Проективная геометрия

Проективная геометрия

Проективная геометрия развилась и выделилась в особую ветвь

геометрических знаний в первые десятилетия 19 века. Источником этого

явились потребности графики и архитектуры, развитие теории изображений в

перспективе.

Так, французский геометр Понселе одним из первых выделил особые

свойства геометрических фигур, названные им проективными.

Что это за свойства?

Пусть F- произвольная фигура в некоторой плоскости a , b - какая -

либо другая плоскость, т.О - произвольная точка пространства, не

принадлежащая ни одной плоскости (a и b). Точка, отсоединенная с любой

точкой М фигуры F, определяет прямую (ОМ), пересекающую плоскость b в

некоторой точке М/, которую мы будем называть проекцией точки М (на

плоскости b из центра О).

Проекции всех точек фигуры F на плоскость b составят некоторую

фигуру F/, которая называется проекцией фигуры F. Операция, с помощью

которой в данной задаче из фигуры F получена фигура F/ носит название

центрального проектирования из точки О. Если изменить положение точки О и

плоскости b мы получим бесконечное множество фигур(или иначе говоря,

центральных проекций фигуры F), которые в чем-то будут похожи на фигуру F,

но в чем-то и отличаться. Например, проектируя правильный треугольник,

получим тоже треугольник, но произвольной формы. Проектируя окружность,

можем получить эллипс или параболу, или даже гиперболу. При таком

проектировании не сохраняются метрические характеристики фигур (длина,

площадь и т. д. ).

Какие же свойства сохраняются? Они обычно называются инвариантами

преобразования, каковым в данном случае является преобразование

проектирования. Именно эти свойства фигур, инвариантные по отношению к

такому проектированию, Понселе назвал проективными свойствами, а предмет,

их изучающий- проективной геометрией.

Примеры инвариантных свойств.

1) Если фигура или объект - прямая, то после проектирования получим также

прямую.

2) Если фигура F- коническое сечение, т.е. описывается квадратичной

формой a11x2+a22y2+a12xy+a13x+a23y+a33 =0, то проекцией точек на

коническом сечении лягут также на некоторое коническое сечение. Таким

образом, отдельные виды конических сечений (окружности, эллипсы,

параболы, гиперболы) в проективной геометрии не отличаются - в отличие

от аффинной, например, где эллипс всегда перейдет в эллипс.

Важной предпосылкой превращения проективной геометрии в

самостоятельную дисциплину, было введение в употребление бесконечно

удаленных геометрических элементов. Займемся их определением.

Пусть А - произвольная точка пространства и a - прямая, не проходящая

через точку А. Проведем плоскость a через точку А и прямую а. Рассмотрим

всевозможные прямые, проходящие через точку А и лежащие в плоскости a

(рис.2).

Установим соответствие между прямыми пучка, проходящего через А и

точками на прямой а. Например, лучу m соответствует точка M. Очевидно, что

какую бы точку на прямой a мы ни выбрали, ей всегда соответствует

определенный луч. Однако, нельзя утверждать, что любому лучу соответствует

точка прямой a. Действительно, возьмем луч a/ , соответствующей точки на a

мы не найдем. Таким образом, соответствие между лучами пучка и точками

прямой a не является взаимно однозначными. Это не всегда удобно при

операциях проектирования. Чтобы устранить это неудобно, условимся считать

параллельные прямые, пересекающими на бесконечности. Тогда луч а/ из пучка

А, параллельный а, будет иметь на этой прямой соответствующую точку ,но не

обычную ,а называемую бесконечно удаленной точкой. Это новый геометрический

объект. Все параллельные друг другу прямые в плоскости a имеют одну общую

бесконечно удаленную точку, поэтому систему параллельных прямых называют

пучком с бесконечно удаленным центром (рис.3).

Бесконечно удаленные точки непараллельных прямых в плоскости

считаются различными. Таким образом, каждая плоскость содержит бесконечно

много различных бесконечно удаленных точек. Совокупность всех бесконечно

удаленных точек плоскости называется бесконечно удаленной прямой.

Таким образом, каждая плоскость содержит одну бесконечно удаленную

прямую.

Вполне логично совокупность всех бесконечно удаленных прямых назвать

бесконечно удаленной плоскостью.

Выводы:

множество объектов обычного евклидова пространства дополняется новыми

элементами:

1) К множеству точек каждой прямой добавляется одна бесконечно удаленная

точка;

2) К множеству прямых каждой плоскости добавляется одна бесконечно

удаленная прямая;

3) К множеству всех плоскостей пространства R3 добавляется бесконечно

удаленная плоскость.

Определение: прямая дополненная бесконечно удаленной точкой

называется

проективной прямой.

Проективную прямую следует представлять в виде замкнутой линии.

Плоскость, дополненная бесконечно удаленной прямой называется проективной

плоскостью. Пространство, дополненное бесконечно удаленной плоскостью

называется проективным пространством.

