Примеры решения

Примеры решения

53 Найти неопределенный интеграл

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Применяли формулу интегрирования по частям [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

63 Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

[pic]

Решение:

Сделаем чертеж к данной задаче. Для чего построим указанные линии [pic]

гипербола, [pic] прямая, [pic].

Найдем точки пересечения данных линий. Для чего решим уравнения:

[pic] и [pic]

[pic] [pic]

Значит фигура ограничена сверху функцией [pic] снизу функцией [pic] на

интервале от 1 до 4.

Площадь [pic]

Ответ: [pic].

73. Найти общее решение дифференциального уравнения.

[pic]. Это уравнение однородное решается с помощью подстановки [pic], тогда

[pic]. Подставим полученные выражения в уравнение полученное из исходного

делением обеих частей на [pic].

[pic]

Ответ: [pic]

[pic]

Составляем характеристическое уравнение

[pic] [pic]

[pic]

тогда [pic]

Ответ: [pic]

83 Исследовать сходимость числового ряда.

Решение:

[pic]. В этом задании [pic] и [pic]

Применим признак Даламбера. Найдем [pic], так [pic] то ряд расходится по

признаку Даламбера.

Ответ: ряд расходится.

93. Найти интервал сходимости степенного ряда [pic]

Решение:

Здесь [pic] [pic].

Применим признак Даламбера. Найдем [pic]

Ряд сходится если [pic] или [pic] то есть [pic].

Проверим сходимость на концах этого интервала при [pic]

[pic]

Найдем предел [pic] значит в силу теоремы о необходимом условии сходимости

данный ряд расходится.

Исследование при [pic] аналогично. Тоже получится, что предел n-ного члена

при n стремящемся к бесконечности не равен нулю.

Ответ: ряд сходится при [pic]. На границах интервала он расходится.

103. С помощью рядов вычислить приближенное значение интеграла с точностью

до 0,001

[pic]

Разложим в степенной ряд arctgx, используя известное разложение:

[pic], тогда [pic]

Почленно проинтегрируем данный ряд [pic]Ответ: [pic]