

Рассмотрим на [pic] вспомогательную функцию [pic].

Выясним, будет ли она монотонна на отрезке [pic]. Для этого найдем ее

производную (по правилу дифференцирования дроби):

[pic]

[pic] при [pic].

В силу теоремы 1 функция [pic] вырастает на отрезке [pic]. Поэтому, при

[pic] [pic] т.е. [pic]

[pic] при [pic].

При решении задачи (6) встретился полезный методический прием, если нежно

доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто

целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква [pic]) считать

применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой

[pic], а значение остальных букв (в данном случае значение буквы [pic])

считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи

применить указанный прием несколько раз.

Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных [pic]

неравенство: [pic] (6).

Решение: Пусть [pic] Рассмотрим функцию

[pic].

При [pic] имеем [pic].

Отсюда видно (теорема 1), что [pic] убывает на [pic] Поэтому при

[pic]имеем [pic] т.е. мы получили неравенство:

[pic] (7).

Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию [pic]. При [pic]

имеем: [pic]

Следовательно, [pic]убывает на [pic], т.е. [pic] при [pic] значит, [pic]

(8),

Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения истинности

неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое

непосредственно вытекает из теоремы 1:

Теорема 3: Пусть функция [pic] непрерывна на [pic]и пусть имеется такая

точка с из [pic], что [pic]на [pic] и [pic]на [pic]. Тогда при любом х из

[pic] справедливо неравенство [pic] причем равенство имеет место лишь при

[pic].

Задача 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее

неравенство: [pic][pic]

Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем

производную:

[pic].

Видно, что [pic] на [pic] и [pic] на [pic]. Следовательно, в силу теоремы

3 т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при

[pic].

9.2. Применение производной в доказательстве тождеств.

Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться

одним очевидным замечанием:

Если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее

производная на этом интервале постоянно равна нулю:

[pic] на [pic] на [pic].

Задача 1. Проверить тождество:

[pic] (1)

Доказательство: Рассмотрим функцию

[pic]

Вычислим ее производную (по х):

[pic]

Поэтому (замечание) [pic]. Следовательно, [pic] что равносильно тождеству

(1).

Задача 2. Проверить тождество:

[pic] (2)

Доказательство: Рассмотрим функцию

[pic]

Докажем, что [pic]

Найдем ее производную:

[pic]

[pic][pic][pic]

Значит[pic]. При х=0 [pic],следовательно,тождество (2) верно.

В связи с рассмотренными примерами можно отметить, что при нахождении

постоянной, интегрирования С полезно фиксировать значения переменной, по

которой производится дифференцирование, таким образом, чтобы получить

возможно более простые выкладки.

9.3. Применение производной для упрощения алгебраических и

тригонометрических выражений.

Прием использования производной для преобразования алгебраических и

тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет

значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она

легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного

выражения:

Задача 1 Упростить выражение: [pic]

Решение: Обозначив данное выражение [pic] будем иметь:

[pic]

[pic]

[pic] [pic]

Таким образом, заданное выражение (1) равно [pic].

Задача 2. Упростить выражение:

[pic]

Решение: Обозначив это выражение через [pic], будем иметь:

[pic]

отсюда [pic].

и при [pic]получаем: [pic]

Так что [pic]

Задача 3. Упростить запись функции:

[pic] (2)

Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к

относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться

производной:

[pic]

Отсюда [pic]

Найдём [pic]: [pic]

Таким образом функция (2) равна [pic]

Задача 4. Упростить запись многочлена:

[pic] (3)

Решение: Обозначим многочлен (3) через [pic] и найдём последовательно

первую и вторую производные этой функции:

[pic]

[pic]

Ясно, что [pic] Поэтому [pic], где [pic], найдём [pic]: при [pic] [pic],

[pic].

9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной.

Задача 1. Разложить на множители выражение:

[pic] (1)

Решение: Считая [pic]переменной, а [pic] и [pic] постоянными

фиксированными (параметрами) и обозначая заданное выражение через [pic],

будем иметь:

[pic]

Поэтому [pic] (2)

где [pic]- постоянная, т.е. в данном случае - выражение, зависящее от

параметров [pic] и [pic]. Для нахождения [pic] в равенстве [pic] положим

[pic] тогда [pic].

Получим [pic]

Задача 2. Разложить на множители выражение:

[pic] (3)

Решение: Поскольку переменная [pic] входит в данное выражение в наименьшей

степени, рассмотрим его, как функцию [pic] и будем иметь:

[pic]

[pic] получим:

[pic]

Таким образом, исходное выражение (3) равно [pic]

Задача 3. Разложить на множители выражение:

[pic]

Решение: Обозначив данное выражение через [pic] и считая [pic] и [pic]

постоянными, получим:

[pic]откуда [pic], где [pic] зависит только от [pic] и [pic]. Положив в

этом тождестве [pic], получим [pic] и

[pic]

Для разложения на множители второго множителя используем тот же приём, но

в качестве переменной рассмотрим [pic], поскольку эта переменная входит в

меньшей степени, чем [pic]. Обозначая его через [pic] и считая [pic] и

[pic]постоянными, будем иметь:

[pic]

отсюда: [pic]

[pic]

[pic]

Таким образом исходное выражение (4) равно

[pic]

9.5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений.

С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение.

Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение

её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных

функций:

Задача 1. Если функция [pic] возрастает или убывает на некотором

промежутке, то на этом промежутке уравнение [pic] имеет не более одного

корня.

[pic] (1)

Решение: Область определения данного уравнения - промежуток [pic]

определение на этом промежутке функцию [pic], положив

[pic]

Тогда, на [pic]

[pic]

[pic] [pic] [pic] ( [pic],

и таким образом функция [pic]- возрастающая, так что данное уравнение (1)

не может иметь более одного решения.

Задача 2. При каких значениях [pic] имеет решения уравнение

[pic] (2)

Решение: область определения уравнения - отрезок [pic], рассмотрим функцию

[pic], положив [pic]

Тогда на открытом промежутке [pic]

[pic]

[pic], так что [pic]- единственная критическая точка функции [pic],

являющаяся, очевидно, точкой максимума. Поскольку [pic] [pic] то [pic]

примет наибольшее значение при [pic], а наименьшее значение - при [pic].

Так как функция [pic] непрерывна, то её область значений представляет

собой отрезок [pic], между её наименьшим и наибольшим значением. Другими

словами, исходное уравнение (2) имеет решения при [pic].

Заключение

Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям в

математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но

громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера для

учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и

повысит интерес к производной.

Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x0

равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в

точке с абсциссой x0.

Физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке x0

- это скорость изменения функции f (х) в точке x0

Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность

изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или

относительно другого исследуемого фактора.

Производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости

по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции

скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших величин.

Производная является важнейшим инструментом экономического анализа,

позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических

понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью

математических формул.

Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то

есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная

выручка, предельная производительность труда или других факторов

производства и т. д.).

Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе

базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения

оказываются прямыми следствиями математических теорем

Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по

экономической теории, физике, алгебре и геометрии.

[pic]

-----------------------

[pic]

Рис.5

Рис.2 (а)

+

–

50

Е’

E

[pic]

[pic]

+

–

1

E’

E

[pic]

Рис.4 (б)

Рис.4 (а)

Рис. 3

Рис.2 (б)

f(x)

[pic]

а

б

[pic]

[pic]

С

С

B

Q

C(t)

E

A