Термин бесконечности иногда употребляется и в обычной, элементарной

геометрии (например, что параллельные прямые сходятся в бесконечности),но

это лишь словесное выражение, в проективной же геометрии бесконечно

удаленные элементы играют такую же роль, как и обыкновенные геометрические

образы. В обычной геометрии большую роль играет изучение метрических

свойств фигур (длины, площади, углы, объемы).

В проективной, процесс измерения теряет смысл, т. к например, один

конец отрезка может оказаться в бесконечности. Таким образом, метрические

свойства фигур не являются проективными свойствами.

Проективная геометрия, как и любая другая, строится на некоторой

системе аксиом. Все аксиомы разбиты на три группы:

1.Аксиомы связи:

Кратко сформулируем их, учтя, что теперь в понятие любого объекта

включается бесконечно удаленные элементы.

1. Какие бы ни были две точки А и В всегда существует прямая,

проходящая через них.

2. Какие бы ни были две различные точки А и В, существует не более

одной прямой, проходящей через них.

3. На каждой прямой имеется не менее трех точек. Существует по крайней

мере 3 точки, не лежащие на одной прямой.

4. Через каждые три точки А, B, C не лежащие на одной прямой, проходит

некоторая плоскость a . На каждой плоскости имеется не менее одной

точки.

5. Через каждые три точки А, B, C не лежащие на одной прямой,

проходит не более одной плоскости.

6. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости a , то каждая точка

прямой а лежит в плоскости a .

7. Если две плоскости a и b имеют общую точку А, то они имеют еще по

крайней мере одну общую точку.

8. Имеется не менее четырех точек, не лежащих на одной плоскости.

9. Каждые две прямые, расположенные в одной плоскости имеют общую

точку.

Эти аксиомы повторяют аксиомы обычной евклидовой геометрии за

исключением пункта 1.9, которого там нет.

2.Аксиомы порядка:

В элементарной геометрии в основу определения порядка следования

точек на прямой заложено понятие о расположении точки между двумя другими

точками. Т. е. если есть две точки А и В то обязательно найдется точка С на

прямой А В, лежащая между А и В.

Такой порядок расположения точек является основой введения координат

точек на прямой (в дальнейшем на плоскости и в пространстве), т.е.

позволяет сделать отображение взаимного расположения точек на множество

действительных чисел, ввести единицу измерения.

В проективной геометрии прямая есть замкнутая в бесконечности линия,

поэтому нельзя в определение порядка положить принцип: что при заданных А и

В найдется точка С между ними, определяющая порядок следования точек на

прямой как А, В, C. И все-таки, какое-то определение порядка точек на

проективной прямой необходимо сделать хотя бы для введения ней системы

координат, определения проекции фигур в вычислительной геометрии или

машинной графике.

На прямой в обычной евклидовой геометрии положение точек можно было

характеризовать одним числом, одной координатой, отсчитываемой в некотором

масштабе от точки, принятой за ноль. Так как в проективной геометрии

бесконечно удаленная точка является равноправной с любой другой точкой, то

уже невозможно одним числом представить координату этой бесконечно

удаленной точки.

Здесь уже, на проективной прямой исходят из рассмотрения взаимного

расположения двух пар точек.

Пусть A и B, C и D две пары точек, расположенные на проективной

прямой (рис.5). Тогда чтобы совместить точку C с другой точкой своей пары,

т.е. CD мы при движении ее по прямой обязательно встретимся в какой-то

момент с т. A или т. B. Аналогично, чтобы совместить B с A, при движении

точки B она когда-нибудь совпадет с C или D. В таком случае говорят, что

пара точек A и B разделяет пару точек C и D. На этом основаны аксиомы

порядка и введения координат на проективной прямой.

1. Каковы бы ни были три различные точки A, B, C произвольной прямой U,

на этой прямой существует такая точка D, что пара A, B разделяет

пару C, D.

2. Если пара A, B разделяет пару C, D; пара C, D разделяет пару A, B.

3. Каковы бы ни были четыре различные точки A, B, C, D прямой из них

могут быть всегда единственным образом составлены две раздельные

пары.

Аксиомы 2.4, 2.5 касаются взаимного расположения пяти точек. Если

пары С,D и C, E разделяют A, B, то D E не разделяет A, В (рис.6). Если C, D

и C, E не разделяют A, B, то D, E не разделяет A, B (рис.7).

6. Пусть A, B и C, D две пары точек прямой U, A/, B/ и C/, D/ их

проекции из какого угодно центра на произвольную другую прямую U/.

Тогда если пары A, B и C, D разделяют друг друга, то пары A/, B/ и

C/, D/ тоже разделяют друг друга.

Таким образом, разделенность двух пар точек есть свойство,

инвариантное относительно проектирования. Это один из инвариантов

проективной геометрии.

Это свойство позволяет упорядочивать точки на прямой. Так если дан

отрезок АВ на проективной прямой, то множество его внутренних точек можно

упорядочить так: точка M предшествует точке N, если пара A, N разделяет

пару M, B (рис.8).

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]